Nachoneko

1. 倾斜角

当直线$l$与$x$轴相交时，以$x$轴为基准，$x$轴正向与$l$向上的方向之间所成角$\alpha$。

• 规定：直线与$x$轴平行或重合时，倾斜角为$0$。
• 范围：$[0,\pi)$

2. 斜率

① 已知直线的倾斜角为$\alpha$，则斜率为： $k=\tan\alpha \quad (\alpha\neq\frac{\pi}{2})$

② 已知直线上两点$P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2)$，则斜率为： $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \quad (x_1\neq x_2)$

3. 倾斜角与斜率的关系

①

② 关系总结：

• $\alpha=0$，则$k=0$；
• $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，则$k>0$，且斜率随倾斜角的增加而增加；
• $\alpha=\frac{\pi}{2}$，则直线垂直于$x$轴（斜率不存在）；
• $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$，则$k<0$，且斜率随倾斜角的增加而增加。

4. 平行与垂直

Note

注：平面中“两条直线”，无特殊说明，指不重合的；若已知直线$l_1,l_2$，则其可能重合。

① 已知$l_1:y=k_1x+b_1,\ l_2:y=k_2x+b_2$，则：

② 已知$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,\ l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$，则：

• $A_1B_2=A_2B_1$，则$l_1$与$l_2$的位置关系为平行或重合（需验证）；
• $l_1\perp l_2 \Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0$。

③ “两条直线平行”是“两条直线的斜率相等”的既不充分也不必要条件。

④ 平行/垂直/过交点的直线系：

• 与直线$Ax+By+C=0$平行的直线系为：$Ax+By+\lambda=0\ (\lambda\neq C)$；
• 与直线$Ax+By+C=0$垂直的直线系为：$Bx-Ay+\lambda=0$；
• 过直线$A_1x+B_1y+C_1=0$与$A_2x+B_2y+C_2=0$交点的直线系为：

$(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0$ （不包含$A_2x+B_2y+C_2=0$）

5. 直线方程

② 截距与距离的区别：截距$\in\mathbb{R}$是坐标，有正负，距离$\ge0$。

• 直线的截距相等，则直线：$x+y=a (k=1)$ 或 $y=kx (\text{过}(0,0))$；
• 直线的截距的绝对值相等，则直线：$x+y=a (k=1)$ 或 $x-y=a (k=-1)$ 或 $y=kx (\text{过}(0,0))$。

③ 点到直线的距离：点$P(x_0,y_0)$到直线$l:Ax+By+C=0$的距离： $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Note

直线方程需为标准的一般式。

④ 两平行直线间的距离公式： $d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Note

两直线方程中$x,y$的系数要相同。

6. 对称问题

① 点关于点对称：$A(x_1,y_1)$关于$P(x_0,y_0)$的对称点为$(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$。

② 点关于线对称：$A(x_0,y_0)$关于$l:Ax+By+C=0$的对称点为：

Note

求解思路：线段$AA'$的中点在$l$上，且$AA'\perp l$。

特别地，当直线的斜率为$\pm1$时，如$l:y=x+b$，则对称点为$(y_0-b,x_0+b)$。

③ 线关于点对称（点不在线上）：$l:Ax+By+C=0$关于$P(x_0,y_0)$的对称线为：

Note

求解思路：

• 方法1：设$l' \parallel l$，即$l':Ax+By+\lambda=0\ (\lambda\neq C)$，利用$P$到$l,l'$的距离相等；
• 方法2：在$l$上任取两个点，求其关于$P$的对称点，再求直线方程；
• 方法3：直接法，设$l$上任一点$A(x,y)$，关于$P$的对称点$A'(2x_0-x,2y_0-y)$在$l'$上，代入方程化简。

④ 线关于线对称（两线不重合）：求解思路：特殊点法、直接法。

⑤ 镜面反射问题：常用“入射光线上的点关于镜面的对称点在反射光线的反向延长线上”。

⑥ 利用对称求最值

• 点$A,B$在直线$l$同侧，在$l$上找一点$P$：使$|PA|+|PB|$最小（对称点连线与$l$交点）；使$||PA|-|PB||$最大（延长线与$l$交点）。
• 点$A,B$在直线$l$两侧，在$l$上找一点$P$：使$|PA|+|PB|$最小（直接连线与$l$交点）；使$||PB|-|PA||$最大（对称点连线与$l$交点）。

Note

三点共线求最值+对称转化

7. 直线过定点

求定点的方法：

• 方法1：化成点斜式；
• 方法2：化成$f(x,y)+\lambda g(x,y)=0$，则$\begin{cases}f(x,y)=0 \\ g(x,y)=0\end{cases}$的解即为定点。

Note

适用场景：含参数的一次式。

8. 直线的方向向量

① 定义：向量所在直线与已知直线平行或重合。 ② 直线$y=kx+b$的方向向量为$(1,k)$； 直线$Ax+By+C=0$的方向向量为$(B,-A)$。

9. 证明三点共线的方法

1. 斜率相等且有公共点；
2. 向量共线且有公共点；
3. $|AB|+|BC|=|AC|$(若$B$在$AC$中间)。

1. 圆的方程

• 标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$；
• 一般式：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\ (D^2+E^2-4F>0)$，圆心$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，半径$\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$；
• 参数方程：$\begin{cases}x=a+r\cos\theta \\ y=b+r\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），$(a,b)$为圆心，$r$为半径；
• 以$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$为直径的圆的方程：$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$。

① 二元二次方程$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$表示圆的条件： $\begin{cases} A=C\neq0 \\ B=0 \\ (\frac{D}{A})^2+(\frac{E}{A})^2-4\frac{F}{A}>0 \end{cases}$

② $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$表示点的条件：$D^2+E^2-4F=0$，其点为$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。

2. 直线与圆的位置关系

（圆心到直线的距离为$d$，半径为$r$）

① 几何关系：

• 相离：$d>r$；
• 相切：$d=r$；
• 相交：$d<r$。

② 研究方法：代数联立法、几何法（常用）。

• 若直线过圆内一点，则直线与圆相交；
• 若直线过圆上一点，则直线与圆相切或相交。

③ 常用结论：

• 直线与圆相切时：$CN\perp l$，$CN=r$（$N$为切点）；
• 直线与圆相交时：$CQ\perp MN$（垂径定理，$Q$为弦$MN$中点）。

3. 切线

① 切线方程：

• 过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程：$x_0x+y_0y=r^2$；
• 过圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程：$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$；
• 过圆$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程： $x_0x+y_0y+D\cdot\frac{x+x_0}{2}+E\cdot\frac{y+y_0}{2}+F=0$

② 切线条数：

• 过圆上一点，有1条切线；
• 过圆外一点，有2条切线。

Warning

求切线方程时，需先判断点与圆的位置关系，再决定切线的条数

方法：①设斜截式（斜率存在时），②点到切线的距离等于半径。

4. 点与圆的位置关系

已知$P(x_0,y_0)$，圆$C:x^2+y^2=r^2$，则：

• $P$在$C$上 $\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2=r^2$；
• $P$在$C$内 $\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2<r^2$；
• $P$在$C$外 $\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2>r^2$。

5. 圆与圆的位置关系

（圆心距$d$，两圆半径$r_1,r_2$）

① 几何关系：

• 相离：$d>r_1+r_2$；
• 外切：$d=r_1+r_2$；
• 相交：$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$；
• 内切：$d=|r_1-r_2|$；
• 内含：$d<|r_1-r_2|$。

② 公切线条数：

• 两圆相离：4条；
• 两圆外切：3条；
• 两圆相交：2条；
• 两圆内切：1条。

③ 相交/相切的结论：

• 两圆相交时，相交弦所在直线方程为两圆方程相减；相交弦的中垂线方程为两圆心所在直线；
• 两圆相切时，切点、两圆心三点共线。

6. 与圆有关的最值问题

（以$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$为例）

• ① $z=\frac{y-m}{x-n}$：点$(n,m)$与圆上点$Q(x,y)$的连线的斜率，临界情况为过$P$的圆的切线；
• ② $z=mx+ny$：纵截距$y=-\frac{m}{n}x+\frac{z}{n}$；
• ③ $z=(x-m)^2+(y-n)^2$：点$(m,n)$到圆上点$Q$的距离的平方；
• ④ 过圆内一点$P(m,n)$，最长弦为直径$|CD|$，最短弦为垂直于直径的弦$|AB|$。

总结：有关圆的最值问题，数形结合时向圆心靠拢；代数法常用三角换元。

7. 阿波罗尼斯圆

• ① 定义：在平面上，给定相异的两点$A,B$，设$P$在同一平面上，满足$|PA|=\lambda|PB|\ (\lambda\neq1)$，则$P$的轨迹是个圆。
• ② 若$|AB|=a$，$|PA|=\lambda|PB|\ (\lambda>0,\lambda\neq1)$，则半径$r=\frac{\lambda a}{|\lambda^2-1|}$。

1. 椭圆定义

① 第一定义：已知$F_1,F_2$为两定点，$P$是动点，满足：

焦距为$2c$，长轴长为$2a$；

当常数$=|F_1F_2|$时，$P$的轨迹为线段$F_1F_2$。

② 第二定义：动点$M$与定点$F$的距离和$M$到定直线$l$的距离的比是常数$e(0<e<1)$，则$M$的轨迹为椭圆。

Note

左焦点对应右准线，右焦点对应左准线

若$P(x_0,y_0)$是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$上一点，则：$|PF_1|=a+ex_0,\quad |PF_2|=a-ex_0$

③ 第三定义：$A(-a,0),\ B(a,0)$，直线$AM,BM$交于$M$，且$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2}$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$两点的椭圆。

推广：$A,B$为关于原点对称的两点，$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2}$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$两点的椭圆。

2. 椭圆标准方程

① $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 或 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$；

Note

焦点位置判断口诀：“谁大在谁上”

求椭圆标准方程要先定焦点位置，再定量

② 统一方程：$mx^2+ny^2=1\ (m>0,n>0,m\neq n)$，常用于过两点求椭圆方程。

③ 参数方程：$\begin{cases}x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）。

④ 共焦点椭圆方程：

• 与$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$有相同焦点的椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2+k}+\frac{y^2}{b^2+k}=1\ (k>-b^2)$；
• 与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$有相同焦点的椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2+k}+\frac{y^2}{k-b^2}=1\ (k>b^2)$。

3. 椭圆的常用结论

① $\triangle ABF_2$的周长为$4a$（$AB$过$F_1$）。

② 焦点三角形$PF_1F_2$：

• 常用结论：椭圆定义、余弦定理、面积公式；
• 面积：$S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}$；
• $|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{2b^2}{1+\cos\theta}$（推导：由余弦定理$(2c)^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos\theta$，结合$|PF_1|+|PF_2|=2a$，化简得$|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{2b^2}{1+\cos\theta}$）；
• $P$从$A$到$B$运动时，$\theta$先变大后变小，$S_{\triangle PF_1F_2}$先变大后变小。

③ 焦点弦：

• $|F_2A|=\frac{b^2}{a+c\cos\theta},\ |F_2B|=\frac{b^2}{a-c\cos\theta}$，$|AB|=\frac{2b^2}{1-e^2\cos^2\theta}$；
• $\frac{1}{|F_2A|}+\frac{1}{|F_2B|}=\frac{2a}{b^2}$；
• 通径：过焦点垂直于长轴的弦，长为$\frac{2b^2}{a}$；是过焦点的弦中最短的弦，最长的弦为长轴；
• 焦半径$r$的范围：$[a-c,a+c]$；
• $P$在右顶点时$|PF_1|$最大，在左顶点时$|PF_1|$最小。

④ 离心率：

• $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{|F_1F_2|}{|PF_1|+|PF_2|}=\cos\angle BF_1O$
• $e$越大，椭圆越扁；

Note

记忆方法：$a$不变，$e$越大，$\frac{b^2}{a}$越小，$b$越小，椭圆越扁。

• $e\in(0,1)$。

⑤ 光学性质：由一个焦点射向椭圆上任意一点的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一焦点。

4. 点与椭圆的位置关系

（$P(x_0,y_0)$，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$）

• 点在椭圆上 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow |PF_1|+|PF_2|=2a$；
• 点在椭圆内 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1 \Leftrightarrow |PF_1|+|PF_2|<2a$；
• 点在椭圆外 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}>1 \Leftrightarrow |PF_1|+|PF_2|>2a$。

Note

类比圆

② 直线$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$的几何意义：

• 若$P$在椭圆上，$l$表示在$P$处的切线；
• 若$P$在椭圆内，$l$表示中点弦所在直线；
• 若$P$在椭圆外，$l$表示切点弦所在直线；
• 特别地，当$P$为焦点时，$l$为准线。

5. 直线与椭圆

① 位置关系：相离、相交、相切，判断方法：联立方程，判别式$\Delta$。

② 弦长公式：直线$l:y=kx+m$与椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$交于$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$：

联立方程得：$(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0$，则：

③ 直线的设法：

• 设为$x=ty+n$：过$x$轴上的定点，使用条件：斜率不为0；
• 设为$y=kx+b$：过$y$轴上的定点，使用条件：斜率存在。

6. 最值问题

① 求椭圆上的点到定直线的距离的最值的方法：椭圆的参数方程、平行直线系（常用参数方程）。

② 定点与椭圆上点的最值：

• $P$为椭圆上一点，$M$为椭圆内一定点：
  • $|PM|+|PF_1|$的最值：$[2a-|MF_2|,2a+|MF_2|]$；
  • $||PM|-|PF_1||$的最值：$[-|MF_1|,|MF_1|]$；
• $P$为椭圆上一点，$M$为椭圆外一定点：
  • $|PM|+|PF_1|$的最小值：$|MF_2|$；
  • $|PM|-|PF_1|$的最小值：$|PM|-2a+|PF_2|$；
• $P$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上一点，$M$为椭圆内一定点，求$|PM|+\frac{c}{a}|PF_2|$的最小值：
  • 利用第二定义，$\frac{|PF_2|}{d}=e=\frac{c}{a}$，即$\frac{c}{a}|PF_2|=d$（$d$为$P$到右准线的距离），转化为$|PM|+d$的最小值。

7. 过原点的直线交椭圆于$A,B$两点

由椭圆的对称性知，四边形$AF_1BF_2$为平行四边形。

8. 中点弦性质

直线$AB$与椭圆交于$A,B$两点，$P$为线段$AB$的中点，则： $k_{AB}\cdot k_{OP}=-\frac{b^2}{a^2}$

9. 直线与椭圆位置关系的常用方法

设而不求、点差法（中点问题优先考虑点差法）。

10. 求范围问题

常用：$\Delta>0$、$|x|\le a$且$|y|\le b$、$e\in(0,1)$。

11. 求离心率的值或范围

常用：数形结合、齐次式、点在椭圆上。

12. 焦点问题

焦点常成对出现，不足时补齐；有关焦点的问题要考虑定义。

13. 焦点弦与准线的位置关系

以过椭圆的焦点的弦为直径的圆与其相应的准线相离。

1. 双曲线定义

① 第一定义：已知$F_1,F_2$是两定点，$P$是动点，符号表示为：

焦距为$2c$，实轴长为$2a$；

当常数$=|F_1F_2|$时，$P$的轨迹为以$F_1,F_2$为端点的两条射线。

② 第二定义：动点$M$与定点$F$的距离和$M$到定直线$l$的距离的比是常数$e(e>1)$，则$M$的轨迹为双曲线。

Note

• 注意：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
• 若$M(x_0,y_0)$是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$上一点，则： $|PF_1|=|a+ex_0|,\quad |PF_2|=|a-ex_0|$
• 求焦半径常用方法是第二定义；焦半径范围为$[c-a,+\infty)$。

③ 第三定义：$A(-a,0),B(a,0)$，$k_{AM}\cdot k_{BM}=\frac{b^2}{a^2}$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$两点的双曲线。

Note

整合：已知$A(-a,0),B(a,0)$，动点$M$满足$k_{MA}\cdot k_{MB}=e^2-1$：

• 若$e\in(0,1)$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$的椭圆；
• 若$e\in(1,+\infty)$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$的双曲线。

2. 双曲线标准方程

① 标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$。

Note

焦点位置判断口诀：谁正就在谁上；

求双曲线标准方程要先定焦点位置后定量。

② 统一方程：$mx^2+ny^2=1\ (mn<0)$；焦点在$x$轴上满足条件：$m>0,n<0$。

③ 共焦点方程：

• 与$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$共焦点的双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2-k}-\frac{y^2}{k-b^2}=1\ (b^2<k<a^2)$；
• 与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$共焦点的双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2+k}-\frac{y^2}{b^2-k}=1\ (-a^2<k<b^2)$。

3. 常用结论

① $\triangle ABF_2$的周长为$4a+2|AB|$（$AB$过$F_1$且交双曲线于同一支）。

② 焦点$\triangle PF_1F_2$：

• 研究时常用到双曲线定义、余弦定理、面积公式；
• 面积：$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}$；
• $|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{2b^2}{1-\cos\theta}$；
• 圆$M$为$\triangle PF_1F_2$的内切圆，则$M$的横坐标为$a$（推导：$|PF_1|-|PF_2|=|GF_1|-|EF_2|=(x_P+c)-(c-x_P)=2x_P=2a$，故$x_P=a$）。

③ 焦点弦：

• $|F_1A|=\frac{b^2}{1-e\cos\theta},\ |F_1B|=\frac{b^2}{1+e\cos\theta}$，$|AB|=\frac{2b^2}{1-e^2\cos^2\theta}$；
• $\frac{1}{|F_1A|}+\frac{1}{|F_1B|}=\frac{2a}{b^2}$；
• 通径长为$\frac{2b^2}{a}$。

④ 离心率： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{||PF_1|-|PF_2||}{|F_1F_2|}$ $e$越大，双曲线开口越大

Note

理解方法：$e$越大，$\frac{b}{a}$越大，渐近线斜率越大。

⑤ 光学性质：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。

⑥ 渐近线：

• $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的渐近线方程为：$y=\pm\frac{b}{a}x$；
• $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的渐近线方程为：$y=\pm\frac{a}{b}x$；
• $mx^2-ny^2=1\ (mn>0)$的渐近线方程为：$mx^2-ny^2=0$

Note

方法：将“1”变为“0”

• 渐近线为$y=\pm\frac{n}{m}x\ (m>0,n>0)$的双曲线方程可设为：$\frac{y^2}{n^2}-\frac{x^2}{m^2}=\lambda\ (\lambda\neq0)$；
• 与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$有相同渐近线的双曲线方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda\ (\lambda\neq0)$；
• 焦点到一条渐近线的距离为$b$。

4. 特殊双曲线

① 等轴双曲线：

• 定义：实轴等于虚轴；
• 渐近线方程：$y=\pm x$，夹角为$\frac{\pi}{2}$；
• 离心率：$e=\sqrt{2}$；
• 方程可设为：$x^2-y^2=\lambda\ (\lambda\neq0)$。

② 共轭双曲线：

• 定义：实轴、虚轴互换；
• 互为共轭的双曲线的渐近线方程相同；满足$\frac{1}{e_1^2}+\frac{1}{e_2^2}=1$，四焦点共圆；
• $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的共轭双曲线方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$。

③ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$：

• 实轴长为$2\sqrt{2|k|}$；
• 渐近线方程为$x=0,y=0$；
• 离心率为$\sqrt{2}$；
• 函数$y=x+\frac{k}{x}(k>0)$的渐近线方程为$y=x,x=0$，离心率为$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$。

5. 直线与双曲线

① 过定点$P$与双曲线只有一个交点的直线条数：

• 当定点 P 在①内，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有2条
• 当定点 P 在②内，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有4条
• 当定点 P 在③内，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有4条
• 当定点 P 在双曲线上，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有3条
• 当定点 P 在渐近线上，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有2条
• 当定点 P 在原点上，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有0条

② 直线$l:y=kx+m$与双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$交于$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$：

联立方程得：$(b^2-a^2k^2)x^2-2a^2kmx-a^2m^2-a^2b^2=0$，$\Delta=4a^4b^2(b^2-a^2k^2+m^2)$。

• 当$b^2-a^2k^2=0$或$\Delta=0$时，$l$与$C$只有一个交点；
• 当$\begin{cases}b^2-a^2k^2\neq0 \\ \Delta>0\end{cases}$时，$l$与$C$有两个不同交点；
• 当$\begin{cases}b^2-a^2k^2\neq0 \\ \Delta>0 \\ x_1x_2=\frac{-a^2(m^2+b^2)}{b^2-a^2k^2}>0\end{cases}$时，$l$与$C$同支交于两点；
• 当$\begin{cases}b^2-a^2k^2\neq0 \\ x_1x_2=\frac{-a^2(m^2+b^2)}{b^2-a^2k^2}<0\end{cases}$时，$l$与$C$交于不同两支。

③ 切线：

• 已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$，点$P(x_0,y_0)$：
  1. 若$P$在$C$上，则$P$处的切线方程为：$\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$；
  2. 若$P$在$C$外，过$P$引$C$的两条切线，则切点弦方程为：$\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$；
  3. $C$与直线$Ax+By+C=0$相切的条件是：$B^2b^2-A^2a^2+C^2=0$。

④ 中点弦性质：设$M(x_0,y_0)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的弦$AB$（$AB$不平行$y$轴）的中点，则$k_{AB}\cdot k_{OM}=\frac{b^2}{a^2}$；

过原点的直线交双曲线于$A,B$，$P$是双曲线上任一点，则$k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{b^2}{a^2}$。

⑤ 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆与其相应的准线相交。

1. 抛物线定义

• 动点$P$到定点$F$和定直线$l$的距离相等（$F\notin l$），则$P$的轨迹为抛物线；
• 当$F\in l$时，$P$的轨迹为过$F$且垂直于$l$的直线。