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一、角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形

二、角的分类

三、终边相同的角

所有与角$\alpha$终边相同的角，连同角$\alpha$在内，可构成一个集合 $S=\{\boldsymbol{\beta \mid \beta=\alpha+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}}\}$

• 终边相同的角的集合：$\alpha+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$
• 终边在一条直线上的角的集合：$\alpha+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$
• 终边相互垂直的角的集合：$\alpha+\frac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}$

Important

• 区分：锐角，小于90°的角，第一象限角
• 钟表走过的角都是负角
• 判断角所在的象限：化正，化小，化锐
• 终边共直线，加上 $k\pi$ ；终边共射线，加上 $2k\pi$

四、弧度制

(1) 定义：以弧度作为单位来度量角的单位制

(2) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角，记作 1 rad,rad 可省略不写

五、角度与弧度的互化

$180^\circ=\boldsymbol{\pi}\ \text{rad}$

$1^\circ=\boldsymbol{\frac{\pi}{180}}\ \text{rad} \approx 0.01745\ \text{rad}$

$1\ \text{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx \boldsymbol{57.3^\circ}$

六、弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为$R$，弧长为$l$，$\alpha(0<\alpha<2\pi)$为其圆心角

则

(1) 弧长公式：$l=\boldsymbol{\alpha \cdot R}$

(2) 扇形面积公式：$S=\boldsymbol{\frac{1}{2} l \cdot R} = \boldsymbol{\frac{1}{2} \alpha \cdot R^2}$

Warning

角度与弧度不能混用。

七、$\boldsymbol{\frac{\alpha}{n}}$ 终边所在象限

一、任意角的三角函数的定义

1. 设$\alpha$是一个任意角，$\alpha \in \mathbb{R}$，它的终边$OP$与单位圆相交于点$P(x,y)$

则

$\sin\alpha = \boldsymbol{y}$；$\cos\alpha = \boldsymbol{x}$；$\tan\alpha = \boldsymbol{\frac{y}{x}}\;(x \neq 0)$

2. 定义的推广：

设$\alpha$是一个任意角，它的终边上任意一点$P$（不与原点$O$重合）的坐标为$(x,y)$，点$P$与原点的距离为$r$，则：

$\sin\alpha = \boldsymbol{\frac{y}{r}}$；$\cos\alpha = \boldsymbol{\frac{x}{r}}$；$\tan\alpha = \boldsymbol{\frac{y}{x}}\;(x \neq 0)$

$\sec\alpha = \boldsymbol{\frac{r}{x}}$；$\csc\alpha = \boldsymbol{\frac{r}{y}}$；$\cot\alpha = \boldsymbol{\frac{x}{y}}$

Note

• $r=\sqrt{x^2+y^2}$
• 三角函数值与终边上点的位置无关，与终边的位置有关

3. 当$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$时，$\sin\alpha < \alpha < \tan\alpha$

二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1. $\sin\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：第一、二象限及$y$轴的非负半轴

$\cos\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：第一、四象限及$x$轴的非负半轴

$\tan\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：第一、三象限

Note

类似“才”字。

2. $\sin\alpha - \cos\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：$y=x$直线上方

$\sin\alpha + \cos\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：$y=-x$直线上方

证明：

• $\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) > 0 \implies \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) > 0$ $\implies 2k\pi < \alpha+\frac{\pi}{4} < \pi+2k\pi \implies -\frac{\pi}{4}+2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{4}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$
• $\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) > 0 \implies \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) > 0$ $\implies 2k\pi < \alpha-\frac{\pi}{4} < \pi+2k\pi \implies \frac{\pi}{4}+2k\pi < \alpha < \frac{5\pi}{4}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$

3. 三角函数线

描述：设任意角$\alpha$的终边与单位圆交于$P$，过$P$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，则有向线段 $OM$为$\alpha$的余弦线，有向线段 $MP$为$\alpha$的正弦线。

设单位圆交$x$轴正半轴于$A$，过$A$作单位圆的切线，$\alpha$的终边或其延长线交切线于$T$，则有向线段 $AT$为$\alpha$的正切线。

※ 当 $x \in \left(0,\;\frac{\pi}{2}\right)$ 时：

$\sin x < x < \tan x$

$0 < 1-\cos x < \frac{x^2}{2}$

三、特殊角的三角函数值

四、同角三角函数的基本关系式

1. 平方关系： $\boldsymbol{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}$、$\boldsymbol{1+\tan^2\alpha = \sec^2\alpha}$、$\boldsymbol{1+\cot^2\alpha = \csc^2\alpha}$

2. 商数关系： $\boldsymbol{\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\;\left(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right)}$

$\sec\alpha = \boldsymbol{\frac{1}{\cos\alpha}}$、$\csc\alpha = \boldsymbol{\frac{1}{\sin\alpha}}$

常见变形： ① $(\sin\theta \pm \cos\theta)^2 = 1 \pm 2\sin\theta\cos\theta = 1 \pm \sin2\theta$

② $\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^22\theta$

③ $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2$

五、诱导公式口诀

奇变偶不变，符号看象限。

Note

• 奇偶指的是 $\frac{\pi}{2}$ 的倍数
• 符号是看变形前三角函数所在象限正负
• 不论 $\alpha$ 为多少，都看作正角

Tip

熟记:

• $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
• $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
• $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$
• $\sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \cos\alpha$

①和与差公式

变形： $\tan\alpha + \tan\beta = \tan(\alpha+\beta) - \tan\alpha\tan\beta\tan(\alpha+\beta) = \tan(\alpha+\beta)(1 - \tan\alpha\tan\beta)$

②倍角公式

③降幂公式

$\cos^2\alpha = \boldsymbol{\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}}$

$\sin^2\alpha = \boldsymbol{\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}}$

④升幂公式

$(1+\sin2\alpha) = \boldsymbol{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}$，$1-\sin2\alpha = \boldsymbol{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}$

$1+\cos2\alpha = \boldsymbol{2\cos^2\alpha}$，$1-\cos2\alpha = \boldsymbol{2\sin^2\alpha}$

⑤半角公式

⑥积化和差

Tip

前半加，后半减；和半差半，$\sin\sin$ 把负号添

⑦和差化积

Tip

相加2倍前，相减2倍后；角和半差半，$\cos-\cos$ 把负号添

⑧辅助角公式

① $a\sin x + b\cos x = \boldsymbol{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)}\;(ab\neq0)$ 其中 $\tan\varphi = \dfrac{b}{a}$，$\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\varphi$ 所在象限由 $a$ 和 $b$ 的符号确定

② $a\sin x + b\cos x = \boldsymbol{\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)}\;(ab\neq0)$ 其中 $\tan\varphi = \dfrac{a}{b}$，$\sin\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\varphi$ 所在象限由 $a$ 和 $b$ 的符号确定

⑨万能公式

$\sin\alpha = \boldsymbol{\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}}$ $\cos\alpha = \boldsymbol{\dfrac{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}}$ $\tan\alpha = \boldsymbol{\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}}$

⑩化简，求值，求角常用方法

1. 齐次式（已知 $\tan \alpha$），整式要化成 $\boldsymbol{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}$ 的分式
2. $\sin\alpha + \cos\alpha$ , $\sin\alpha - \cos\alpha$ , $\sin\alpha × \cos\alpha$ 出现时常用平方组
3. 切化弦
4. “1”的代换： $\boldsymbol{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}$ ， $\tan\frac{\pi}{4} = 1$
5. 拆角：将所求角拆为已知角与特殊角
6. 升降幂
7. $\tan\alpha + \tan\beta$ ， $\tan\alpha × \tan\beta$ 同时出现，先写 $\tan(\alpha + \beta)$ 公式，再观察花间
8. $\cos\alpha × \cos 2\alpha × \cos 4\alpha × \cos 8\alpha$ 配 $\sin\alpha$ 点鞭炮

Important

• 求值求角先求范围
• 开方注意正负，判断角的范围
• 熟记：$\sqrt{1 \pm \sin \alpha} = \sin \alpha \pm \cos \alpha$ , $\sqrt{1 + \cos \alpha} = \sqrt{2}|\cos \alpha|$ , $\sqrt{1 - \cos \alpha} = \sqrt{2}|\sin \alpha|$
• 范围判断法： $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ 的正负，三角函数线，三角函数图像，$\sin\alpha × \cos\alpha$ 的正负
• 一名二角三结构：统一函数名，统一角，统一结构，便于后续化简

$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 相关性质

1. $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 为奇函数，则 $\varphi = \boldsymbol{k\pi,\;k\in\mathbb{Z}}$；为偶函数，则 $\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}}$。 $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ 为奇函数，则 $\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}}$；为偶函数，则 $\varphi = \boldsymbol{k\pi,\;k\in\mathbb{Z}}$。

2. 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ 个周期。

3. 由部分图象确定函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ 解析式的方法

$A=\boldsymbol{\dfrac{\text{最大值}-\text{最小值}}{2}}$，$B=\boldsymbol{\dfrac{\text{最大值}+\text{最小值}}{2}}$

• 若已知五点中的两个特殊点：先根据周期求 $\boldsymbol{\omega}$，再整体代换求 $\boldsymbol{\varphi}$（优先代最值点，代零点时需区分上升零点、下降零点）。
• 若已知五点中的一个特殊点与 $y$ 轴交点：先根据 $y$ 轴交点求 $\boldsymbol{\varphi}$，再整体代换求 $\boldsymbol{\omega}$（根据周期范围确定 $\omega$）。

4. 图象变换

法一（先平移后伸缩）：

Note

若 $\varphi<0$ ，则向右平移 $|\varphi|$ 个单位长度

法二（先伸缩后平移）：

Note

• 若 $\varphi<0$ ，则向右平移 $|\varphi|$ 个单位长度
• 若 $\omega<0$ ，则可用奇偶性先消去负号，再进行变换，最后再换过来
• 或者可以采用下面这种变换法：

$$\begin{gather*} y=\sin x \\ \xrightarrow{\text{横坐标变为原来的}\;\frac{1}{\omega}\;\text{倍（纵坐标不变）（}\omega \text{符号任意）}} y=\sin\omega x \\ \xrightarrow{\text{向左（$\varphi>0$）/右（$\varphi<0$）平移}\;|\frac{\varphi}{\omega}|\;\text{个单位长度}} y=\sin(\omega x+\varphi)=\boldsymbol{\sin\left[\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right]} \\ \xrightarrow{\text{纵坐标变为原来的}\;A\;\text{倍（横坐标不变）}} y=A\sin(\omega x+\varphi) \\ \xrightarrow{\text{上下平移}\;B\;\text{个单位长度（上加下减）}} y=A\sin(\omega x+\varphi)+B \end{gather*}$$

5. $y=A\sin(\omega x+\varphi)\;(A>0,\omega>0)$

• 周期：$T=\boldsymbol{\dfrac{2\pi}{|\omega|}}$
• 振幅：$\boldsymbol{A}$
• 频率：$f=\boldsymbol{\dfrac{1}{T}=\dfrac{|\omega|}{2\pi}}$
• 相位：$\boldsymbol{\omega x+\varphi}$
• 初相：当 $x=0$ 时的相位,即 $\varphi$

Warning

注意 $\omega$ 符号（易错）

6. 求周期

   • $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ 和 $y=A\cos(\omega x+\varphi)+B$ ， $T=\boldsymbol{\dfrac{2\pi}{|\omega|}}$
   • $y=A\tan(\omega x+\varphi)+B$ ， $T=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{|\omega|}}$
   • $y=|A\sin(\omega x+\varphi)+B|$ 和 $y=|A\cos(\omega x+\varphi)+B|$ ， $B = 0 , T=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{|\omega|}}$ ； $B ≠ 0 , T=\boldsymbol{\dfrac{2\pi}{|\omega|}}$
   • $y=|A\tan(\omega x+\varphi)+B|$ ， $T=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{|\omega|}}$

7. 求单调性

   • $\boldsymbol{\omega > 0}$ 时，增区间求法：由 $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ，求出 $x$ 的范围；
   • 减区间求法：由 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ ，求出 $x$ 的范围
   • $\boldsymbol{\omega < 0}$ 时，应先用诱导公式的再按照 $\omega > 0$ 的方法求单调区间

8. 对称性

$y = A\sin(\omega x+\varphi)+B$

• 对称轴：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2} + k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x = \boldsymbol{\frac{\frac{\pi}{2} - \varphi + k\pi}{\omega}}$
• 对称中心：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x$，则对称中心为 $\boldsymbol{\left(\frac{k\pi - \varphi}{\omega}, B\right)}$

$y = A\cos(\omega x+\varphi)+B$

• 对称轴：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x = \boldsymbol{\frac{k\pi - \varphi}{\omega}}$
• 对称中心：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2} + k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x$，则对称中心为 $\boldsymbol{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}, B\right)}$

$y = A\tan(\omega x+\varphi)+B$

• 对称中心：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{\frac{k\pi}{2}}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x$，则对称中心为 $\boldsymbol{\left(\frac{\frac{k\pi}{2} - \varphi}{\omega}, B\right)}$
• 无对称轴

★ 补充

• 正余弦函数的对称轴为过极值点，垂直 $x$ 轴的直线，对称中心为函数图像与直线 $y=B$ 的交点
• 正切函数的对称中心有两类：一类是函数图像与直线 $y=B$ 的交点，一类是函数的渐近线与直线 $y=B$ 的交点

9. 求值域

• 化为 $y = A\sin(\omega x+\varphi)+B$，然后由里往外画图像求值域
• 换元后转化为关于 $\sin x$ 或 $\cos x$ 或 $\tan x$ 的函数 $y = f(\sin x)$ 或 $y = f(\cos x)$ 或 $y = f(\tan x)$ ，在给定区间上求最值
• 若题中 $\sin x+\cos x$、$\sin x \cdot \cos x$ 同时出现，利用 $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha$，令 $t = \sin x+\cos x = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 换元，注意新元的范围
• 关于 $\sin x,\cos x$ 齐次式的分式型，用反解+有界性或者数形结合转化为斜率求解
• 导数法
• 数形结合

一、正弦定理

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

（$R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径）

变式

• 边化角：$a = 2R\sin A,\;b = 2R\sin B,\;c = 2R\sin C$
• 角化边：$\sin A = \frac{a}{2R},\;\sin B = \frac{b}{2R},\;\sin C = \frac{c}{2R}$
• $a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C$
• 在 $\triangle ABC$ 中，$A > B \Leftrightarrow \sin A > \sin B$
• $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}$

Note

补充等比定理： $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}$

二、余弦定理

变式： ①

② 在 $\triangle ABC$ 中，$A$ 为最大角，则有：

• 若 $A$ 为直角，则 $a^2 = b^2 + c^2$；
• 若 $A$ 为锐角，则 $a^2 < b^2 + c^2$；
• 若 $A$ 为钝角，则 $a^2 > b^2 + c^2$。

三、三角形面积公式

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{abc}{4R}$ （$R$ 为外接圆半径）

等面积法： $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr \Rightarrow S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ （$r$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆半径）

海伦公式： $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad \left(p = \frac{a+b+c}{2}\right)$

四、解三角形

(1) 用正弦定理求解时，注意用“大边对大角”检验
(2) 已知两边一夹角，用余弦定理
(3) 已知两角一边，用正弦定理
(4) 已知三边，用余弦定理
(5) 已知两边一对角，判断三角形解的个数的思路与结论

理解记忆，尺规作图，如：已知 $a$、$b$、$A$
① 画出角 $A$，量取 $AC = b$
②以 $C$ 为圆心，$a$ 为半径画圆，与另一边的交点为 $B$，交点的个数即为三角形解的个数。

五、常用知识（在 $\triangle ABC$ 中）

1. $A+B+C=\pi$（常用于消元）

① $\sin2A=\sin2B \Rightarrow A=B$ 或 $A+B=\frac{\pi}{2}$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰或直角三角形

② $\cos2A=\cos2B \Rightarrow A=B$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰三角形

③ $\sin A=\sin B \Rightarrow A=B$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰三角形

4. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

六、边角互化

① 若等式两边是关于边的齐次式，则用 $a=2R\sin A,\;b=2R\sin B,\;c=2R\sin C$ 边化角

② 若等式具有余弦定理的形式，则用余弦定理边化角

① 若等式两边为关于角的正弦的齐次式，则用

$\sin A=\frac{a}{2R},\;\sin B=\frac{b}{2R},\;\sin C=\frac{c}{2R}$

② 若等式中含有角的余弦，可用余弦定理角化边

3. 已知 $A,\;a$（一边一对角）

• $S$：$\cos$ + 基本不等式求最值
• $\sin$ + 消元求范围
• 周长$C$：$\sin$ + 消元求范围
• 画图（小题）

4. 已知 $A,\;b$（一边一邻角）

• $S$：$\sin$ + 消元
• $C$：$\sin$ + 消元