高中数学_导数知识点留档

高中数学导数知识点留档

首先感谢我的数学老师

一、变化率与导数

平均变化率与瞬时变化率的关系：平均变化率的极限是瞬时变化率
割线与切线的关系：割线的极限是切线
“直线与曲线只有一个交点”是“直线是曲线的切线”的：既不充分也不必要条件
$y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数： $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
$\Delta x$ 的范围为： $\boldsymbol{\Delta x \neq 0}$
导数的几何意义：这一点的导数值是这点切线的斜率
$y=|x|$ 在 $x=0$ 处的导数：不存在 $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x-0}{x}=1; \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x}=-1$
某点有导数必有切线，有切线未必有导数（ $\boldsymbol{\checkmark}$ ）
$f'(x_1)>f'(x_2)$ 反映曲线在 $x=x_1$ 处比 $x=x_2$ 处的瞬时变化快（ $\boldsymbol{\times}$ ）（需要同号才能比，变化速率看绝对值）
$f(x)=x^3$ 在原点处的切线方程为： $\boldsymbol{y=0}$
“在”与“过”求切线方程的步骤：
1. 分清“在”与“过”：“在”处是切点，“过”时没切点
2. 假设切点，列切线方程，验证（切点在曲线、过点在切线上）

二、导数的运算

1. 基本求导公式

(c)'={0}\quad (x^\alpha)'={\alpha x^{\alpha-1}}\quad (\sin x)'={\cos x}\quad (\cos x)'={-\sin x}

(a^x)'={a^x \ln a}\quad (e^x)'={e^x}\quad (\log_a x)'={\frac{1}{x \ln a}}\quad (\ln x)'={\frac{1}{x}}

(x \ln x)'={\ln x + 1}\quad (\frac{1}{x})'={-\frac{1}{x^2}}\quad (\sqrt{x})'={\frac{1}{2\sqrt{x}}}

(e^x f(x))'={e^x(f(x)+f'(x))} \quad \left[\frac{f(x)}{e^x}\right]'={\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}}

2. 四则运算法则

(f \pm g)' = {f' \pm g'}\quad (f \cdot g)' = {f'g + fg'}

\left(\frac{f}{g}\right)' = {\frac{f'g - fg'}{g^2}}

[f(g(x))]' = {f'(g(x)) \cdot g'(x)}\quad (f \cdot g \cdot h)' = {f'gh + fg'h + fgh'}

3. 推导函数的导数

① $f(x)=x^3$ ② $f(x)=\sqrt{x}$ ③ $f \cdot g$ （见下面推导）

① $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x[(x+\Delta x)^2+(x+\Delta x)x+x^2]}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2) = 3x^2$
② $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
③ 乘积求导法则推导：

\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[f(x+\Delta x) \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x) \cdot \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right] \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} f(x+\Delta x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} + g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) \end{align*}

4. 隐函数求导

例： $x^2+4y^2-4=0$ ，求导：

2x + 8y \cdot y' = 0 \implies x + 4y \cdot y' = 0

（高中阶段把 $y$ 当作 $y(x)$ 处理，然后对 $x$ 求导即可）

三、应用

求单调性的步骤：①求定义域 ②求导 ③判断 $f'(x)>0,f'(x)<0$ ④下结论
$f'(x)=0$ 在某区间上恒成立，则 $f(x)$ 在此区间上为常函数
单调性与导数的转化：
- 已知 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单增，可转化为 $\boldsymbol{f'(x) \geq 0}$ 在 $D$ 上恒成立且 $f'(x)$ 不恒为0
- 已知 $f(x)$ 的增区间为 $D$ ，可转化为 $\boldsymbol{f'(x)>0}$ 的解集为 $D$
- 已知 $f(x)$ 在区间 $D$ 上存在增区间，可转化为 $\boldsymbol{f'(x)>0}$ 在此区间上有解
导数 $f'(x)$ 的图象反映 $f(x)$ 的性质：导函数正负反映原函数增减，导函数增减反映原函数凹凸（ $f''(x) \geq 0$ 下凸， $f''(x) \leq 0$ 上凸）
$f(x)$ 在区间 $D$ 上是凸函数 $\iff f''(x) \leq 0 \iff f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \geq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
极值与最值的区别：极值是局部概念，最值是整体概念；最值来自于极值或端点
说“点”不是“点”：极值点、零点（指函数性质，非几何点）
极小值点的定义： ① $f(x)$ 在 $x=a$ 的函数值 $f(a)$ 比 $a$ 附近的函数值都小； ② $f'(a)=0$ ，且在 $x=a$ 的左侧 $f'(x)<0$ ，右侧 $f'(x)>0$ ，则 $a$ 叫极小值点
求极值的步骤：①求定义域 ②求导 ③求单调性 ④求极值
最大值的定义：① $\forall x \in$ 定义域 $I$ ，都有 $f(x) \leq M$ ；② $\exists x_0 \in I$ ，使得 $f(x_0)=M$
求最值的步骤：①求极值 ②求端点函数值 ③比较下结论
$f(x)$ $f (x)$ 奇偶性与 $f'(x)$ $f^{'} (x)$ 奇偶性的关系：
1. 奇函数的导数是偶函数，反之不一定（有常数项）
2. 偶函数的导数是奇函数，反之也成立
$f(x)$ 周期与 $f'(x)$ 周期的关系： $f(x)$ 周期与 $f'(x)$ 周期相同
已知 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，求参数的方法：① $f'(x_0)=0$ ②验证

四、恒成立与能成立

1. 基础结论

$f(x)>a$ 恒成立 $\iff {a < f(x)_{\min}}$
$a < f(x)$ 能成立 $\iff {a < f(x)_{\max}}$

Note
从参数开始读
恒成立：大大小小
能成立：大小小大
$f(x)>g(x)$ 恒成立 $\iff {[f(x)-g(x)]_{\min} > 0}$
$\forall x_1,x_2$ ，有 $f(x_1)>g(x_2) \iff {f(x)_{\min} > g(x)_{\max}}$
$\exists x_1,x_2$ ，有 $f(x_1)>g(x_2) \iff {f(x)_{\max} > g(x)_{\min}}$
$\forall x_1, \exists x_2$ ，有 $f(x_1)>g(x_2) \iff {f(x)_{\min} > g(x)_{\min}}$

Note
双变量不等式
一动一静
各个击破
找最值关系
$a=f(x)$ 成立 $\iff {a \in f(x) \text{的值域}}$
$\forall x_1, \exists x_2$ ，有 $f(x_1)=g(x_2) \iff {f(x) \text{值域} \subseteq g(x) \text{值域}}$
$\forall x_1,x_2$ ，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<C$ 成立 $\iff {f(x)_{\max}-f(x)_{\min} < C}$

2. 对称性与恒成立

$f(x)$ 的图象关于 $x=a$ 对称 $\iff f(x)$ 的图象关于 $(a,0)$ 对称
$f(x)$ 的图象关于 $(a,b)$ 对称 $\iff f(x)$ 的图象关于 $x=a$ 对称
$f(x)$ 的图象关于 $x=a$ 对称 $\iff f(x)$ 的图象关于 $(a,t)$ 对称

五、图象

1. 常见函数的图象

常见函数的图象

2. 求极值点（第7页补充）

① $y=(x-1)e^x = \frac{(x-1)e^{x-1}}{e}$ ，极小值为 $0$ （ $y=x e^x$ 变型）
② $y=x e^{x+1} = x e^x \cdot e$ ，极小值为 $-1$ （ $y=x e^x$ 变型）
③ $y=\frac{e^x}{x-1} = \frac{e^{x-1}}{x-1} \cdot e$ ，极小值为 $2$ （ $y=\frac{e^x}{x}$ 变型）
④ $y=\frac{e^{x+1}}{x} = \frac{e^x}{x} \cdot e$ ，极小值为 $1$ （ $y=\frac{e^x}{x}$ 变型）
⑤ $y=x^2 \ln x = \frac{x^2 \ln x^2}{2}$ ，极小值为 $\frac{1}{\sqrt{e}}$ （ $y=x \ln x$ 变型）
⑥ $y=\frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x^2}{2x^2}$ ，极大值为 $\sqrt{e}$ （ $y=\frac{\ln x}{x}$ 变型）
⑦ $y=\frac{\ln x + 1}{x} = \frac{\ln (e x)}{e x} \cdot e$ ，极大值为 $1$ （ $y=\frac{\ln x}{x}$ 变型）
⑧ $y=\frac{\ln x - 1}{x} = \frac{\ln \frac{x}{e}}{\frac{x}{e}} \cdot \frac{1}{e}$ ，极大值为 $e^{2}$ （ $y=\frac{\ln x}{x}$ 变型）

3. 画函数大致图象的步骤

奇偶性 $\to$ 单调性 $\to$ 特殊点 $\to$ 极值点等

六、三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a \neq 0)$

f'(x)=3ax^2+2bx+c, \quad \Delta=4b^2-12ac

三次函数

$a>0$ 且 $\Delta>0$ 的大致图象
$a>0$ 且 $\Delta<0$ 的大致图象
零点个数判定（ $a>0$ $a > 0$ 且 $\Delta>0$ $Δ > 0$ ）：
- 满足极大值×极小值>0时， $f(x)$ 只有一个零点
- 满足其中一个为0时， $f(x)$ 有两个零点
- 满足极大值×极小值<0时， $f(x)$ 有三个零点
函数的对称中心为 $\left(-\frac{b}{3a}, f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ ，对称轴 $x=-\frac{b}{3a}$
根与系数的关系（韦达定理）： $x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$
过点 $P$ $P$ 作三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a>0)$ $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a > 0)$ 图象的切线条数： $l$ $l$ 为 $y=f(x)$ $y = f (x)$ 在其对称中心 $N$ $N$ 处的切线，曲线与切线将平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分：
- 当 $P$ 在 $N$ 或Ⅰ、Ⅲ区时，切线有 $\boldsymbol{1}$ 条
- 当 $P$ 在Ⅱ、Ⅳ区时，切线有 $\boldsymbol{3}$ 条
- 当 $P$ 在曲线或 $l$ 上（不含 $N$ ）时，切线有 $\boldsymbol{2}$ 条

三次函数切线

七、构造函数常用技巧

\begin{align*} &\text{\textcircled{1}} \ f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \quad \Leftrightarrow \quad [f(x)g(x)]' \\ &\text{\textcircled{2}} \ f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \quad \Leftrightarrow \quad \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' \\ &\text{\textcircled{3}} \ nf(x)+xf'(x) \quad \Leftrightarrow \quad [x^n f(x)]' \\ &\text{\textcircled{4}} \ xf'(x)-nf(x) \quad \Leftrightarrow \quad \left[\frac{f(x)}{x^n}\right]' \\ &\text{\textcircled{5}} \ \tan x \cdot f'(x)+f(x) = \frac{[\sin x \cdot f(x)]'}{\cos x} \\ &\text{\textcircled{6}} \ \tan x \cdot f'(x)-f(x) = \frac{[\sin x \cdot f'(x)-\cos x \cdot f(x)]}{\cos x} = \left[\frac{f(x)}{\sin x}\right]' \frac{1}{\cos x} \\ &\text{\textcircled{7}} \ f'(x)-\tan x \cdot f(x) = \left[\frac{f(x)}{\sin x}\right]' \sin x = \frac{[\cos x \cdot f'(x)-\sin x \cdot f(x)]}{\cos x} = \left[f(x)\cos x\right]' \frac{1}{\cos x} \\ &\text{\textcircled{8}} \ f'(x)+\tan x \cdot f(x) = \frac{[\cos x \cdot f'(x)+\sin x \cdot f(x)]}{\cos x} = \left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]' \frac{1}{\cos x} \end{align*}

八、指对同构

1. 基础同构式

\begin{align*} &\text{\textcircled{1}} \ x e^x = e^{x+\ln x} \\ &\text{\textcircled{2}} \ \frac{e^x}{x} = e^{x-\ln x} \\ &\text{\textcircled{3}} \ x+\ln x = \ln(x e^x) \\ &\text{\textcircled{4}} \ x-\ln x = \ln\frac{e^x}{x} \end{align*}

2. 常见同构变形

① $a e^a \leq b \ln b$ ：令 $f(x)=x e^x$ 或 $x \ln x$ 或 $\ln x + x$
② $\frac{e^a}{a} < \frac{b}{\ln b}$ ：令 $f(x)=\frac{e^x}{x}$ 或 $\frac{x}{\ln x}$ 或 $x-\ln x$
③ $e^a - a \geq b - \ln b$ ：令 $f(x)=e^x - x$ 或 $x - \ln x$
④ $a e^{ax} > \ln x$ ：令 $f(x)=x e^x$ ， $ax \cdot e^{ax} > x \ln x$
⑤ $e^x > a \ln(ax-a)-a$ ：令 $f(x)=e^x+x$ ， $\frac{e^x}{a} > \ln a + \ln(x-1)-1 \implies e^{x-\ln a} + x - \ln a > \ln(x-1)+x+1$

九、常用不等式

1. 基础不等式

① $e^x \geq x+1 > x > x-1 \geq \ln x$
② $x \in (0,\frac{\pi}{2})$ ： $\sin x < x < \tan x$
③ $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} > \frac{a+b}{2} > \frac{b-a}{\ln b - \ln a} (\text{对数均值不等式}) > \sqrt{ab} > \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ (b>a>0)$
证明：令 $\frac{b}{a}=x$ ，然后构造即可
④ $e^x \geq e x$ ， $\ln x \leq \frac{1}{e}x$

2. 泰勒展开式

f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \quad (\text{余项})

$x_0=0$ 时，麦克劳林展开式：

\begin{align*} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \\ \ln(1+x) &= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) \\ \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2k}) \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k}) \\ \frac{1}{1+x} &= 1-x+x^2-\dots+(-1)^{n-1}x^n \end{align*}

3. 切线放缩

以核心不等式 $\boldsymbol{e^x \geq 1+x}$ 为根，完整推导链如下：

一、核心母不等式

\boldsymbol{e^x \geq 1+x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=0 \text{ 时成立})

二、第一分支： $e^x$ 衍生不等式

对母式做变量替换 $x \to x-1$ ： $e^{x-1} \geq x \implies \boldsymbol{e^x \geq ex} \quad (\text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立})$
对 $e^x \geq ex$ 做变量替换 $x \to \ln x$ （ $x>0$ ）： $x \geq e\ln x \implies \boldsymbol{\ln x \leq \frac{1}{e}x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=e \text{ 时成立})$
对 $\ln x \leq \frac{1}{e}x$ 做变量替换 $x \to \frac{1}{x}$ （ $x>0$ ）： $-\ln x \leq \frac{1}{ex} \implies \boldsymbol{-\frac{1}{e}x \leq \ln x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=\frac{1}{e} \text{ 时成立})$
对母式做变量替换 $x \to -x$ （ $x>1$ ）： $e^{-x} \geq 1-x \implies \boldsymbol{e^x \geq \frac{1}{1-x} \ (x>1)}$

三、第二分支： $\ln x$ 衍生不等式

对母式做变量替换 $x \to \ln x$ （ $x>0$ ）： $x \geq 1+\ln x \implies \boldsymbol{\ln x \leq x-1} \quad (\text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立})$
对母式做变量替换 $x \to \ln(1+x)$ （ $x>-1$ ）： $1+x \geq 1+\ln(1+x) \implies \boldsymbol{\ln(1+x) \leq x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=0 \text{ 时成立})$
对 $\ln x \leq x-1$ 做变量替换 $x \to \frac{1}{x}$ （ $x>0$ ）： $-\ln x \leq \frac{1}{x}-1 \implies \boldsymbol{\ln x \geq 1-\frac{1}{x}} \quad (\text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立})$
联立 $\ln x \leq x-1$ 与 $\ln x \geq 1-\frac{1}{x}$ ，得到核心双向不等式： $\boldsymbol{1-\frac{1}{x} \leq \ln x \leq x-1} \quad (x>0, \text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立})$
对 $1-\frac{1}{x} \leq \ln x \leq x-1$ 做变量替换 $x \to x+1$ （ $x>-1$ ）： $\boldsymbol{\frac{x}{x+1} \leq \ln(1+x) \leq x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=0 \text{ 时成立})$

1
                e^x ≥ 1+x (核心)
2
                /       |       \
3
               /        |        \
4
e^x ≥ 1/(1-x)(x>1)  ln(1+x)≤x  ln x ≤ x-1
5
      |              |              |
6
      |              ↓x+1→x         ↓1/x→x
7
      |            ln x ≤ x-1  ln x ≥ 1-1/x
8
      |              |              |
9
      ↓x-1→x         └──────────────┘
10
    e^x ≥ ex                     1-1/x ≤ ln x ≤ x-1
11
      |                                  |
12
      ↓ln x→x                            ↓x+1→x
13
   ln x ≤ (1/e)x                   x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x
14
      |
15
      ↓1/x→x
16
  - (1/e)x ≤ ln x

十、隐零点

超越方程的两种处理方式：

观察出根，搭配单调性定解
用零点存在定理确定根的存在，但无法显性表达，采用设而不求的策略

步骤

1° 利用零点存在定理判定其零点的存在性，并结合函数的单调性确定零点的范围
2° 以零点为分界，说明 $f'(x)$ 的正负，判断 $f(x)$ 的单调性
3° 将零点方程适当变形，代入需要式子化简求解

十一、极值点偏移

方法

移项（两极值点之积、之和相关的不等式问题，从结论出发，反向分析）
换元（常用比值、差值换元）
$\rightarrow$ 构造函数

十二、恒成立与能成立（补充）

结论

① 二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c<0\ (a>0)$ 在 $[m,n]$ 上恒成立，则 $\begin{cases} f(m)<0 \\ f(n)<0 \end{cases}$
② 一次函数 $f(x)=kx+b>0$ 在 $[m,n]$ 上恒成立，则 $\begin{cases} f(m)>0 \\ f(n)>0 \end{cases}$ ；
在 $[m,+\infty)$ 上恒成立，则 $\begin{cases} k>0 \\ f(m)>0 \end{cases}$
优先考虑参变分离
直接法

十三、不等式证明

作差构造法
双函数构造法（直接比较复杂或无从下手时用，本质是中间变量法，慎用！）
放缩法

十四、求单调性

求定义域
求导化简（常见通分、分解因式）
含参时，从“恒正恒负”入手分类讨论