Nachoneko

（1）常见类型

• ①分式（分母≠0）；
• ②偶次根式（被开方数≥0）；
• ③$x^0$（$x≠0$）；
• ④$y=log_a x$（$a>0$且$a≠1$，$x>0$）；
• ⑤$y=a^x$（$a>0$且$a≠1$，$\in R$）；
• ⑥$y=tanx$（$x≠\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$）。

（2）实际应用问题

要注意隐含的范围。

（3）复合函数

1. 复合函数原理为函数套函数，其自变量为$x$，定义域为$x$的取值范围。
2. 已知$f(x)$的定义域为$I$，求$f(g(x))$的定义域： 解析：$g(x)\in I$→解出x的范围即为$f(g(x))$的定义域。 原理：$g(x)$看作整体，是$f(x)$的一个自变量值，地位对等。
3. 已知$f(g(x))$的定义域为$D$，求$f(x)$的定义域： 解析：$x\in D$→求$g(x)$的范围即为$f(x)$的定义域。 原理：$f(g(x))$的自变量为$x$，所以定义域是$x$的范围，$g(x)$看作整体是$f(x)$的自变量，地位对等。
4. 已知$f(g(x))$定义域，求$f(h(x))$定义域：先求$f(x)$定义域$D$，再解$h(x)\in D$即可。

（4）区间

1. $a<b$（左端点<右端点）；
2. $∞$用开区间；
3. 区间是集合的一种表示形式；
4. 区间是连续的，所以单调区间需用“,”，“和”连接。

（2）求函数解析式常用方法

1. 拼凑法：适用于比较简单的、或易于换元的复合函数形式。
   特点：拼凑成括号里的形式，整体换元，新定义域为括号里的值域。
   例：$f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}$，求$f(x)$。
   解析：$f(x+\frac{1}{x})=(x+\frac{1}{x})^2-2$，则$f(x)=x^2-2$（$x\geq2$或$x\leq-2$）。
2. 换元法：适用于括号里可以解出$x$的复合函数。
   步骤：设括号里的整体为$t$，反解出$x$关于$t$的函数，代入原式即可，注意新元范围。
3. 待定系数法：适用于已知函数类型的情况。
   • 一次函数：$y=kx+b(k≠0)$；
   • 二次函数：一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$、两根式$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$、顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$。
4. 方程组法：常见于$f(x)$与$f(-x)$、$f(\frac{1}{x})$等形式，用$-x$（或$\frac{1}{x}$）替换原式中的$x$，得到另一个方程，将两方程联立求解$f(x)$。
5. 赋值法：常用于抽象函数。

（1）单调性定义

设函数$f(x)$的定义域为$I$，如果对于$I$内某区间$D$上的任意两个自变量$x_1$、$x_2$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)<f(x_2)$（$f(x_1)>f(x_2)$），则称$f(x)$在$D$上是增（减）函数。

Note

1. 单调区间是定义域的子集，所以研究单调性，先求定义域；
2. 增或减是针对区间而言的，所以单调性要说明在某个区间$D$上；
3. $x_1$、$x_2$是任意的，所以证明单调性时$x_1$、$x_2$要取任意值；
4. 在不同的区间上有相同增减性，这些单调区间用“,”，“和”连接；
5. 单调性是整体性质，端点的开闭不影响单调性，书写单调区间开区间最安全；
6. 增函数（减函数）必须是在定义域上单调增（减），如$y=tanx$不是增函数，$y=\frac{1}{x}$不是减函数。
7. $$\begin{gather*} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0 \Rightarrow f(x) \text{增} \\ [f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0 \Rightarrow f(x) \text{增} \\ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0 \Rightarrow f(x) \text{减} \\ [f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)<0 \Rightarrow f(x) \text{减} \\ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>k \Rightarrow y=f(x)-kx \text{增} \end{gather*}$$

（2）证明单调性

1. 定义法
   步骤：假设取值→作差变形→判断符号→下结论。
   作差的目标：化为几个因式相乘/除的形式、完全平方和的形式，便于定号。
   变形的方法：二次项式（配方）、多项式（因式分解）、分式（通分）、根式（有理化）。
2. 导数法
   步骤：求导→判断$f'(x)$的符号→下结论。
   注意：导数与单调性的关系，增函数$f'(x)\geq0$在区间上恒成立，减函数$f'(x)\leq0$在区间上恒成立。

（3）判断单调性

1. 定义法；
2. 导数法；求定义域→求导→解不等式→下结论。
3. 图象法；
4. 常用结论： $$\begin{gather*} ↑+↑ \Rightarrow ↑ \\ ↓+↓ \Rightarrow ↓ \\ ↑-↓ \Rightarrow ↑ \\ ↓-↑ \Rightarrow ↓ \\ f(x)↑ \Rightarrow \frac{1}{f(x)}↓ (f(x)\text{恒正/恒负}) \\ f(x)↑ \Rightarrow \sqrt{f(x)}↓ (f(x)\geq0) \\ f(x)↑ \Rightarrow \begin{cases} a>0,af(x)↑ \\ a<0,af(x)↓ \end{cases} \\ f(x)↑,g(x)↑,f(x)>0,g(x)>0 \Rightarrow f(x) \cdot g(x) \end{gather*}$$
5. 复合函数法：设复合函数$y=f(g(x))$，内函数$u=g(x)$，外函数$y=f(u)$，注意定义域。
   步骤：求定义域→分解为2个函数→分别判断内外函数的单调性→根据“同增异减”下结论。
   例：求$y=sin(\omega x+\varphi)(\omega>0)$的单调区间，先求$\omega x+\varphi$的范围，再根据“同增异减”求解。

Note

结论中单调区间是指$x$的范围。

（1）奇偶性定义

对于函数$f(x)$，其定义域关于原点对称，若对于定义域内的任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$（$f(-x)=-f(x)$），则称$f(x)$为偶（奇）函数。

（2）判断奇偶性的方法

1. 定义法
   步骤：判断定义域是否关于原点对称
   →求$f(-x)$，判断$f(-x)$与$f(x)$的关系（$f(-x)=\pm f(x)$或$f(-x)\pm f(x)=0$）
   →下结论（分类：奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶）。
2. 图象法：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于$y$轴对称。
   既奇又偶的函数：$f(x)=0$，$x\in D$（D关于原点对称），这样的函数有无穷个。
3. 常见结论：
   • $f(g(x))$内偶则偶，内奇外偶为偶，内奇外奇为奇（有偶则偶，全奇才奇）；
   • 运算结论：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×/÷奇=偶，偶×/÷偶=偶，奇×/÷偶=奇；|奇|=偶，|偶|=偶。

（3）常见奇偶函数举例

$y=a^x+a^{-x}$（偶）；$y=a^x-a^{-x}$（奇）；
$y=\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}=\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}=1-\frac{2}{a^{2x}+1}$（奇）；
$y=\frac{b^x-1}{b^x+1}=1-\frac{2}{b^x+1}$（奇）；
$y=log_a\frac{1+x}{1-x}$（奇）；
$y=log_a(\sqrt{bx^2+1}+bx)$（奇）；$y=log_a(a^{mx}+1)-\frac{1}{2}mx$（偶）。

（4）性质

1. 若$f(x)$为奇函数且在$x=0$处有定义，则$f(0)=0$；
2. 若$f(x)$为偶函数，则$f(x)=f(-x)=f(|x|)$；
3. 若$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$： ①$f(x)$为奇函数，则偶次项系数为0（$a_0=a_2=a_4=\dots=0$）；
   ②$f(x)$为偶函数，则奇次项系数为0（$a_1=a_3=a_5=\dots=0$）；
   特例：$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，若为奇函数则$b=d=0$；若为偶函数则$a=c=0$。
4. 若$f(x)=A sin(\omega x+\varphi)$为奇函数，则$\varphi=k\pi$；为偶函数，则$\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$； 若$f(x)=A cos(\omega x+\varphi)$为奇函数，则$\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$；为偶函数，则$\varphi=k\pi$。
5. 对称性与奇偶性推导： ①若$f(x+a)$为偶函数，则$f(x+a)=f(-x+a)$，即$f(x)$关于$x=a$对称；
   ②若$f(x)$为偶函数，则$f(x+a)=f(-x-a)$
   ③若$f(x+a)$为奇函数，则$f(-x+a)=-f(x+a)$，即$f(x)$关于$(a,0)$对称。
   思路：$y=f(ax+b)$为偶函数，可令$g(x)=f(ax+b)$，则$g(-x)=g(x)$，即$f(ax+b)=f(-ax+b)$。
6. 单调性：奇函数在关于原点对称的区间内单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反。
7. 导数性质：奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数；导数为奇函数，原函数为偶函数；导数为偶函数，原函数不一定为奇函数（需看常数项）。
8. $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$定义在$R$上的任意函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。

（5）根据奇偶性求参数

1. 定义域对称；
2. 特殊值，如奇函数$f(0)=0$，$f(1)\text{与}f(-1)$，需要验证；
3. 定义：$f(x)$与$f(-x)$关系，恒成立。

（1）周期性定义

若$f(x)$对于定义域中任意$x$，均有$f(x+T)=f(x)$（T为非零常数），则$f(x)$为周期函数，T为周期。

Note

1. 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小正数，则这个正数称为最小正周期；
2. 若无特殊说明，周期一般指最小正周期；
3. 周期函数不一定有最小正周期；
4. 若T为周期，则$kT(k\in Z,k≠0)$也为周期。

（2）判断周期的方法

1. 定义法；
2. 换元法（常见形式）：
   ①$f(x)+f(x+a)=k$（常数），则$T=2|a|$；
   ②$f(x) \cdot f(x+a)=k$（常数且不为0），则$T=2|a|$；
   ③$f(x+a)=f(x+b)$，则$T=|a-b|$。
   ④$f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)},T=2a;f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)},T=4a$
   ⑤$f(x+2a)+f(x)=f(x+a),T=6a$。
3. 由对称性推出周期：
   ①$f(x)$关于$x=a,x=b$对称，则$T=2|a-b|$；
   ②$f(x)$关于$(a,0)$、$(b,0)$对称，则$T=2|a-b|$；
   ③$f(x)$关于$x=a$和$(b,0)$对称，则$T=4|a-b|$。
4. 补充性质：
   ①周期为T，关于$x=a$对称，则图象关于$x=a\pm\frac{T}{2}$对称；
   ②周期为T，关于$(a,0)$对称，则图象关于$(a\pm\frac{T}{2},0)$对称；
   ③奇函数且周期为T，则$f(\frac{T}{2})=0$。

（3）常见函数的周期

1. $y=A sin(\omega x+\varphi)+B$、$y=A cos(\omega x+\varphi)+B$，周期$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$；
2. $y=A tan(\omega x+\varphi)+B$，周期$T=\frac{\pi}{|\omega|}$；
3. $y=|A sin(\omega x+\varphi)+B|$，若$B≠0$，则$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$；若$B=0$，则$T=\frac{\pi}{|\omega|}$；
4. $y=sin|x|$不是周期函数；$y=cos|x|$，$T=2\pi$；
5. $y=C$（C为常数）是周期函数，且周期为任意非零常数。

（1）两个函数的对称性

1. $y=f(-x)$与$y=f(x)$的图象关于$y$轴对称；
2. $y=-f(x)$与$y=f(x)$的图象关于$x$轴对称；

Note

关于谁对称谁不变。

3. $y=-f(-x)$与$y=f(x)$的图象关于原点对称；

Note

关于原点对称都变。

4. $y=f(a+x)$与$y=f(b-x)$的图象关于$x=\frac{b-a}{2}$对称；

Note

记忆$a+x=b-x$。

5. $y=f(x)$与$y=m-f(n-x)$的图象关于$(\frac{n}{2},\frac{m}{2})$对称。

Note

记忆$x=n-x$。

（2）函数图象自身的对称性

1. 若$y=f(x)$满足$f(a+x)=f(b-x)$，则$f(x)$的图象关于$x=\frac{a+b}{2}$对称；
2. 若$y=f(x)$满足$f(a+x)+f(b-x)=C$，则$f(x)$的图象关于$(\frac{a+b}{2},\frac{C}{2})$对称。

Note

记忆$\frac{(a+x)+(b-x)}{2}$。

（3）平移法求对称性

1. 若$f(x+a)$为偶函数，则$f(x)$关于$x=a$对称；
2. 若$f(x+a)$为奇函数，则$f(x)$关于$(a,0)$对称；

Note

$y=f(x+a) \xrightarrow{\text{向右平移a个单位长度}} y=f(x)$

1. 若$f(x)$为偶函数，则$f(x)$关于$x=-a$对称；
2. 若$f(x)$为奇函数，则$f(x)$关于$(-a,0)$对称；

Note

$y=f(x) \xrightarrow{\text{向左平移a个单位长度}} y=f(x+a)$

（4）反函数

1. 求反函数的步骤：反解→对调。
2. 反函数的性质：
   ①原函数与反函数的定义域、值域互换；
   ②互为反函数的两个函数图象关于$y=x$对称；
   ③$(a,b)$，$(b,a)$关于$y=x$对称；
   ④$(a,b)$，$(-b,-a)$关于$y=-x$对称；
   ⑤$(a,b)$，$(b-m,a+m)$关于$y=x+m$对称；
   ⑥$(a,b)$，$(m-b,m-a)$关于$y=-x+m$对称；

（5）三角函数的对称性

Note

sin,cos<对称轴过图象的最值点>；对称中心为图象平衡位置的交点。

tan<对称中心为图象与x轴交点>、渐近线与x轴交点。

（1）图象变换

1. 平移变换：
   $y=f(x)→y=f(x+h)$：左加右减，加减只对$x$，有系数要提出去。特别注意“-1”；
   $y=f(x)→y=f(x)+k$：上加下减，加在函数整体上。
2. 对称变换：（见第十章两个函数的对称性）
3. 伸缩变换：
   $y=f(x)→y=Af(x)$：纵伸纵缩，横坐标不变，纵坐标变为原来的$A(A>0)$倍；
   $y=f(x)→y=f(\omega x)$：横伸横缩，纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}(\omega>0)$倍（$\omega$的变换只对$x$的系数）。
4. 翻折变换：
   $y=f(x)→y=|f(x)|$：下翻上，去下；
   $y=f(x)→y=f(|x|)$：去左，右翻左；
   $y=f(x)→y=f(-|x|)$：去右，左翻右。

（2）画函数图象的方法

描点法、图象变换法。

（3）快速画草图的方法

关注10个关键特征：①特值；②定义域；③奇偶性；④局部正负；⑤单调性；⑥周期性；⑦极限思想；⑧对称性；⑨值域；⑩图象变换。
优先考虑：定义域，奇偶性，特值（包括极限）与符号。

（4）画图象的注意点

1. 定义域；
2. 渐近线：指数函数、对数函数、对勾函数、分式函数、反三角函数等需先画渐近线。

（5）常见函数图像

（1）幂函数定义

形如$y=x^\alpha$（$\alpha$为常数）的函数叫幂函数。

Note

①底数为自变量$x$；
②指数为常数$\alpha$；
③系数为1。
三者缺一不可。

（2）图象与性质

1. 所有幂函数都过定点$(1,1)$；
2. $\alpha>0$时，过原点，在$(0,+∞)$上单调递增；$\alpha<0$时，不过原点，在$(0,+∞)$上单调递减；
3. $\alpha>1$时，在$(0,+∞)$上凸；$0<\alpha<1$时，在$(0,+∞)$下凸；
4. 幂函数的图象均不过第四象限；
5. 在直线$x=1$右侧，$\alpha$越大，图象越高；
6. 奇偶性：$\alpha$为奇数则幂函数为奇函数；$\alpha$为偶数则幂函数为偶函数；
7. 特例：①$\alpha=1$，$y=x$（直线）；②$\alpha=0$，$y=x^0=1(x≠0)$（去掉$(0,1)$的水平直线）；
8. 一般形式$\alpha=\frac{p}{q}$（$p,q$互质）：
   • 奇函数：$p,q$均为奇数；
   • 偶函数：$p$为偶数、$q$为奇数；
   • 非奇非偶：$p$为奇数、$q$为偶数。

（3）求函数过定点的方法

1. 利用与参数有关的式子为定值，如$a^0=1$，$log_a1=0$；
2. 代两组特值，形成方程求解；
3. 若为$m\cdot f(x,y)+n\cdot g(x,y)=0$的形式，则解方程组$\begin{cases}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{cases}$得定点；
4. 若是直线方程，可将其化为点斜式找定点。

（1）指数及运算

1. 根式：$\sqrt[n]{a}$叫根式，n叫根指数，a叫被开方数；
2. 性质：$(\sqrt[n]{a})^n=a$；$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}a,n\text{为奇数}\\|a|,n\text{为偶数}\end{cases}$；$x^0=1(x≠0)$；
3. 根式与指数幂的互化：$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$；
4. 负指数幂的变换：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)$；
5. 指数的运算公式（$a>0,b>0,m,n\in R$）： $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=a^{mn}$；$(ab)^n=a^n\cdot b^n$。

（2）指数函数

1. 定义：形如$y=a^x(a>0\text{且}a≠1)$的函数为指数函数。

Note

①底数为大于0且不等于1的常数；
②指数为自变量x；
③系数为1。
三者缺一不可（与幂函数$y=x^\alpha$区分）。

2. 图象与性质

结论：指数函数在第一象限内，底大图高（$x>0$时，$a$越大，函数值越大）。

（1）对数及其运算

1. 定义：如果$a^b=N(a>0\text{且}a≠1)$，则b叫做以a为底N的对数，记作$b=log_aN$。$a$叫底数，$N$叫真数（对数中真数$N>0$）；
2. 和幂的联系：在$a^b=N$中，$a$叫底数，$N$叫幂，$b$叫指数；
3. 运算性质（$a>0\text{且}a≠1,M>0,N>0,m,n\in R$）：
   $log_a(MN)=log_aM+log_aN$（真数相乘，对数相加）；
   $log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN$（真数相除，对数相减）；
   $log_aM^n=nlog_aM$；
   $log_{a^n}b^m=\frac{m}{n}log_ab$；
4. 换底公式：$log_aN=\frac{log_cN}{log_ca}(c>0\text{且}c≠1)$； 推论：
   • $log_ab\cdot log_ba=1$；
   • $log_{a_1}a_2\cdot log_{a_2}a_3\cdot\dots\cdot log_{a_{n-1}}a_n=log_{a_1}a_n$；
   • $m^{log_an}=m^{log_am}(a>0\text{且}a≠1)$（证明：两边对$a$取对）
5. 对数特殊值：$log_a1=0$；$log_aa=1$；$a^{log_aN}=N$；
6. 常用对数与自然对数： 常用对数：$lgN=log_{10}N$；自然对数：$lnN=log_eN$（$e≈2.71828$），且$lne=1$。

（2）对数函数

1. 定义：形如$y=log_a x(a>0\text{且}a≠1)$的函数叫对数函数。

Note

①底数为大于0且不等于1的常数；
②真数为自变量x；
③系数为1。
三者缺一不可。

2. 图象与性质

结论

1. 对数函数在第一象限内，底大图右（$x>1$时，$a$越大，函数值越小）；
2. 同正异负：底数、真数在同一范围（$(0,1)$或$(1,+∞)$），对数值大于0；否则小于0；
3. 同底的指数函数和对数函数互为反函数。

（1）函数的零点

函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，零点不是点，是实数根。

（2）零点的判定与求解

1. 直接解方程$f(x)=0$，得零点；
2. 等价转化：函数的零点⇔方程的根⇔两个函数图象交点的横坐标，可根据情况选择分离参数法/半分参/数形结合；
3. 零点存在定理：若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内存在零点。 推论：若$f(x)$在区间$(a,b)$上连续且单调，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内有且仅有一个零点。
4. 特殊函数零点：分段函数零点分段研究，复合函数零点内外层分别研究。

（1）二分法定义

对于在$[a,b]$上连续不断且$f(a)\cdot f(b)<0$的函数$y=f(x)$，通过不断地把$f(x)$的零点所在区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

（2）步骤

1. 确定区间$[a,b]$，验证$f(a)\cdot f(b)<0$，给定精确度$\varepsilon$；
2. 求区间$(a,b)$的中点$x_1$；
3. 计算$f(x_1)$：
   ①若$f(x_1)=0$，则$x_1$即为零点；
   ②若$f(x_1)\cdot f(a)<0$，则零点$\in(a,x_1)$，令$b=x_1$；
   ③若$f(x_1)\cdot f(b)<0$，则零点$\in(x_1,b)$，令$a=x_1$；
4. 判断是否达到精确度$\varepsilon$：若$|a-b|<\varepsilon$，则得到零点近似值（区间内任一值均可）；否则重复步骤2-4。