HighIQ666's Blog

ReDreaming Angel

Sun, 19 Jul 2026 00:00:00 GMT

ReDreaming Angel

無我夢中(むがむちゅう)で踊(おど)る

mu ga mu chu de o do ru

Day & Night

ぎこちないステップ刻(きざ)んだ

gi ko chi nai su te ppu ki za n da

擦(す)り切(き)れる日々(ひび)の喧騒(けんそう)も

su ri ki re ru hi bi no ken so mo

この声(こえ)で

ko no koe de

Heal up

その笑顔(えがお) 超魔法級(ちょうまほうきゅう)につき、

so no e ga o cho ma ho kyu ni tsu kii

イタズラしちゃう！

(i) ta zu ra shi cha u

世界一(せかいいち)キュートなウィンクで

se kai i chi kyu to na u in ku de

未来(みらい)だって

mi rai da tte

Make it bright

ほら、夜空(よぞら)に瞬(またた)く

ho ra yo zo ra ni ma ta ta ku

青(あお)い彗星(すいせい)も

a o i su i sei mo

トリコにするの

to ri ko ni su ru no

夢(ゆめ)を掴(つか)んで離(はな)さないで

yu me o tsu kan de ha na sa nai de

焦(こ)がれ、憧(あこが)れ、

ko ga re a ko ga re

歌(うた)うの

u ta u no

Re:Dreaming Angel

痺(しび)れる偶像(ぐうぞう)に恋(こい)してる

shi bi re ru gu zo ni koi shi te (ru)

情熱(じょうねつ)はきっと

jo ne tsu wa ki tto

嘘(うそ)にはならないから

u so ni wa na ra nai ka ra

Dreamer

鏡越(かがみご)しに探(さが)す Smile も

ka ga mi go shi ni sa ga su Smile mo

ノイズに塗(まみ)れた衝動(しょうどう)も

no i zu ni ma mi re ta sho do mo

ぜんぶこの世(よ)の片隅(かたすみ)まで

zen bu ko no yo no ka ta su mi ma de

響(ひび)かせて

hi bi ka se te

夢(ゆめ)のシグナルに手(て)を伸(の)ばし

yu me no shi gu na ru ni te o no ba shi

惹(ひ)き寄(よ)せてよ

hi ki yo se te yo

眩(まぶ)しいスポットライト盗(ぬす)みなよ

ma bu shi i spotlight (su po tto ra i to) nu su mi na yo

もっかい

mo kkai

Reignite

ほら、身(み)に纏(まと)う輝(かがや)きこそが

ho ra mi ni ma to ka ga ya ki ko so ga

アクセサリー

a ku se sa rī

旅(たび)する妄想(もうそう)ワールド

ta bi su ru mo so wā (ru do)

夢(ゆめ)を掴(つか)んで離(はな)さないで

yu me o tsu kan de ha na sa nai de

焦(こ)がれ、憧(あこが)れ、

ko ga re a ko ga re

歌(うた)うの

u ta u no

Re:Dreaming Angel

痺(しび)れる偶像(ぐうぞう)に恋(こい)してる

shi bi re ru gu zo ni koi shi te (ru)

情熱(じょうねつ)はきっと

jo ne tsu wa ki tto

嘘(うそ)にはならないから

u so ni wa na ra nai ka ra

Dreamer

in your blue eyes

Wed, 01 Jul 2026 00:00:00 GMT

in your blue eyes

虜(とりこ)になっていた

to ri ko ni na tte i ta

光(ひかり) うつらうつら

hi ka ri u tsu ra u tsu ra

幻(まぼろし)を見(み)ていた

ma bo ro shi wo mi te i ta

儚(はかな)い夢(ゆめ)の中(なか)

ha ka na i yu me no na ka

この天(そら)の狭間(はざま)に

ko no so ra no ha za ma ni

彷徨(さまよ)って堕(お)ちてゆく

sa ma yo tte o chi te yu ku

(気(き)づいて気(き)づいて)

(ki zu i te ki zu i te)

(ここのままじゃいけない)

(ko ko no ma ma ja i ke nai)

そうね知(し)っているわ

so u ne shi tte i ru wa

wake up wake up babe don’t fear

君(きみ)の碧(あお)い瞳(ひとみ)の中(なか)にああわたしはいたい

ki mi no a o i hi to mi no na ka ni aa wa ta shi wa i ta i

wake up wake up babe さあいま(saa ima)

もういちど自分(じぶん)を越(こ)えて

mo u i chi do ji bu n wo ko e te

越(こ)えて

ko e te

信(しん)じて

shi n ji te

聖(せい)なる人(ひと)も皆(みな) 生(い)きる罪(つみ)深(ぶか)さに苛(さいな)まれ

se i na ru hi to mo mi na i ki ru tsu mi bu ka sa ni sa i na ma re

やがて伝説(でんせつ)はただの土(つち)に

ya ga te de n se tsu wa ta da no tsu chi ni

この愛(あい)のあとにもまた忘却(ぼうきゃく)が

ko no a i no a to ni mo ma ta bo u kya ku ga

続(つづ)くのかしら

tsu zu ku no ka shi ra

(お願(ねが)いお願(ねが)いねえ戻(もど)ってきて)

o ne ga i o ne ga i ne e mo do tte ki te

このぬくもり失(うしな)えない

ko no nu ku mo ri u shi na e nai

wake up wake up babe don’t fear

君(きみ)の碧(あお)い瞳(ひとみ)がやさしく微笑(ほほえ)む未来(みらい)

ki mi no a o i hi to mi ga ya sa shi ku ho ho e mu mi ra i

wake up wake up babe さあいま(saa im a)

奏(かな)でるの世界(せかい)をともに描(えが)いて

ka na de ru no se ka i wo to mo ni e ga i te

wake up wake up babe don’t fear

君(きみ)の碧(あお)い瞳(ひとみ)の中(なか)にああわたしはいたい

ki mi no a o i hi to mi no na ka ni aa wa ta shi wa i ta i

wake up wake up babe さあいま(saa ima)

もういちど自分(じぶん)を越(こ)えて

mo u i chi do ji bu n wo ko e te

越(こ)えて

ko e te

信(しん)じて

shi n ji te

なんでもないや

Wed, 01 Jul 2026 00:00:00 GMT

なんでもないや

二人(ふたり)の間(あいだ) 通(とお)り過(す)ぎた風(かぜ)は

fu ta ri no a i da too ri su gi ta ka ze wa

どこから寂(さび)さを運(はこ)んできたの

do ko ka ra sa bi sa wo ha kon de ki ta no

泣(な)いたりしたそのあとの空(そら)は

na i ta ri shi ta so no a to no so ra wa

やけに透(す)き通(とお)っていたりしたんだ

ya ke ni su ki too tte i ta ri shi tan da

いつもは尖(とんが)ってた父(ちち)の言葉(ことば)が

i tsu mo wa ton ga tte ta chi chi no ko to ba ga

今日(きょう)は暖(あたた)かく感(かん)じました

kyou wa a ta ta ka ku kan ji ma shi ta

優(やさ)しさも笑顔(えがお)も夢(ゆめ)の語(かた)り方(かた)も

ya sa shi sa mo e ga o mo yu me no ka ta ri ka ta mo

知(し)らなくて全部(ぜんぶ) 君(きみ)を真似(まね)たよ

shi ra na ku te zen bu ki mi wo ma ne ta yo

もう少(すこ)しだけでいい

mou su ko shi da ke de ii

あと少(すこ)しだけでいい

a to su ko shi da ke de ii

もう少(すこ)しだけでいいから

mou su ko shi da ke de ii ka ra

もう少(すこ)しだけでいい

mou su ko shi da ke de ii

あと少(すこ)しだけでいい

a to su ko shi da ke de ii

もう少(すこ)しだけ

mou su ko shi da ke

くっついていようか

ku ttsu i te i you ka

僕(ぼく)らタイムフライヤー時(とき)を

bo ku ra timeflier (tai mu fu ra i yaa) to ki wo

駆(か)け上(あ)がるクライマー時(とき)の

ka ke a ga ru climber (ku rai maa) to ki no

かくれんぼはぐれっこはもういやなんだ

ka ku ren bo ha gu re kko wa mou i ya nan da

嬉(うれ)しくて泣(な)くのは

u re shi ku te na ku no wa

悲(かな)しくて笑(わら)うのは

ka na shi ku te wa ra u no wa

君(きみ)の心(こころ)が

ki mi no ko ko ro ga

君(きみ)を追(お)い越(こ)したんだよ

ki mi wo o i ko shi tan da yo

星(ほし)にまで願(ねが)って手(て)にいれたオモチャも

ho shi ni ma de ne ga tte te ni i re ta o mo cha mo

部屋(へや)の隅(すみ)っこに今(いま) 転(ころ)がってる

he ya no su mi kko ni i ma ko ro ga tte ru

叶(かな)えたい夢(ゆめ)も今日(きょう)で100個(ひゃくこ)できたよ

ka na e ta i yu me mo kyou de hya ku ko de ki ta yo

たった一(ひと)つといつか交換(こうかん)こしょう

ta tta hi to tsu to i tsu ka ko u kan ko shou

いつもは喋(しゃべ)らないあの子(こ)に今日(きょう)は

i tsu mo wa sha be ra nai a no ko ni kyou wa

放課後(ほうかご)「また明日(あした)」と声(こえ)をかけた

hou ka go ma ta a shi ta to ko e wo ka ke ta

慣(な)れないこともたまにならいいね

na re na i ko to mo ta ma ni na ra i i ne

特(とく)にあなたが

to ku ni a na ta ga

隣(となり)にいたら

to na ri ni i ta ra

もう少(すこ)しだけでいい

mou su ko shi da ke de ii

あと少(すこ)しだけでいい

a to su ko shi da ke de ii

もう少(すこ)しだけでいいから

mou su ko shi da ke de ii ka ra

もう少(すこ)しだけでいい

mou su ko shi da ke de ii

あと少(すこ)しだけでいい

a to su ko shi da ke de ii

もう少(すこ)しだけくっついていようよ

mou su ko shi da ke ku ttsu i te i you yo

僕(ぼく)らタイムフライヤー君(きみ)を

bo ku ra timeflier (tai mu fu ra i yaa) ki mi wo

知(し)っていたんだ僕(ぼく)が

shi tte i tan da bo ku ga

僕(ぼく)の名前(なまえ)を

bo ku no na ma e wo

覚(おぼ)えるよりずっと前(まえ)に

o bo e ru yo ri zu tto ma e ni

君(きみ)のいない

ki mi no i nai

世界(せかい)にも

se ka i ni mo

何(なに)かの意味(いみ)はきっとあって

na ni ka no i mi wa ki tto a tte

でも君(きみ)のいない

de mo ki mi no i nai

世界(せかい)など

se ka i na do

夏休(なつやす)みのない八月(はちがつ)のよう

na tsu ya su mi no na i ha chi ga tsu no you

君(きみ)のいない

ki mi no i nai

世界(せかい)など

se ka i na do

笑(わら)うことないサンタのよう

wa ra u ko to na i saint (san ta) no you

君(きみ)のいない

ki mi no i nai

世界(せかい)など

se ka i na do

僕(ぼく)らタイムフライヤー時(とき)を

bo ku ra timeflier (tai mu fu ra i yaa) to ki wo

駆(か)け上(あ)がるクライマー時(とき)の

ka ke a ga ru climber (ku rai maa) to ki no

かくれんぼはぐれっこ

ka ku ren bo ha gu re kko

はもういやなんだ

wa mou i ya nan da

なんでもないや

nan de mo na i ya

やっぱりなんでもないや

ya ppa ri nan de mo na i ya

今(いま)から行(い)くよ

i ma ka ra i ku yo

僕(ぼく)らタイムフライヤー時(とき)を

bo ku ra timeflier (tai mu fu ra i yaa) to ki wo

駆(か)け上(あ)がるクライマー時(とき)の

ka ke a ga ru climber (ku rai maa) to ki no

かくれんぼはぐれっこ

ka ku ren bo ha gu re kko

はもういいよ

wa mou ii yo

君(きみ)は派手(はで)なクライヤー

ki mi wa ha de na ku ra i yaa

その涙(なみだ)

so no na mi da

止(と)めてみたいなだけど

to me te mi tai na da ke do

君(きみ)は拒(こば)んだ

ki mi wa ko ban da

零(こぼ)れるままの涙(なみだ)を見(み)てわかった

ko bo re ru ma ma no na mi da wo mi te wa ka tta

嬉(うれ)しくて泣(な)くのは

u re shi ku te na ku no wa

悲(かな)しくて笑(わら)うのは

ka na shi ku te wa ra u no wa

僕(ぼく)の心(こころ)が

bo ku no ko ko ro ga

僕(ぼく)を追(お)い越(こ)したんだよ bo ku wo o i ko shi tan da yo

オーバーライド

Wed, 01 Jul 2026 00:00:00 GMT

オーバーライド

バッドランドに生(う)まれた

bad land (ba do ran do) ni u ma re ta

だけでバッドライフがデフォとか

da ke de bad life (ba do rai fu) ga default (de foo) to ka

くだらないけど、それが理(ことわり)なんだって

ku da ra nai ke do so re ga ko to wa ri nan da tte

もう参(まい)っちゃうね

mou ma i cchau ne

抗(あらが)うために

a ra ga u ta me ni

エスケープ・フロム・デンエン

escape from (fu ro mu) den en

蛇(へび)のように這(は)い

he bi no you ni ha i

善戦(ぜんせん)

zen sen

だけど最後(さいご)

da ke do sa i go

逆転(ぎゃくてん)の一手(いって)だけ

gya ku ten no i tte da ke

何故(なぜ)か詰(つ)められないの！

na ze ka tsu me ra re na i no

暗(くら)い無頼(ぶらい)社会(しゃかい)

ku rai bu rai sha kai

vs. bright 未来(みらい)世界(せかい)

vs. bright (baa sa su bi rai to) mi rai se kai

ならちょっと後者(こうしゃ)に行(い)ってくる

na ra cho tto kou sha nii tte ku ru

大丈夫(だいじょうぶ)か？

dai jou bu ka

うるせえよ

u ru see yo

限界(げんかい)まで足掻(あが)いた人生(じんせい)は

gen kai ma de a ga i ta jin sei wa

想像(そうぞう)よりも狂(くる)っているらしい

sou zou yo ri mo ku ru tte i ru ra shii

半端(はんぱ)な生命(いのち)の関数(かんすう)を

han pa na i no chi no kan suu o

少々(しょうしょう)ここらでオーバーライド

shou shou ko ko ra de override (oo baa rai do)

したい所(ところ)だけど現実(げんじつ)は

shi tai to ko ro da ke do gen ji tsu wa

そうそう上手(うま)くはいかないようで

sou sou u ma ku wa i ka nai you de

吐(は)いた言葉(ことば)だけが信条(しんじょう)だって

hai ta ko to ba da ke ga shin jou da tte

思(おも)われてまた

o mo wa re te ma ta

離(はな)れ離(ばな)れ

ha na re ba na re

まぁ、この世(よ)の中(なか)ガチャの引(ひ)き次第(しだい)で

maa ko no yo no na ka ga cha no hi ki shi da i de

何(なに)もかも説明(せつめい)つくわけだし？

na ni mo ka mo se tsu me i tsu ku wa ke da shi

巻(ま)き返(かえ)しに必要(ひつよう)な力(ちから)で

ma ki ka e shi ni hi tsu you na chi ka ra de

別(べつ)の事頑張(ことがんば)ればいいじゃん(笑)

be tsu no ko to gan ba re ba ii jan

まぁ、この地獄(じごく)の沙汰(さた)も金(かね) 次第(しだい)で

maa ko no ji go ku no sa ta mo ka ne shi da i de

どこまでも左右(さゆう) 出来(でき)るわけだし？

do ko ma de mo sa yuu de ki ru wa ke da shi

アンタが抜(ぬ)け出(だ)せるわけがないよ(笑)

an ta ga nu ke da se ru wa ke ga na i yo

それで話(はなし)はおしまい？ならば

so re de ha na shi wa o shi ma i na ra ba mou

もうこないからねー

ko na i ka ra ne

豪快(ごうかい)さにかまけた人生(じんせい)は

gou kai sa ni ka ma ke ta jin sei wa

きっと燃(も)やされてしまうらしい

ki tto mo ya sa re te shi ma u ra shii

じゃあワタシなど要(い)らないと

jya wa ta shi na do i ra nai to

蹴(け)った果(は)てにいた付和雷同(ふわらいどう)

ke tta ha te ni i ta fu wa rai dou

シタイだけ探(さが)した冒険(ぼうけん)tongue

shi tai da ke sa ga shi ta bou ken tongue

どうか消(き)えるまでスタンド・バイ・ミー

dou ka ki e ru ma de stand by me (su tan bai mii)

撒(ま)いたエラーすら読(よ)んじゃいない

mai ta error (e raa) su ra yon jya i nai

人間(にんげん)の思(おも)う事(こと)は知(し)らないね！

nin gen no o mo u ko to wa shi ra nai ne

アンタが書(か)いた杜撰(ずさん)なコード

an ta ga kai ta zu san na code (koo do)

ばっか持(も)てはやすユーザーよ

ba kka mo te ha ya su user (yuu zaa) yo

吐(は)いた言葉(ことば)の裏(うら)なんて

hai ta ko to ba no u ra nan te

知(し)る由(よし)もないだろう

shi ru yo shi mo na i da rou

哀(あわ)れ、あはれ

a wa re a wa re

愛にできることはまだあるかい

Wed, 01 Jul 2026 00:00:00 GMT

愛にできることはまだあるかい

愛(あい)にできることはまだあるかい

a i ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

何(なに)も持(も)たずに

na ni mo mo ta zu ni

生(う)まれ落(お)ちた僕(ぼく)

u ma re o chi ta bo ku

永遠(とわ)の隙間(すきま)で

to wa no su ki ma de

のたうちまわってる

no ta u chi ma wa tte ru

諦(あきら)めたものと

a ki ra me ta mo no to

賢(かしこ)いものだけが

ka shi ko i mo no da ke ga

勝者(しょうしゃ)の時代(じだい)に

shou sya no ji da i ni

どこで息(いき)を吸(す)う

do ko de i ki o suu

支配者(しはいしゃ)も神(かみ)も

shi ha i sya mo ka mi mo

どこか他人(たにん)顔(がお)

do ko ka ta nin ga o

だけど本当(ほんとう)は

da ke do ho n tou wa

わかっているはず

wa ka tte i ru ha zu

勇気(ゆうき)や希望(きぼう)や

yuu ki ya ki bou ya

絆(きずな)とかの魔法(まほう)

ki zu na to ka no ma hou

使(つか)い道(みち)もなく

tsu ka i mi chi mo na ku

大人(おとな)は目(め)をそむける

o to na wa me o so mu ke ru

それでもあの日(ひ)の

so re de mo a no hi no

君(きみ)が今(いま)もまだ

ki mi ga i ma mo ma da

僕(ぼく)の全正義(ぜんせいぎ)の

bo ku no zen sei gi no

ど真ん中(まんなか)にいる

do man na ka ni i ru

世界(せかい)が背中(せなか)を

se ka i ga se na ka o

向(む)けてもまだなお

mu ke te mo ma da na o

立(た)ち向(む)かう君(きみ)が

ta chi mu ka u ki mi ga

今(いま)もここにいる

i ma mo ko ko ni i ru

愛(あい)にできることはまだあるかい

a i ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

僕(ぼく)にできることはまだあるかい

bo ku ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

君(きみ)がくれた勇気(ゆうき)だから

ki mi ga ku re ta yuu ki da ka ra

君(きみ)のために使(つか)いたいんだ

ki mi no ta me ni tsu ka i ta i n da

君(きみ)と分(わ)け合(あ)った愛(あい)だから

ki mi to wa ke a tta a i da ka ra

君(きみ)とじゃなきゃ意味(いみ)がないんだ

ki mi to jya na kya i mi ga na i n da

愛(あい)にできることはまだあるかい

a i ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

僕(ぼく)にできることはまだあるかい

bo ku ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

運命(さだめ)とはつまり

sa da me to wa tsu ma ri

サイコロの出(で)た目(め)？

sa i ko ro no de ta me

はたまた神(かみ)の

ha ta ma ta ka mi no

いつもの気紛(きまぐ)れ

i tsu mo no ki ma gu re

選(えら)び選(えら)ばれた

e ra bi e ra ba re ta

脱(ぬ)げられぬ鎧(よろい)

nu ge ra re nu yo ro i

もしくは遥(はる)かな

mo shi ku wa ha ru ka na

揺(ゆ)らぐことない意志(いし)

yu ra gu ko to nai i shi

果(は)たさぬ願(ねが)いと

ha ta sa nu ne ga i to

叶(かな)わぬ再会(さいかい)と

ka na wa nu sa i ka i to

解(ほど)けぬ誤解(ごかい)と

ho do ke nu go ka i to

降(ふ)り積(つ)もる憎悪(ぞうお)と

fu ri tsu mo ru zou o to

許(ゆる)し合(あ)う声(こえ)と

yu ru shi a u ko e to

握(にぎ)り締(し)め合(あ)う手(て)を

ni gi ri shi me a u te o

この星(ほし)は今日(きょう)も

ko no ho shi wa kyou mo

抱(かか)えて生(い)きてる

ka ka e te i ki te ru

愛(あい)にできることはまだあるかい

a i ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

僕(ぼく)にできることはまだあるかい

bo ku ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

君(きみ)がくれた勇気(ゆうき)だから

ki mi ga ku re ta yuu ki da ka ra

君(きみ)のために使(つか)いたいんだ

ki mi no ta me ni tsu ka i ta i n da

君(きみ)と育(そだ)てた愛(あい)だから

ki mi to so da te ta a i da ka ra

君(きみ)とじゃなきゃ意味(いみ)がないんだ

ki mi to jya na kya i mi ga na i n da

愛(あい)にできることはまだあるかい

a i ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

僕(ぼく)にできることはまだあるかい

bo ku ni de ki ru ko to wa ma da a ru ka i

何(なに)もない僕(ぼく)たちに

na ni mo nai bo ku ta chi ni

なぜ夢(ゆめ)を見(み)させたか

na ze yu me o mi sa se ta ka

終(お)わりある人生(じんせい)に

o wa ri a ru jin se i ni

なぜ希望(きぼう)を持(も)たせたか

na ze ki bou o mo ta se ta ka

なぜこの手(て)をすり抜(ぬ)ける

na ze ko no te o su ri nu ke ru

ものばかり与(あた)えたか

mo no ba ka ri a ta e ta ka

それでもなおしがみつく

so re de mo na o shi ga mi tsu ku

僕(ぼく)らは醜(みにく)いかい

bo ku ra wa mi ni ku i kai

それとも、綺麗(きれい)かい

so re to mo, ki re i kai

答(こた)えてよ

ko ta e te yo

愛(あい)の歌(うた)も

a i no u ta mo

歌(うた)われ尽(つ)くした

u ta wa re tsu ku shi ta

数多(あまた)の映画(えいが)で

a ma ta no e i ga de

語(かた)られ尽(つ)くした

ka ta ra re tsu ku shi ta

そんな荒野(こうや)に

son na kou ya ni

生(う)まれ落(お)ちた僕(ぼく)、君(きみ)、それでも

u ma re o chi ta bo ku , ki mi , so re de mo

愛(あい)にできることはまだあるよ

a i ni de ki ru ko to wa ma da a ru yo

僕(ぼく)にできることはまだあるよ

bo ku ni de ki ru ko to wa ma da a ru yo

証命讃歌

Wed, 01 Jul 2026 00:00:00 GMT

証命讃歌

くだらない前例(ぜんれい)は絶(た)って

ku da ra nai zen rei wa ta tte

止(と)まんない衝動(しょうどう)に沿(そ)って

to man nai shou dou ni so tte

好(す)きに紡(つむ)げ運命(さだめ)

su ki ni tsu mu ge sa da me

無理(むり)に言葉(ことば)にする必要(ひつよう)はない

mu ri ni ko to ba ni su ru hi tsu you wa nai

心(こころ)で命(あかし)を放(はな)つよ

ko ko ro de a ka shi wo ha na tsu yo

口(くち)をつぐめば揶揄(やゆ)されて

ku chi wo tsu gu me ba ya yu sa re te

あけすけに言(い)えば茶化(ちゃか)されて

a ke su ke ni i e ba cha ka sa re te

解読(かいどく)不能(ふのう)カテゴライズ

ka i do ku fu nou categorize (ka te go ra i zu)

僕(ぼく)の居場所(いばしょ)はどこなの？

bo ku no i ba sho wa do ko na no？

現実(げんじつ)に夢(ゆめ)奪(うば)われすっかり空(から)になったポケットに

gen ji tsu ni yu me u ba wa re su kka ri ka ra ni na tta po ke tto ni

今日(きょう)も震(ふる)える手(て)ねじ込(こ)む

kyou mo fu ru e ru te ne ji ko mu

手放(てばな)すことが大人(おとな)への近道(ちかみち)ならば

te ba na su ko to ga o to na e no chi ka mi chi na ra ba

迷子(まいご)が良(い)い

mai go ga ii

時代(じだい)のせいにしないでさぁ

ji dai no sei ni shi nai de saa

「未完成(みかんせい)」は力(ちから)だ

mi ka n se i wa chi ka ra da

昂(たかぶ)るまま声(こえ)出(だ)せ

ta ka bu ru ma ma ko e da se

くだらない前例(ぜんれい)は絶(た)って

ku da ra nai zen rei wa ta tte

止(と)まんない衝動(しょうどう)に沿(そ)って

to man nai shou dou ni so tte

好(す)きに紡(つむ)げ運命(さだめ)

su ki ni tsu mu ge sa da me

報(むく)われない日(ひ)も

mu ku wa re nai hi mo

ままならない大義(たいぎ)も

ma ma na ra nai tai gi mo

未来(あす)の賞杯(しょうはい)への序曲(じょきょく)だから

a su no shou ha ie no jo kyo ku da ka ra

飾(かざ)らない感情(かんじょう)で良(い)いって

ka za ra nai kan jou de ii tte

時間(じかん)ないと高(たか)をくくって

ji kan nai to ta ka wo ku ku tte

腐(くさ)りきるのはダメ

ku sa ri ki ru no wa da me

無理(むり)に生(い)き急(いそ)ぐ必要(ひつよう)はない

mu ri ni i kii so gu hi tsu you wa nai

心(こころ)を命(あかし)で満(み)たして

ko ko ro wo a ka shi de mi ta shi te

不甲斐(ふがい)ない心象(しんしょう)によって

fu gai nai shin shou ni yo tte

見切(みき)りつける”は尚早(しょうそう)

mi ki ri tsu ke ru wa shou sou

答(こた)えは挑(いど)んだ先(さき)にある

ko ta e wa i don da sa ki ni a ru

「未完成(みかんせい)」が居場所(いばしょ)だ

mi kan sei gai ba sho da

昂(たかぶ)るまま声(こえ)上(あ)げろ

ta ka bu ru ma ma ko e a ge ro

くだらない前例(ぜんれい)は絶(た)って

ku da ra nai zen rei wa ta tte

止(と)まんない衝動(しょうどう)に沿(そ)って

to man nai shou dou ni so tte

好(す)きに紡(つむ)げ運命(さだめ)

su ki ni tsu mu ge sa da me

報(むく)われない日(ひ)も

mu ku wa re nai hi mo

ままならない大義(たいぎ)も

ma ma na ra nai tai gi mo

未来(あす)の賞杯(しょうはい)への序曲(じょきょく)だから

a su no shou ha ie no jo kyo ku da ka ra

飾(かざ)らない感情(かんじょう)で良(い)いって

ka za ra nai kan jou de ii tte

時間(じかん)ない。と高(たか)をくくって

ji kan nai to ta ka wo ku ku tte

腐(くさ)りきるのはダメ

ku sa ri ki ru no wa da me

無理(むり)に生(い)き急(いそ)ぐ必要(ひつよう)はない

mu ri ni i kii so gu hi tsu you wa nai

心(こころ)を命(あかし)で満(み)たして

ko ko ro wo a ka shi de mi ta shi te

心(こころ)で命(あかし)を放(はな)つよ

ko ko ro de a ka shi wo ha na tsu yo

火车_Japanese_ver

Wed, 17 Jun 2026 00:00:00 GMT

火车_Japanese_ver

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ往(ゆ)く

re ssha re ssha do ko e yu ku

山頂(さんちょう)まで遡(さかのぼ)って

san chou ma de sa ka no bo tte

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ往(ゆ)く

re ssha re ssha do ko e yu ku

地下(ちか)へと密(ひそ)やかで

chi ka e to hi so ya ka de

東京(とうきょう)東京(とうきょう) 駅(えき)に着(つ)く

tou kyou tou kyou e ki ni tsu ku

荷物(にもつ)を忘(わす)れないで

ni mo tsu o wa su re nai de

新聞(しんぶん)新聞(しんぶん) 昨日(きのう)のニュース

shin bun shin bun ki nou no news (nyuusu)

弁当(べんとう)弁当(べんとう) 香(かお)りして

ben tou ben tou ka o ri shi te

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ逃(に)げ

re ssha re ssha do ko e ni ge

皆(みな)と一緒(いっしょ)明(あ)かして

mi na to i sshyo a ka shi te

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ逃(に)げ

re ssha re ssha do ko e ni ge

公園(こうえん)で過去(かこ)を聞(き)いて

kou e n de ka ko o ki i te

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ往(ゆ)く

re ssha re ssha do ko e yu ku

丘(おか)越(ご)え勇(いさ)ましく

o ka go e i sa ma shi ku

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ往(ゆ)く

re ssha re ssha do ko e yu ku

古(ふる)い精神(せいしん)引(ひ)き継(つ)いで

fu ru i sei shin hi ki tsu i de

家(いえ)出(で)た迷子(まいご)たちが飛(と)ばしたい世界(せかい)

i e de ta mai go ta chi ga to ba shi ta i se kai

一駅(いちえき)一駅(いちえき) 天(てん)まで届(とど)け

i chi e ki i chi e ki ten ma de to do ke

愛(あい)する人(ひと)たちに思(おも)い見(み)せてくれ

a i su ru hi to ta chi ni o moi mo mi se te ku re

一歩(いっぽ)一歩(いっぽ) ゆらゆら里(さと)を出(で)て

i ppo i ppo yu ra yu ra sa to o de te

家(いえ)出(で)た迷子(まいご)たちが飛(と)ばしたい世界(せかい)

i e de ta mai go ta chi ga to ba shi ta i se kai

一駅(いちえき)一駅(いちえき) 天(てん)まで届(とど)け

i chi e ki i chi e ki ten ma de to do ke

故郷(こきょう)の人(ひと)たちに思(おも)い見(み)せてくれ

ko kyo o no hi to ta chi ni o moi mo mi se te ku re

一歩(いっぽ)一歩(いっぽ) ゆらゆら隣(となり)の家(いえ)

i ppo i ppo yu ra yu ra to na ri no i e

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ往(ゆ)く

re ssha re ssha do ko e yu ku

山頂(さんちょう)まで遡(さかのぼ)って

san chou ma de sa ka no bo tte

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ往(ゆ)く

re ssha re ssha do ko e yu ku

地下(ちか)へと密(ひそ)やかで

chi ka e to hi so ya ka de

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ逃(に)げ

re ssha re ssha do ko e ni ge

皆(みな)と一緒(いっしょ)明(あ)かして

mi na to i sshyo a ka shi te

列車(れっしゃ)列車(れっしゃ) 何処(どこ)へ逃(に)げ

re ssha re ssha do ko e ni ge

公園(こうえん)で過去(かこ)を聞(き)いて

kou e n de ka ko o ki i te

家(いえ)出(で)た迷子(まいご)たちが飛(と)ばしたい世界(せかい)

i e de ta mai go ta chi ga to ba shi ta i se kai

一駅(いちえき)一駅(いちえき) 天(てん)まで届(とど)け

i chi e ki i chi e ki ten ma de to do ke

愛(あい)する人(ひと)たちに思(おも)い見(み)せてくれ

a i su ru hi to ta chi ni o moi mo mi se te ku re

一歩(いっぽ)一歩(いっぽ) ゆらゆら里(さと)を出(で)て

i ppo i ppo yu ra yu ra sa to o de te

家(いえ)出(で)た迷子(まいご)たちが飛(と)ばしたい世界(せかい)

i e de ta mai go ta chi ga to ba shi ta i se kai

一駅(いちえき)一駅(いちえき) 天(てん)まで届(とど)け

i chi e ki i chi e ki ten ma de to do ke

故郷(こきょう)の人(ひと)たちに思(おも)い見(み)せてくれ

ko kyo o no hi to ta chi ni o moi mo mi se te ku re

一歩(いっぽ)一歩(いっぽ) ゆらゆら隣(となり)の家(いえ)

i ppo i ppo yu ra yu ra to na ri no i e

渋谷(しぶや)

Shibuya

新宿(しんじゅく)

Shinjuku

池袋(いけぶくろ)

Ikebukuro

上野(うえの)

Ueno

東京(とうきょう)

Tōkyō

新橋(しんばし)

Shimbashi

品川(しながわ)

Shinagawa

横浜(よこはま)

Yokohama

小田原(おだわら)

Odawara

熱海(あたみ)

Atami

三島(みしま)

Mishima

静岡(しずおか)

Shizuoka

掛川(かけがわ)

Kakegawa

豊橋(とよはし)

Toyohashi

名古屋(なごや)

Nagoya

京都(きょうと)

Kyōto

大阪(おおさか)

Osaka

神戸(こうべ)

Kōbe

岡山(おかやま)

Okayama

広島(ひろしま)

Hiroshima

博多(はかた)

Hakata

鹿児島(かごしま)

Kagoshima

東京(とうきょう)

Tōkyō

ぐるぐる回(まわ)って境(さかい)を分(わ)けてる

gu ru gu ru ma wa tte sa ka i o wa ke te ru

いつでもどこでも越(こ)える富士山(ふじさん)

i tsu de mo do ko de mo ko e ru fu ji san

赤(あか)や青(あお)へと色(いろ)変(か)わる信号(しんごう)

a ka ya a o e to i ro ka wa ru shi n go u

流(なが)れる時代(じだい)は追(お)いつけない

na ga re ru ji da i wa o i tsu ke nai

ぐるぐる回(まわ)って境(さかい)を分(わ)けてる

gu ru gu ru ma wa tte sa ka i o wa ke te ru

いつでもどこでも関(せき)を越(こ)えて

i tsu de mo do ko de mo se ki o ko e te

曲(まが)がる古(ふる)い道(みち) スピード遅(おそ)すぎ

ma ga ru fu rui mi chi speed (su pii do) o so su gi

流(なが)れる時代(じだい)は追(お)いつけない

na ga re ru ji da i wa o i tsu ke nai

モエチャッカファイア

Wed, 03 Jun 2026 00:00:00 GMT

モエチャッカファイア

ようこそお越(こ)しなさったご主人(しゅじん)様(さま)

you ko soo go shi na sa tta go syu jin sa ma

隣(となり)に座(すわ)ってせーの萌萌萌萌

to na ri ni su wa tte se no moe moe moe moe

こんなんで誰(だれ)が喜(よろこ)ぶのさ

kon nan de da re ga yo ro ko bu no sa

ねぇおしえて笑顔(えがお)でup pull pull

nee o shi e te e ga o de up pull pull

愛想(あいそ)を忘(わす)れてご苦労(くろう)様(さま)

a i so wo wa su re te go ku rou sa ma

私(わたし)とあなたでせーのluv luv luv luv

wa ta shi to a na ta de se no luv luv luv luv

こんなんで誰(だれ)が喜(よろこ)ぶのさ

kon nan de da re ga yo ro ko bu no sa

ねぇおしえて笑顔(えがお)でup pull pull

nee o shi e te e ga o de up pull pull

ひらりはらり女(おんな)の子(こ)

hi ra ri ha ra ri o n na no ko

ふわりふわり言葉(ことば)のsaw

fu wa ri fu wa ri ko to ba no saw

それってつまりお冷(さ)めな娘(こ)

so re tte tsu ma ri o sa me na ko

感情的(かんじょうてき)リアル笑顔(えがお)でup pull pull

kan jou te ki ri a ru e ga o de up pull pull

人(ひと)は見(み)かけによらめもの

hi to wa mi ka ke ni yo ra me mo no

嘘(うそ)を嘘(うそ)をだと見抜(みぬ)けない

u so wo u so wo da to mu ne ke na i

したたかな袖裾(そですそ)の革(かわ)

shi ta ta ka na so de su so no ka wa

鳥肌(とりはだ)鮫肌(さめはだ)アンドゥトロワ

to ri ha da sa me ha da an du to (ro wa)

間違(まちが)ったご指名(しめい)をいただきます

mo chi ga tta go shi me i wo i ta da ki ma su

私(わたし)とあなたでせーのluv luv luv luv

wa ta shi to a na ta de se no luv luv luv luv

これはど派手(はで)にご苦労(くろう)様(さま)

ko ne wa do ha de ni go ku rou sa ma

遊(あそ)びましょう笑顔(えがお)でup brrrt brrrt

a so bi ma syou e ga o de up brrrt brrrt

ひらりはらりここは何処(どこ)

hi ra ri ha ra ri ko ko wa do ko

ふわりふわり掃討(そうとう)let me show

fu wa ri fu wa ri sou tou let me show

そねってつまりお冷(さ)めな娘(こ)

so ne tte tsu ma ri o sa me na ko

確証的(かくしょうてき)リアル笑顔(えがお)でup brrrt brrrt

ka ku syou te ki ri a ru e ga o de up brrrt brrrt

歌(うた)い出(だ)す秘密(ひみつ)の鐘(かね)

u ta i da su hi mi tsu no ka ne

終(お)わることの無(な)いこの世界(せかい)

o wa ru ko to no nai ko no se kai

悲(かな)しい子供(こども)は

ka na shii ko do mo wa

虚(むな)しい子供(こども)は

mu na shii ko do mo wa

眠(ねむ)らせて

ne mu ra se te

お飯事(ままごと)と

o ma ma go to

遊(あそ)びましょう

a so bi ma syo

笑顔(えがお)でup pull pull

e ga o de up pull pull

ひらりはらり女(おんな)の子(こ)

hi ra ri ha ra ri on na no ko

ふわりふわり言葉(ことば)のsaw

fu wa ri fu wa ri ko to ba no saw

それってつまりお冷(さ)めな娘(こ)

so re tte tsu ma ri o sa me na ko

感情的(かんじょうてき)リアル笑顔(えがお)でup pull pull

kan jou te ki ri a ru e ga o de up pull pull

遊(あそ)びましょう笑顔(えがお)でup pull pull

a so bi ma syou e ga o de up pull pull

up pull pull

燦々

Wed, 03 Jun 2026 00:00:00 GMT

燦々

燦(さん)、と目(め)を突(つ)く光線(こうせん)が

san to me wo tsu ku kou sen ga

浅(あさ)く夕立(ゆうだち)を絶(た)った跡(あと)

a sa ku yuu da chi wo ta ttaa to

透(す)いた瞼(まぶた)で浮(う)いている

sui ta ma bu ta de ui te i ru

網膜(もうまく)の奥(おく)で夏(なつ)を呼(よ)ぶ

mou ma ku noo ku de na tsu wo yo bu

さんざめく様(よう)な残響(ざんきょう)が

san za me ku you na zan kyou ga

もう耳鳴(みみな)りになった頃(ころ)

mou mi mi na ri ni na tta ko ro

火照(ほて)った手(て)と手(て)が浮(う)いている

ho te tta te to te ga ui tei ru

繋(つな)ごうなんてしないまま

tsu na gou nan te shi na i ma ma

忘(わす)れたくたって

wa su re ta ku ta tte

忘(わす)れらんない日々(ひび)のこと

wa su re ran nai hi bi no ko to

(そう、いつも)

(sou i tsu mo)

(そう、いつも)

(sou i tsu mo)

思(おも)い出(だ)している

o mo i da shi tei ru

眩々々々(くらくらくらくら)

ku ra ku ra ku ra ku ra

西明(にしあか)りが

ni shi a ka ri ga

影(かげ)を遠(とお)く遠(とお)く

ka ge wo too ku too ku

暈(ぼか)していく

bo ka shi tei ku

「しゃあないな」って目(め)を伏(ふ)せて

shyaa nai na tte me wo fu se te

大人(おとな)振(ぶ)ってしまう様(よう)な

o to na bu tte shi mau you na

「大嫌(だいきら)い」が手(て)の中(なか)で

dai ki rai ga te no na ka de

呪(のろ)いみたいに疼(うず)いている

no ro i mi tai niu zui tei ru

「バイバイ」なんて手(て)を振(ふ)って

bai bai nan te te wo fu tte

放(ほう)り出(だ)してしまったんだ

ho u ri da shi te shi ma ttan da

メロディに溶(と)けていく

me ro di ni to ke tei ku

夕日(ゆうひ)みたいに燃(も)えている

yuu hi mi tai ni moe tei ru

凪(な)ぐ噪(さわ)ぐ干上(ひあ)がる

na gu sa wa gu hia ga ru

戸惑(とまど)う茹(ゆ)っていく

to ma dou yu da ttei ku

知れ無(しれな)い歪(ひず)な頭(あたま)の中(なか)

shi re naii bi tsu naa ta ma no na ka

躊躇(ためら)う言葉(ことば)

ta me rau ko to ba

吹(ふ)き曝(さら)して

fu ki sa ra shi te

野暮天(やぼてん)な風(かぜ)が髪(かみ)を撫(な)でる

ya bo ten na ka ze ga ka mi wo na de ru

気(き)がつけば情景(じょうけい)も

ki ga tsu ke ba jyou kei mo

もう置(お)き去(ざ)りになった頃(ころ)

mou o ki sa ri ni na tta ko ro

あぁ、あの日(ひ)から一向(いっこう)に

aa a no hi ka ra i kkou ni

何(なに)の一(ひと)つも言(い)えないまま

nan no hi to tsu moi e na i ma ma

思(おも)い出(だ)せそうで

o mo i da se sou de

辿(たど)れない今日(きょう)のこと

ta do re nai kyou no ko to

(もう、いくつも)

(mou i ku tsu mo)

(もう、いくつも)

(mou i ku tsu mo)

錆(さ)びついている

sa bi tsu i tei ru

眩々々々(くらくらくらくら)

ku ra ku ra ku ra ku ra

君(きみ)の知(し)らない日々(ひび)を

ki mi no shi ra na i hi bi wo

一(ひと)つ一(ひと)つ焦(こ)がしていく

hi to tsu hi to tsu ko ga shi tei ku

「バイバイじゃあね」手(て)を振(ふ)って

bai bai jyaa ne te wo fu tte

忘(わす)れちゃえば良(よ)かったんだ

wa su re chyae ba yo ka ttan da

「しゃあないな」って目(め)を伏(ふ)せて

shyaa nai na tte me wo fu se te

捨(す)てちゃえば良(よ)かったんだ

su te chya e ba yo ka ttan da

手(て)と手(て)が離(はな)れたあと

te to te ga ha na re taa to

夕日(ゆうひ)になった私(わたし)たちは

yuu hi ni na tta wa ta shi ta chi wa

「大嫌(だいきら)い」が胸(むね)の中(なか)で

dai ki rai ga mu ne no na ka de

呪(のろ)いみたいに疼(うず)いている

no ro i mi tai niu zui tei ru

メロディが溶(と)けていく

me ro di ga to ke tei ku

不意(ふい)にポロッと落(お)ちていく

fui ni po ro tto o chi tei ku

後悔(こうかい)が夏(なつ)の空(そら)で

kou kai ga na tsu no so ra de

きっと今(いま)も燃(も)えている

ki tto i ma mo moe tei ru

FIRE BIRD

Thu, 28 May 2026 00:00:00 GMT

FIRE BIRD

空(そら)がどんな高(たか)くても

so ra ga do n na ta ka ku te mo

羽根(はね)が千切(ちぎ)れ散(ち)っても

ha ne ga chi gi re chi tte mo

翔(と)び立(た)つこと恐(おそ)れずに

to bi ta tsu ko to o so re zu ni

焦(こ)がせ不死(ふし)なる絆(きずな)

ko ga se fu shi na ru ki zu na

Fly to the sky… Fire bird!

「潰(つい)えぬ夢(ゆめ)へ燃(も)え上(あ)がれ」

tsu i e nu yu mee mo e a ga re

(Burning up)

(Lala, lalala, Lala, lalala,)

暗闇(くらやみ)での絶望(ぜつぼう)も

ku ra ya mi de no ze tsu bo u mo

どうか怖(こわ)がらないで

do u ka ko wa ga ra na i de

貴方(あなた)の胸(むね) いつだって

a na ta no mu ne i tsu da tte

灯(とも)す夢(ゆめ)があるから

to mo su yu me ga a ru ka ra

決断(けつだん)への (運命(さだめ)に)

ke tsu da n e no (sa da me ni)

慟哭(どうこく)した (現実(げんじつ))

dou ko ku shi ta (gen ji tsu)

だけどそれは (愛故(あいゆえ)の)

da ke do so re wa (ai yu e no)

背負(せお)う未来(つばさ)だと…！

se o u tsu ba sa da to

(Lala, lalala, Lala, lalala,)

飛(と)べよ鵬翼(ほうよく)のヴァイオレット

to be yo hou yo ku no va i o re tto

火(ひ)の鳥(とり)のように

hi no to ri no you ni

We are… 何度(なんど)も歌(うた)い強(つよ)くなった

We are… nan do mo u ta i tsu yo ku na tta

(夢(ゆめ)は負(ま)けない)

(yu me wa ma ke na i)

貴方(あなた)を連(つ)れて行(い)きたいんだ

a na ta wo tsu re te i ki ta i n da

絶世(ぜっせい)の天(てん)へ

ze sse i no ten e

ゼロ距離(きょり)で抱(だ)き締(し)め合(あ)い

ze ro kyo ri de da chi (ki shi) me a i

神話(しんわ)に記(しる)そう

shin wa ni shi ru sou

(この音(おと)の風(かぜ)で)

(ko no o to no ka ze de)

そして新世界(しんせかい)へ

so shi te shin se kai e

(Burning up)

(Lala, lalala, Lala, lalala,)

泣(な)きじゃくったあの夜(よる)の

na ki jya ku tta a no yo ru no

答(こた)えはまだわからず

ko ta e wa ma da wa ka ra zu

だけど前(まえ)に… 前(まえ)だけに

da ke do ma e ni ma e da ke ni

きっとヒカリは射(さ)すと

ki tto hi ka ri wa sa su to

重低音(じゅうていおん)と (残光(ざんこう)の)

jyuu tei o n to (zan kou no)

この聖(せい)なる (領域(りょういき)で)

ko no se i na ru (ryou i ki de)

不完全(ふかんぜん)に (鉄槌(てっつい)を)

fu ka n ze n ni (te ttsui wo)

本能(ほんのう)のままに

hon nou no ma ma ni

(Lala, lalala, Lala, lalala,)

舞(ま)えよ暁(あかつき)に煌(きらめ)く

ma e yo a ka tsu ki ni ki ra me ku

太陽(たいよう)のように

ta i yo u no you ni

We are… 闇(やみ)から逃(に)げず支(ささ)え燃(も)える

We are… ya mi ka ra ni ge zu sa sa e mo e ru

(紅蓮(ぐれん)の炎(ほのお))

(gu re n no ho no o)

幾千回(いくせんかい) 拭(ぬぐ)ってもいいから

i ku se n ka i nu gu tte mo i i ka ra

その手(て)を伸(の)ばせば

so no te wo no ba se ba

羽根(はね)に変(か)わるんだと

ha ne ni ka wa ru n da to

信(しん)じて自分(じぶん)を

shin ji te ji bu n wo

(信(しん)じて勇気(ゆうき)を)

(shin ji te yuu ki wo)

そして明日(あした)へと

so shi te a shi ta e to

最初(さいしょ)は上(うえ)を見(み)ることも

sa i sho wa u e wo mi ru ko to mo

空(そら)を望(のぞ)むことも怖(こわ)かった

so ra wo no zo mu ko to mo ko wa ka tta

カゴの中(なか)からの銀河(ぎんが)は高(たか)く

ka go no na ka ka ra no gin ga wa ta ka ku

その星(ほし)の輝(かがや)きに憧(あこが)れては

so no ho shi no ka ga ya ki ni a ko ga re te wa

ただ眩(まぶ)しくて、ただ悔(くや)しくて

ta da ma bu shi ku te ta da ku ya shi ku te

だけど今(いま)は、きっと此処(ここ)から

da ke do i ma wa ki tto ko ko ka ra

「羽擊(はばた)こう… 頂点(ちょうてん)の夢(ゆめ)へと」

ha ba ta kou chou ten no yu me e to

飛(と)べよ鵬翼(ほうよく)のヴァイオレット

to be yo hou yo ku no va i o re tto

火(ひ)の鳥(とり)のように

hi no to ri no you ni

We are… 再(ふたた)び誓(ちか)う頂点(ちょうてん)への

We are… fu ta ta bi chi ka u chou te n e no

(不滅(ふめつ)のアンビション)

(fu me tsu no an bi shon)

貴方(あなた)を連(つ)れて行(い)きたいんだ

a na ta wo tsu re te i ki ta in da

絶世(ぜっせい)の天(てん)へ

ze sse i no ten e

終焉(しゅうえん)の楽園(らくえん)まで

shu u e n no ra kue n ma de

勇気(ゆうき)と云(い)う名(な)の

yuu ki to i u na no

(音楽(おんがく)の地図(ちず)に)

(on ga ku no chi zu ni)

歌(うた)え新世界(しんせかい)へ

u ta e shin se kai e

(Burning up)

(Lala, lalala, Lala, lalala,)

STAR BEAT!～ホシノコドウ～

Thu, 28 May 2026 00:00:00 GMT

STAR BEAT!～ホシノコドウ～

La la la la ~ La la la la ~ La la la la

幾(いく)つもの夢(ゆめ)を数(かぞ)えても

i ku tsu mo no yu me wo ka zo e te mo

聞(き)こえないふり続(つづ)けてきた

ki ko e nai fu ri tsu zu ke te ki ta

(ねえキミ聞こえる?)

(ne e ki mi ki ko e ru)

本当(ほんとう)はずっと気(き)付(づ)いてた

ho n to u wa zu tto ki zu i te ta

記憶(きおく)の底(そこ)小(ちい)さな声(こえ)

ki o ku no so ko chi i sa na ko e

(その声聞こえる)

(so no ko e ki ko e ru)

聞(き)こえる

ki ko e ru

(聞こえてくるからねえ)

(ki ko e te ku ru ka ra ne e)

星(ほし)の鼓動(こどう)を

ho shi no ko do u wo

(そっと)つかまえたなら

(so tto) tsu ka ma e ta na ra

その手(て)で抱(だ)きしめて

so no te de da ki shi me te

(だきしめて)

(da ki shi me te)

(ねえ)もう離(はな)さない

(ne e) mo u ha na sa na i

(ずっと)離(はな)したくない

(zu tto) ha na shi ta ku na i

私達(わたしたち)の STAR BEAT

wa ta shi ta chi no ~ STAR BEAT!

走(はし)ってたいつも走(はし)ってた

ha shi tte ta i tsu mo ha shi tte ta

愛(あい)と勇気(ゆうき)を届(とど)けたい

a i to yuu ki wo to do ke ta i

(あふれる思いで)

(a fu re ru o mo i de)

眠(ねむ)ってた声(こえ)が誘(いざな)った

ne mu tte ta ko e ga i za na tta

風(かぜ)に揺(ゆ)れるキミの歌(うた)

ka ze ni yu re ru ki mi no u ta

(夢見るココロと)

(yu me mi ru ko ko ru to)

瞼(まぶた)閉(と)じて諦(あきら)めてたこと

ma bu ta to ji te a ki ra me te ta ko to

いま歌(うた)っていま奏(かな)でて

i ma u ta tte i ma ka na de te

昨日(きのう)までの日々(ひび)に

ki no u ma de no hi bi ni

サヨナラする

sa yo na ra su ru

あの日(ひ)から聞(き)こえ続(つづ)けてる

a no hi ka ra ki ko e tsu zu ke te ru

漕(こ)ぎ出(だ)す舟(ふね)囀(さえず)る風(かぜ)

ko gi da su fu ne sa e zu ru ka ze

(ねえキミ聞こえる?)

(ne e ki mi ki ko e ru)

懐(なつ)かしい記憶(きおく)を手繰(たぐ)って

na tsu ka shi i ki o ku wo ta gu tte

星(ほし)が巡(めぐ)り届(とど)ける声(こえ)

ho shi ga me gu ri to do ke ru ko e

(その声聞こえる)

(so no ko e ki ko e ru)

聞(き)こえる

ki ko e ru

(聞こえてくるからねえ)

(ki ko e te ku ru ka ra ne e)

キミの鼓動(こどう)に

ki mi no ko do u ni

(そっと)歩幅(ほはば)を合(あ)わせ

(so tto) ho ha ba wo a wa se

明日(あした)を夢(ゆめ)見(み)てる

a shi ta wo yu me mi te ru

(ねえ)ひとつの気持(きも)ち

(ne e) hi to tsu no ki mo chi

(ずっと)掲(かか)げ進(すす)もう

(zu tto) ka ka ge su su mo u

声(こえ)を合(あ)わせ STAR BEAT

ko e wo a wa se ~ STAR BEAT!

走(はし)り出(だ)す今日(きょう)も走(はし)り出(だ)す

ha shi ri da su kyo u mo ha shi ri da su

愛(あい)と勇気(ゆうき)を届(とど)けたい

a i to yuu ki wo to do ke ta i

(高なるココロで)

(ta ka na ru ko ko ro de)

眠(ねむ)ってる声(こえ)が聞(き)こえたら

ne mu tte ru ko e ga ki ko e ta ra

意志(いし)と勇気(ゆうき)が切(せつ)なくて

i shi to yuu ki ga se tsu na ku te

(途切れる思いで)

(to gi re ru o mo i de)

瞼(まぶた)閉(と)じて諦(あきら)めてたこと

ma bu ta to ji te a ki ra me te ta ko to

いま笑(わら)っていま赦(ゆる)して

i ma wa ra tte i ma yu ru shi te

昨日(きのう)までの日々(ひび)に

ki no u ma de no hi bi ni

サヨナラする

sa yo na ra su ru

La la la la ~ La la la la ~ La la la la

遠(とお)くひとり願(ねが)うだけだった

too ku hi to ri ne ga u da ke da tta

夢(ゆめ)の欠片(かけら)守(まも)ること

yu me no ka ke ra ma mo ru ko to

(ねえキミ聞こえる?)

(ne e ki mi ki ko e ru)

ずっとひとり祈(いの)るだけだった

zu tto hi to ri i no ru da ke da tta

キミと一緒(いっしょ)に歌(うた)うこと

ki mi to i ssho ni u ta u ko to

(その声聞こえる)

(so no koe ki ko e ru)

走(はし)り出(だ)すいつか走(はし)り出(だ)す

ha shi ri da su i tsu ka ha shi ri da su

風(かぜ)に揺(ゆ)れるキミの歌(うた)

ka ze ni yu re ru ki mi no u ta

(ねえキミ聞こえる?)

(ne e ki mi ki ko e ru)

走(はし)り出(だ)すいつか走(はし)り出(だ)す

ha shi ri da su i tsu ka ha shi ri da su

届(とど)けたい歌(うた)キミの声(こえ)

to do ke ta i u ta ki mi no ko e

(その声聞こえる)

(so no koe ki ko e ru)

指(ゆび)を繋(つな)ぎ始(はじ)まったすべて

yu bi wo tsu na gi ha ji ma tta su be te

いま歌(うた)っていま奏(かな)でて

i ma u ta tte i ma ka na de te

昨日(きのう)までの日々(ひび)にサヨナラする

ki no u ma de no hi bi ni sa yo na ra su ru

La la la la ~ La la la la ~ La la la la

Song I am

Thu, 28 May 2026 00:00:00 GMT

Song I am

歪(いびつ)な始(はじ)まりは生(う)まれた

i bi zu na ha ji ma ri wa u ma re ta

世界(せかい)が崩(くず)れゆく中(なか)

se ka i ga ku zu re yu ku na ka

Gotta make it happen

(Gotta make it happen)

迷(まよ)いなく　この身(み)を捧(ささ)げたわ

ma yo i na ku ko no mi wo sa sa ge ta wa

立(た)ち上(あ)がる為(ため)ならばと

ta chi a ga (ru) ta me na ra ba to

Gotta make it happen

(Gotta make it happen)

足掻(あが)き、もがきながら

a ga ki mo ga ki na ga ra

(Wow wo wow)

集(あつ)めた　本当(ほんとう)の“歌(うた)う意味(いみ)”を

a tsu me ta hon tou no “u ta u i mi” wo

(I am song)

貴方(あなた)がいたから　私(わたし)がいた過去(かこ)から

a na ta ga i ta ka ra wa ta shi ga i ta ka ko ka ra

(I am song)

これからの道(みち)を選(えら)び

ko re ka ra no mi chi wo e ra bi

私達(わたしたち)が在(あ)る為(ため)の未来(みらい)へと

wa ta shi ta chi ga a ru ta me no mi ra i e to

(I am song)

振(ふ)り返(かえ)らず、迷(まよ)わず、進(すす)むわ

fu ri ka e ra zu ma yo wa zu su su mu wa

Shout to the top！

決(けっ)して死(し)なない…

ke sshi te shi na na i...

火(ひ)をつけた言葉(ことば)は　今(いま)やBlazing…

hi wo tsu ke ta ko to ba wa i ma ya Blazing...

(Burn！！！)

五体(ごたい)全(すべ)てを照(て)らして

go ta i su be te wo te ra shi te

We live forever

(We live forever)

義務(ぎむ)じゃなく自分(じぶん)の意志(いし)のみで

gi mu ja na ku ji bu n no i shi no mi de

I sing a song

羽(はね)ばたくよう(Oh, oh！)

ha ne ba ta ku you

誇(ほこ)りと音色(ねいろ)たちよ　さらに気高(けだか)く響(ひび)け！

ho ko ri to ne i ro ta chi yo sa ra ni ke ta ka ku hi bi ke!

(Song I am)

この先(さき)　どんなに長(なが)い道(みち)のりだろうと

ko no sa ki do n na ni na ga i mi chi no ri da rou to

(Song I am)

何(なに)を恐(おそ)れることがある？

na ni wo o so re ru ko to ga a ru?

選(えら)ぶ先(さき)は　正解(せいかい)しかないんだ

e ra bu sa ki wa se i ka i shi ka na i n da

(Song I am)

確(たし)かな運命(うんめい)を　今(いま)此処(ここ)から

ta shi ka na u n me i wo i ma ko ko ka ra

Declare to be！

(Wow……)

Song I am……

(I am song)

導(みちび)き続(つづ)けてくれたもの達(たち)へ贈(おく)ろう

mi chi bi ki tsu zu ke te ku re ta mo no ta chi he o ku rou

(I am song)

感謝(かんしゃ)と　そして想(おも)いを…

ka n sha to so shi te o mo i wo...

私達(わたしたち)が在(あ)る為(ため)の未来(みらい)まで

wa ta shi ta chi ga a ru ta me no mi ra i ma de

(I am song)

振(ふ)り返(かえ)らず、迷(まよ)わず、信(しん)じて

fu ri ka e ra zu ma yo wa zu shi n ji te

Shout to the top——！

(Song I am)

私達(わたしたち)は　新(あら)たな世界(せかい)を歌(うた)ってゆくわ

wa ta shi ta chi wa a ra ta na se ka i wo u ta tte yu ku wa

(Song I am)

Wow……

(Song I am)

強(つよ)く、熱(あつ)く、届(とど)けよ　果(は)てまで

tsu yo ku a tsu ku to do ke yo ha te ma de

Louder!!!!! Louder!!!!

礎の花冠

Thu, 28 May 2026 00:00:00 GMT

礎の花冠

眩(まぶ)しいなこんなにも

ma bu shi i na kon na ni mo

あの日(ひ)から変(か)

a no hi ka ra

わらないまま

ka wa ra na i ma ma

一番(いちばん)ほしい言葉(ことば)で

i chi ban ho shii ko to ba de

手(て)を取(と)って

te wo to tte

連(つ)れ出(だ)してくれた

tsu re da shi te ku re ta

(目(め)と目(め)合(あ)わせ微笑(ほほえ)み合(あ)って)

(me to me a wa se ho ho e mi a tte)

紡(つむ)ぎ合(あ)わせてゆく

tsu mu gi a wa se te yu ku

(手(て)と手(て)合(あ)わせ感謝(かんしゃ)を込(こ)め)

(te to te a wa se ka n sha wo ko me)

一音(いちおん)一句(いっく)と

i chi o n i kku to

(声(こえ)を繋(つな)いで夢(ゆめ)を渡(わた)って)

(ko e wo tsu nai de yu me wo wa ta tte)

互(たが)いの想(おも)いが

ta ga i no o mo i ga

音楽(おんがく)という奇跡(きせき)を奏(かな)でてく

o n ga ku to i u ki se ki wo ka na de te ku

輝(かがや)きの中(なか)

ka ga ya ki no na ka

この先(さき)も隣(となり)で

ko no sa ki mo to na ri de

貴方(あなた)と歌(うた)わせて

a na ta to u ta wa se te

約束(やくそく)の景色(けしき)と共(とも)にもう一度(いちど)誓(ちか)う

ya ku so ku no ke shi ki to to mo ni mou i chi do chi kau

ずっと傍(そば)にいると

zu tto so ba ni i ru to

小指(こゆび)を交(か)わして

ko yu bi wo ka wa shi te

Ever, Ever after

迎(むか)えに来(き)てくれたね

mu ka e ni ki te ku re ta ne

どんなに

do n na ni

暗(くら)い夜(よる)でも

ku ra i yo ru de mo

不器用(ぶきよう)でいて

bu ki yo u de i te

とても優(やさ)しくて気高(けだか)い姿(すがた)で

to te mo ya sa shi ku te ke da kai su ga ta de

この先(さき)も隣(となり)で悲(かな)しみに暮(く)れたって

ko no sa ki mo to na ri de ka na shi mi ni ku re ta tte

もう立(た)ち止(ど)まりはしない

mou ta chi do ma ri wa shi na i

逃(に)げもしないよ

ni ge mo shi na i yo

また明日(あした)が来(く)るんだ

ma ta a shi ta ga ku run da

素晴(すば)らしい瞬間(しゅんかん)で

su ba ra shii shun kan de

Ever, Ever after

(目(め)と目(め)合(あ)わせ頷(うなず)き合(あ)って)

(me to me a wa se u na zu ki a tte)

いつかその頭上(ずじょう)に

i tsu ka so no zu jyo u ni

(手(て)と手(て)合(あ)わせ祈(いの)りを込(こ)め)

(te to te a wa se i no ri wo ko me)

永遠(とわ)の煌(きら)めきを

to wa no ki ra me ki wo

(諦(あきら)めないで願(ねが)う未来(みらい)へ)

(a ki ra me na i de ne ga u mi ra i e)

胸(むね)に息(いき)づく

mu ne ni i ki zu ku

愛(いと)しさを礎(いしずえ)に

i to shi sa wo i shi zu e ni

何度(なんど)でも足(あし)を踏(ふ)み出(だ)そう

nan do de mo a shi wo fu mi da so u

この先(さき)も隣(となり)で

ko no sa ki mo to na ri de

貴方(あなた)と歌(うた)わせて

a na ta to u ta wa se te

約束(やくそく)の景色(けしき)と共(とも)にもう一度(いちど)誓(ちか)う

ya ku so ku no ke shi ki to to mo ni mou i chi do chi ka u

ずっと傍(そば)にいると

zu tto so ba ni i ru to

小指(こゆび)を交(か)わして

ko yu bi wo ka wa shi te

Ever, Ever after

Embrace music forever

顔(かお)を上(あ)げて前(まえ)を向(む)いて

kao wo a ge te ma e wo mu i te

歩(ある)き続(つづ)けてゆくよ

a ru ki tsu zu ke te yu ku yo

悔(くや)しくたって落(お)ち込(こ)んだって

ku ya shi ku ta tte o chi kon da tte

どうしようもないほどに

dou shi you mo na i ho do ni

幸(しあわ)せなんだこの居場所(いばしょ)が

shi a wa se nan da ko no i ba sho ga

隣(となり)には貴方(あなた)が

to na ri ni wa a na ta ga

頂(いただ)きへとすべてを賭(か)ける覚悟(かくご)で

i ta da ki e to su be te wo ka ke ru ka ku go de

私達(わたしたち)は行(い)く

wa ta shi ta chi wa yu ku

高中数学_解析几何知识点留档

Wed, 22 Apr 2026 00:00:00 GMT

高中数学解析几何知识点留档

首先感谢我的数学老师

一、直线

1. 倾斜角

当直线$l$与$x$轴相交时，以$x$轴为基准，$x$轴正向与$l$向上的方向之间所成角$\alpha$。

规定：直线与$x$轴平行或重合时，倾斜角为$0$。
范围：$[0,\pi)$

2. 斜率

① 已知直线的倾斜角为$\alpha$，则斜率为： $$k=\tan\alpha \quad (\alpha\neq\frac{\pi}{2})$$

② 已知直线上两点$P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2)$，则斜率为： $$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \quad (x_1\neq x_2)$$

3. 倾斜角与斜率的关系

①

② 关系总结：

$\alpha=0$，则$k=0$；
$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，则$k>0$，且斜率随倾斜角的增加而增加；
$\alpha=\frac{\pi}{2}$，则直线垂直于$x$轴（斜率不存在）；
$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$，则$k<0$，且斜率随倾斜角的增加而增加。

4. 平行与垂直

:::note 注：平面中“两条直线”，无特殊说明，指不重合的；若已知直线$l_1,l_2$，则其可能重合。 :::

① 已知$l_1:y=k_1x+b_1,\ l_2:y=k_2x+b_2$，则： $$ \begin{align*} l_1\parallel l_2 &\Leftrightarrow \begin{cases} k_1=k_2 \ b_1\neq b_2 \end{cases} \ l_1\perp l_2 &\Leftrightarrow k_1k_2=-1 \end{align*} $$ ② 已知$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,\ l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$，则：

$A_1B_2=A_2B_1$，则$l_1$与$l_2$的位置关系为平行或重合（需验证）；
$l_1\perp l_2 \Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0$。

③ “两条直线平行”是“两条直线的斜率相等”的既不充分也不必要条件。

④ 平行/垂直/过交点的直线系：

与直线$Ax+By+C=0$平行的直线系为：$Ax+By+\lambda=0\ (\lambda\neq C)$；
与直线$Ax+By+C=0$垂直的直线系为：$Bx-Ay+\lambda=0$；
过直线$A_1x+B_1y+C_1=0$与$A_2x+B_2y+C_2=0$交点的直线系为：

$$(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0$$ （不包含$A_2x+B_2y+C_2=0$）

5. 直线方程

形式	方程	适用范围
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$	过定点$(x_0,y_0)$，斜率存在
斜截式	$y=kx+b$	斜率存在
截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$	截距存在且不为零（即不垂直坐标轴，且不过原点）
两点式	$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$	不垂直坐标轴；改进式：$(y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)$
一般式	$Ax+By+C=0\ (A^2+B^2\neq0)$	所有直线
参数方程	$\begin{cases}x=x_0+t\cos\alpha \ y=y_0+t\sin\alpha\end{cases}$（$t$为参数）	过定点$(x_0,y_0)$，$\alpha$为倾斜角； $t$的几何意义：动点到定点的有向距离

② 截距与距离的区别：截距$\in\mathbb{R}$是坐标，有正负，距离$\ge0$。

直线的截距相等，则直线：$x+y=a (k=1)$ 或 $y=kx (\text{过}(0,0))$；
直线的截距的绝对值相等，则直线：$x+y=a (k=1)$ 或 $x-y=a (k=-1)$ 或 $y=kx (\text{过}(0,0))$。

③ 点到直线的距离：点$P(x_0,y_0)$到直线$l:Ax+By+C=0$的距离： $$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

:::note 直线方程需为标准的一般式。 :::

④ 两平行直线间的距离公式： $$d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

:::note 两直线方程中$x,y$的系数要相同。 :::

6. 对称问题

① 点关于点对称：$A(x_1,y_1)$关于$P(x_0,y_0)$的对称点为$(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$。

② 点关于线对称：$A(x_0,y_0)$关于$l:Ax+By+C=0$的对称点为：

$$ A'\left(x_0-2A\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2},\ y_0-2B\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\right) $$

:::note 求解思路：线段$AA'$的中点在$l$上，且$AA'\perp l$。

特别地，当直线的斜率为$\pm1$时，如$l:y=x+b$，则对称点为$(y_0-b,x_0+b)$。 :::

③ 线关于点对称（点不在线上）：$l:Ax+By+C=0$关于$P(x_0,y_0)$的对称线为：

$$ Ax+By-2Ax_0-2By_0-C=0 $$

:::note 求解思路：

方法1：设$l' \parallel l$，即$l':Ax+By+\lambda=0\ (\lambda\neq C)$，利用$P$到$l,l'$的距离相等；
方法2：在$l$上任取两个点，求其关于$P$的对称点，再求直线方程；
方法3：直接法，设$l$上任一点$A(x,y)$，关于$P$的对称点$A'(2x_0-x,2y_0-y)$在$l'$上，代入方程化简。

:::

④ 线关于线对称（两线不重合）：求解思路：特殊点法、直接法。

⑤ 镜面反射问题：常用“入射光线上的点关于镜面的对称点在反射光线的反向延长线上”。

⑥ 利用对称求最值

点$A,B$在直线$l$同侧，在$l$上找一点$P$：使$|PA|+|PB|$最小（对称点连线与$l$交点）；使$||PA|-|PB||$最大（延长线与$l$交点）。
点$A,B$在直线$l$两侧，在$l$上找一点$P$：使$|PA|+|PB|$最小（直接连线与$l$交点）；使$||PB|-|PA||$最大（对称点连线与$l$交点）。

:::note 三点共线求最值+对称转化 :::

7. 直线过定点

求定点的方法：

方法1：化成点斜式；
方法2：化成$f(x,y)+\lambda g(x,y)=0$，则$\begin{cases}f(x,y)=0 \ g(x,y)=0\end{cases}$的解即为定点。

:::note 适用场景：含参数的一次式。 :::

8. 直线的方向向量

① 定义：向量所在直线与已知直线平行或重合。 ② 直线$y=kx+b$的方向向量为$(1,k)$；直线$Ax+By+C=0$的方向向量为$(B,-A)$。

9. 证明三点共线的方法

斜率相等且有公共点；
向量共线且有公共点；
$|AB|+|BC|=|AC|$(若$B$在$AC$中间)。

二、圆

1. 圆的方程

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$；
一般式：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\ (D^2+E^2-4F>0)$，圆心$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，半径$\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$；
参数方程：$\begin{cases}x=a+r\cos\theta \ y=b+r\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），$(a,b)$为圆心，$r$为半径；
以$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$为直径的圆的方程：$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$。

① 二元二次方程$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$表示圆的条件： $$\begin{cases} A=C\neq0 \ B=0 \ (\frac{D}{A})^2+(\frac{E}{A})^2-4\frac{F}{A}>0 \end{cases}$$

② $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$表示点的条件：$D^2+E^2-4F=0$，其点为$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。

2. 直线与圆的位置关系

（圆心到直线的距离为$d$，半径为$r$）

① 几何关系：

相离：$d>r$；
相切：$d=r$；
相交：$d<r$。

② 研究方法：代数联立法、几何法（常用）。

若直线过圆内一点，则直线与圆相交；
若直线过圆上一点，则直线与圆相切或相交。

③ 常用结论：

直线与圆相切时：$CN\perp l$，$CN=r$（$N$为切点）；
直线与圆相交时：$CQ\perp MN$（垂径定理，$Q$为弦$MN$中点）。

3. 切线

① 切线方程：

过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程：$x_0x+y_0y=r^2$；
过圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程：$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$；
过圆$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$上一点$P(x_0,y_0)$的切线方程： $$x_0x+y_0y+D\cdot\frac{x+x_0}{2}+E\cdot\frac{y+y_0}{2}+F=0$$

② 切线条数：

过圆上一点，有1条切线；
过圆外一点，有2条切线。

:::warning 求切线方程时，需先判断点与圆的位置关系，再决定切线的条数

方法：①设斜截式（斜率存在时），②点到切线的距离等于半径。 :::

4. 点与圆的位置关系

已知$P(x_0,y_0)$，圆$C:x^2+y^2=r^2$，则：

$P$在$C$上 $\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2=r^2$；
$P$在$C$内 $\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2<r^2$；
$P$在$C$外 $\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2>r^2$。

5. 圆与圆的位置关系

（圆心距$d$，两圆半径$r_1,r_2$）

① 几何关系：

相离：$d>r_1+r_2$；
外切：$d=r_1+r_2$；
相交：$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$；
内切：$d=|r_1-r_2|$；
内含：$d<|r_1-r_2|$。

② 公切线条数：

两圆相离：4条；
两圆外切：3条；
两圆相交：2条；
两圆内切：1条。

③ 相交/相切的结论：

两圆相交时，相交弦所在直线方程为两圆方程相减；相交弦的中垂线方程为两圆心所在直线；
两圆相切时，切点、两圆心三点共线。

6. 与圆有关的最值问题

（以$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$为例）

① $z=\frac{y-m}{x-n}$：点$(n,m)$与圆上点$Q(x,y)$的连线的斜率，临界情况为过$P$的圆的切线；
② $z=mx+ny$：纵截距$y=-\frac{m}{n}x+\frac{z}{n}$；
③ $z=(x-m)^2+(y-n)^2$：点$(m,n)$到圆上点$Q$的距离的平方；
④ 过圆内一点$P(m,n)$，最长弦为直径$|CD|$，最短弦为垂直于直径的弦$|AB|$。

总结：有关圆的最值问题，数形结合时向圆心靠拢；代数法常用三角换元。

7. 阿波罗尼斯圆

① 定义：在平面上，给定相异的两点$A,B$，设$P$在同一平面上，满足$|PA|=\lambda|PB|\ (\lambda\neq1)$，则$P$的轨迹是个圆。
② 若$|AB|=a$，$|PA|=\lambda|PB|\ (\lambda>0,\lambda\neq1)$，则半径$r=\frac{\lambda a}{|\lambda^2-1|}$。

三、椭圆

1. 椭圆定义

① 第一定义：已知$F_1,F_2$为两定点，$P$是动点，满足： $$ |PF_1|+|PF_2|=2a>2c=|F_1F_2| $$ 焦距为$2c$，长轴长为$2a$；

当常数$=|F_1F_2|$时，$P$的轨迹为线段$F_1F_2$。

② 第二定义：动点$M$与定点$F$的距离和$M$到定直线$l$的距离的比是常数$e(0<e<1)$，则$M$的轨迹为椭圆。

:::note 左焦点对应右准线，右焦点对应左准线 :::

若$P(x_0,y_0)$是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$上一点，则：$|PF_1|=a+ex_0,\quad |PF_2|=a-ex_0$

③ 第三定义：$A(-a,0),\ B(a,0)$，直线$AM,BM$交于$M$，且$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2}$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$两点的椭圆。

推广：$A,B$为关于原点对称的两点，$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2}$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$两点的椭圆。

2. 椭圆标准方程

① $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 或 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$；

:::note 焦点位置判断口诀：“谁大在谁上”

求椭圆标准方程要先定焦点位置，再定量 :::

② 统一方程：$mx^2+ny^2=1\ (m>0,n>0,m\neq n)$，常用于过两点求椭圆方程。

③ 参数方程：$\begin{cases}x=a\cos\theta \ y=b\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）。

④ 共焦点椭圆方程：

与$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$有相同焦点的椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2+k}+\frac{y^2}{b^2+k}=1\ (k>-b^2)$；
与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$有相同焦点的椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2+k}+\frac{y^2}{k-b^2}=1\ (k>b^2)$。

3. 椭圆的常用结论

① $\triangle ABF_2$的周长为$4a$（$AB$过$F_1$）。

② 焦点三角形$PF_1F_2$：

常用结论：椭圆定义、余弦定理、面积公式；
面积：$S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}$；
$|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{2b^2}{1+\cos\theta}$（推导：由余弦定理$(2c)^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos\theta$，结合$|PF_1|+|PF_2|=2a$，化简得$|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{2b^2}{1+\cos\theta}$）；
$P$从$A$到$B$运动时，$\theta$先变大后变小，$S_{\triangle PF_1F_2}$先变大后变小。

③ 焦点弦：

$|F_2A|=\frac{b^2}{a+c\cos\theta},\ |F_2B|=\frac{b^2}{a-c\cos\theta}$，$|AB|=\frac{2b^2}{1-e^2\cos^2\theta}$；
$\frac{1}{|F_2A|}+\frac{1}{|F_2B|}=\frac{2a}{b^2}$；
通径：过焦点垂直于长轴的弦，长为$\frac{2b^2}{a}$；是过焦点的弦中最短的弦，最长的弦为长轴；
焦半径$r$的范围：$[a-c,a+c]$；
$P$在右顶点时$|PF_1|$最大，在左顶点时$|PF_1|$最小。

④ 离心率：

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{|F_1F_2|}{|PF_1|+|PF_2|}=\cos\angle BF_1O$
$e$越大，椭圆越扁；

:::note 记忆方法：$a$不变，$e$越大，$\frac{b^2}{a}$越小，$b$越小，椭圆越扁。 :::

$e\in(0,1)$。

⑤ 光学性质：由一个焦点射向椭圆上任意一点的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一焦点。

4. 点与椭圆的位置关系

（$P(x_0,y_0)$，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$）

点在椭圆上 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow |PF_1|+|PF_2|=2a$；
点在椭圆内 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1 \Leftrightarrow |PF_1|+|PF_2|<2a$；
点在椭圆外 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}>1 \Leftrightarrow |PF_1|+|PF_2|>2a$。

:::note 类比圆 :::

② 直线$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$的几何意义：

若$P$在椭圆上，$l$表示在$P$处的切线；
若$P$在椭圆内，$l$表示中点弦所在直线；
若$P$在椭圆外，$l$表示切点弦所在直线；
特别地，当$P$为焦点时，$l$为准线。

5. 直线与椭圆

① 位置关系：相离、相交、相切，判断方法：联立方程，判别式$\Delta$。

② 弦长公式：直线$l:y=kx+m$与椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$交于$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$：

联立方程得：$(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0$，则： $$ \begin{align*} |PQ|&=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2| \ &=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} \ &=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{2ab\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}}{a^2k^2+b^2} \end{align*} $$

③ 直线的设法：

设为$x=ty+n$：过$x$轴上的定点，使用条件：斜率不为0；
设为$y=kx+b$：过$y$轴上的定点，使用条件：斜率存在。

6. 最值问题

① 求椭圆上的点到定直线的距离的最值的方法：椭圆的参数方程、平行直线系（常用参数方程）。

② 定点与椭圆上点的最值：

$P$为椭圆上一点，$M$为椭圆内一定点：
- $|PM|+|PF_1|$的最值：$[2a-|MF_2|,2a+|MF_2|]$；
- $||PM|-|PF_1||$的最值：$[-|MF_1|,|MF_1|]$；
$P$为椭圆上一点，$M$为椭圆外一定点：
- $|PM|+|PF_1|$的最小值：$|MF_2|$；
- $|PM|-|PF_1|$的最小值：$|PM|-2a+|PF_2|$；
$P$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上一点，$M$为椭圆内一定点，求$|PM|+\frac{c}{a}|PF_2|$的最小值：
- 利用第二定义，$\frac{|PF_2|}{d}=e=\frac{c}{a}$，即$\frac{c}{a}|PF_2|=d$（$d$为$P$到右准线的距离），转化为$|PM|+d$的最小值。

7. 过原点的直线交椭圆于$A,B$两点

由椭圆的对称性知，四边形$AF_1BF_2$为平行四边形。

8. 中点弦性质

直线$AB$与椭圆交于$A,B$两点，$P$为线段$AB$的中点，则： $$k_{AB}\cdot k_{OP}=-\frac{b^2}{a^2}$$

9. 直线与椭圆位置关系的常用方法

设而不求、点差法（中点问题优先考虑点差法）。

10. 求范围问题

常用：$\Delta>0$、$|x|\le a$且$|y|\le b$、$e\in(0,1)$。

11. 求离心率的值或范围

常用：数形结合、齐次式、点在椭圆上。

12. 焦点问题

焦点常成对出现，不足时补齐；有关焦点的问题要考虑定义。

13. 焦点弦与准线的位置关系

以过椭圆的焦点的弦为直径的圆与其相应的准线相离。

四、双曲线

1. 双曲线定义

① 第一定义：已知$F_1,F_2$是两定点，$P$是动点，符号表示为： $$ ||PF_1|-|PF_2||=2a<|F_1F_2|=2c $$ 焦距为$2c$，实轴长为$2a$；

当常数$=|F_1F_2|$时，$P$的轨迹为以$F_1,F_2$为端点的两条射线。

② 第二定义：动点$M$与定点$F$的距离和$M$到定直线$l$的距离的比是常数$e(e>1)$，则$M$的轨迹为双曲线。

:::note

注意：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
若$M(x_0,y_0)$是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$上一点，则： $$|PF_1|=|a+ex_0|,\quad |PF_2|=|a-ex_0|$$
求焦半径常用方法是第二定义；焦半径范围为$[c-a,+\infty)$。

:::

③ 第三定义：$A(-a,0),B(a,0)$，$k_{AM}\cdot k_{BM}=\frac{b^2}{a^2}$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$两点的双曲线。

:::note 整合：已知$A(-a,0),B(a,0)$，动点$M$满足$k_{MA}\cdot k_{MB}=e^2-1$：

若$e\in(0,1)$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$的椭圆；
若$e\in(1,+\infty)$，则$M$的轨迹为去掉$A,B$的双曲线。

:::

2. 双曲线标准方程

① 标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$。

:::note 焦点位置判断口诀：谁正就在谁上；

求双曲线标准方程要先定焦点位置后定量。 :::

② 统一方程：$mx^2+ny^2=1\ (mn<0)$；焦点在$x$轴上满足条件：$m>0,n<0$。

③ 共焦点方程：

与$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$共焦点的双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2-k}-\frac{y^2}{k-b^2}=1\ (b^2<k<a^2)$；
与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$共焦点的双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2+k}-\frac{y^2}{b^2-k}=1\ (-a^2<k<b^2)$。

3. 常用结论

① $\triangle ABF_2$的周长为$4a+2|AB|$（$AB$过$F_1$且交双曲线于同一支）。

② 焦点$\triangle PF_1F_2$：

研究时常用到双曲线定义、余弦定理、面积公式；
面积：$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}$；
$|PF_1|\cdot|PF_2|=\frac{2b^2}{1-\cos\theta}$；
圆$M$为$\triangle PF_1F_2$的内切圆，则$M$的横坐标为$a$（推导：$|PF_1|-|PF_2|=|GF_1|-|EF_2|=(x_P+c)-(c-x_P)=2x_P=2a$，故$x_P=a$）。

③ 焦点弦：

$|F_1A|=\frac{b^2}{1-e\cos\theta},\ |F_1B|=\frac{b^2}{1+e\cos\theta}$，$|AB|=\frac{2b^2}{1-e^2\cos^2\theta}$；
$\frac{1}{|F_1A|}+\frac{1}{|F_1B|}=\frac{2a}{b^2}$；
通径长为$\frac{2b^2}{a}$。

④ 离心率： $$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{||PF_1|-|PF_2||}{|F_1F_2|}$$ $e$越大，双曲线开口越大

:::note 理解方法：$e$越大，$\frac{b}{a}$越大，渐近线斜率越大。 :::

⑤ 光学性质：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。

⑥ 渐近线：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的渐近线方程为：$y=\pm\frac{b}{a}x$；
$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的渐近线方程为：$y=\pm\frac{a}{b}x$；
$mx^2-ny^2=1\ (mn>0)$的渐近线方程为：$mx^2-ny^2=0$

:::note 方法：将“1”变为“0” :::

渐近线为$y=\pm\frac{n}{m}x\ (m>0,n>0)$的双曲线方程可设为：$\frac{y^2}{n^2}-\frac{x^2}{m^2}=\lambda\ (\lambda\neq0)$；
与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$有相同渐近线的双曲线方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda\ (\lambda\neq0)$；
焦点到一条渐近线的距离为$b$。

4. 特殊双曲线

① 等轴双曲线：

定义：实轴等于虚轴；
渐近线方程：$y=\pm x$，夹角为$\frac{\pi}{2}$；
离心率：$e=\sqrt{2}$；
方程可设为：$x^2-y^2=\lambda\ (\lambda\neq0)$。

② 共轭双曲线：

定义：实轴、虚轴互换；
互为共轭的双曲线的渐近线方程相同；满足$\frac{1}{e_1^2}+\frac{1}{e_2^2}=1$，四焦点共圆；
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的共轭双曲线方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$。

③ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$：

实轴长为$2\sqrt{2|k|}$；
渐近线方程为$x=0,y=0$；
离心率为$\sqrt{2}$；
函数$y=x+\frac{k}{x}(k>0)$的渐近线方程为$y=x,x=0$，离心率为$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$。

5. 直线与双曲线

① 过定点$P$与双曲线只有一个交点的直线条数：

当定点 P 在①内，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有2条
当定点 P 在②内，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有4条
当定点 P 在③内，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有4条
当定点 P 在双曲线上，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有3条
当定点 P 在渐近线上，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有2条
当定点 P 在原点上，过 P 与双曲线只有一个交点的直线有0条

② 直线$l:y=kx+m$与双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$交于$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$：

联立方程得：$(b^2-a^2k^2)x^2-2a^2kmx-a^2m^2-a^2b^2=0$，$\Delta=4a^4b^2(b^2-a^2k^2+m^2)$。

当$b^2-a^2k^2=0$或$\Delta=0$时，$l$与$C$只有一个交点；
当$\begin{cases}b^2-a^2k^2\neq0 \ \Delta>0\end{cases}$时，$l$与$C$有两个不同交点；
当$\begin{cases}b^2-a^2k^2\neq0 \ \Delta>0 \ x_1x_2=\frac{-a^2(m^2+b^2)}{b^2-a^2k^2}>0\end{cases}$时，$l$与$C$同支交于两点；
当$\begin{cases}b^2-a^2k^2\neq0 \ x_1x_2=\frac{-a^2(m^2+b^2)}{b^2-a^2k^2}<0\end{cases}$时，$l$与$C$交于不同两支。

③ 切线：

已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$，点$P(x_0,y_0)$：
1. 若$P$在$C$上，则$P$处的切线方程为：$\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$；
2. 若$P$在$C$外，过$P$引$C$的两条切线，则切点弦方程为：$\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$；
3. $C$与直线$Ax+By+C=0$相切的条件是：$B^2b^2-A^2a^2+C^2=0$。

④ 中点弦性质：设$M(x_0,y_0)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$的弦$AB$（$AB$不平行$y$轴）的中点，则$k_{AB}\cdot k_{OM}=\frac{b^2}{a^2}$；

过原点的直线交双曲线于$A,B$，$P$是双曲线上任一点，则$k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{b^2}{a^2}$。

⑤ 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆与其相应的准线相交。

五、抛物线

1. 抛物线定义

动点$P$到定点$F$和定直线$l$的距离相等（$F\notin l$），则$P$的轨迹为抛物线；
当$F\in l$时，$P$的轨迹为过$F$且垂直于$l$的直线。

2. 抛物线标准方程

（$p>0$）

方程	$y^2=2px$	$y^2=-2px$	$x^2=2py$	$x^2=-2py$
焦点坐标	$(\frac{p}{2},0)$	$(-\frac{p}{2},0)$	$(0,\frac{p}{2})$	$(0,-\frac{p}{2})$
准线方程	$x=-\frac{p}{2}$	$x=\frac{p}{2}$	$y=-\frac{p}{2}$	$y=\frac{p}{2}$

:::note 焦点坐标中非零值是一次项系数的$\frac{1}{4}$；准线方程中的数值是一次项系数的$-\frac{1}{4}$；

求焦点坐标或准线方程，需先把抛物线方程化为标准式，谁是一次项，焦点在谁上。 :::

3. 抛物线焦点弦的性质

（以$y^2=2px\ (p>0)$为例）

① $|PF|=x_0+\frac{p}{2}$，焦半径的范围$[\frac{p}{2},+\infty)$。

② $|AF|=\frac{p}{1-\cos\theta},\ |BF|=\frac{p}{1+\cos\theta}$，$|AB|=x_1+x_2+p=\frac{2p}{\sin^2\theta}$； $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$；通径长为$2p$。

③ $S_{\triangle AOB}=\frac{p^2}{2\sin\theta}$。

④ $x_1x_2=\frac{p^2}{4},\ y_1y_2=-p^2$。

⑤ $\angle A'FB'=\frac{\pi}{2}$（$A',B'$为$A,B$在准线上的投影）。

⑥ 以$AB$为直径的圆与准线相切；

以$A'B'$为直径的圆与直线$AB$相切；

以$AF$为直径的圆与$y$轴相切。

⑦ $A',O,B$三点共线，$A,O,B'$三点共线；

延长$AO$交准线于点$B'$，则$BB'\parallel x$轴。

⑧ $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{3}{4}p^2$。

⑨ 相互垂直的焦点弦$AB,CD$：

$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{1}{2p}$；
$|AB|+|CD|$的最小值为$8p$；
$|AB|\cdot|CD|$的最小值为$16p^2$；
点$M,N$分别为$AB,CD$的中点，则$MN$过定点$(\frac{3p}{2},0)$；$S_{\triangle FMN}$的最小值为$p^2$。

⑩ 焦点弦$AB$的中垂线交$x$轴于$Q$，则$|FQ|=\frac{1}{2}|AB|$。

⑪ 由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。

4. 直线与抛物线

① 直线与抛物线$y^2=2px(p>0)$交于$A,B$，若$OA\perp OB$，则直线过定点$(2p,0)$。

② 抛物线一弦的中点为$P(x_0,y_0)$，则$k_{\text{弦}}=\frac{p}{y_0}$。

③ 已知抛物线$C:y^2=2px(p>0)$，点$P(x_0,y_0)$：

若$P\in C$，则$P$处的切线方程为：$y_0y=p(x+x_0)$；
若$P\notin C$，则过$P$引抛物线的两条切线，切点弦所在直线方程为：$y_0y=p(x+x_0)$。

④ 已知抛物线$y^2=2px(p>0)$上两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$AB$方程为：$(y_1+y_2)y-y_1y_2=2px$。

⑤ 抛物线$x^2=2py(p>0)$，$l$为准线，$F$为焦点：

过准线上一点$P$作抛物线的两条切线，切点为$A,B$，则$AB$过$F$；
$AB$过$F$交抛物线于$A,B$，分别过$A,B$作抛物线的切线交于$P$，则$P$在准线上；
$AP\perp BP$；
$PF\perp AB$；
点$P$的坐标为$(\frac{x_A+x_B}{2},-\frac{p}{2})$。

⑥ 直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切或相交（相交时为平行于对称轴的直线）。

⑦ 过抛物线$C:y^2=2px(p>0)$外一点$P(x_0,y_0)$作$C$的两条切线，则切点弦所在直线方程为：$y_0y=p(x+x_0)$。

⑧ $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是$x^2=2py(p>0)$上任意两点，则$AB$方程为：$(x_1+x_2)x-x_1x_2=2py$。

⑨ 点$P(x_0,y_0)$是抛物线上一定点，$P_1,P_2$是抛物线上异于$P$的两动点，直线$PP_1,PP_2$的斜率存在且分别为$k_1,k_2$：

若$k_1+k_2=0\ (x_0\neq0)$，则直线$P_1P_2$的斜率为$-\frac{p}{y_0}$；
若$k_1+k_2=\lambda(\lambda\neq0)$，则直线$P_1P_2$过定点；
若$k_1k_2=\lambda(\lambda\neq0)$，则直线$P_1P_2$过定点。

5. 阿基米德三角形

$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是$y^2=2px(p>0)$上两点，以$A,B$为切点的两切线交于点$P(x_0,y_0)$，$M$为线段$AB$的中点，$Q$为线段$PM$的中点，$F$为抛物线的焦点：

① 点$P$坐标为$(\frac{y_1y_2}{2p},\frac{y_1+y_2}{2})$；
② $PM\parallel x$轴，即阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴；
③ $Q$在抛物线上，过$Q$作抛物线的切线，则该切线与$AB$平行；
④ $S_{\triangle PAB}=\frac{|y_1-y_2|^3}{8p}$；
⑤ $\angle PFA=\angle PFB$；
⑥ $|PF|^2=|AF|\cdot|BF|$。

六、求轨迹方程

1. 直接法

步骤：建系设点 → 找关系列方程 → 化简整理 → 验证。

2. 定义法

适用于可判断出曲线类型的题；
一定要用定义作出判断，一定要用文字下结论；
双曲线要注意是一支还是两支。

易错示例：

① 平面上动点$P$到$F(4,0)$的距离比它到$y$轴的距离大4，则$P$的轨迹方程为：$y^2=16x\ (x\ge0)$ 或 $y=0\ (x<0)$；
② 平面上动点$P$到$F(3,0)$的距离比它到$y$轴的距离大3，则$P$的轨迹方程为：$y^2=12(x-\frac{1}{2})$；
③ 平面上动点$P$到$F(5,0)$的距离比它到$y$轴的距离大5，则$P$的轨迹方程为：$y^2=20(x+\frac{1}{2})\ (x\ge0)$ 或 $y^2=-2(x-\frac{9}{2})\ (x<0)$。

3. 相关点代入法

适用于所求点随另一个点的变动而变动，而另一个点在已知曲线上。

4. 消参法

七、圆锥与圆锥曲线

平面去截圆锥：

当截面平行于圆锥底面时，截面曲线为圆；
当截面斜交圆锥时，截面曲线为椭圆；
当截面平行于圆锥的轴时，截面曲线为双曲线的一支；
当截面平行于圆锥母线时，截面曲线为抛物线。

高中数学_导数知识点留档

Thu, 16 Apr 2026 00:00:00 GMT

高中数学导数知识点留档

首先感谢我的数学老师

一、变化率与导数

平均变化率与瞬时变化率的关系：平均变化率的极限是瞬时变化率
割线与切线的关系：割线的极限是切线
“直线与曲线只有一个交点”是“直线是曲线的切线”的：既不充分也不必要条件
$y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数： $$ f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
$\Delta x$ 的范围为：$\boldsymbol{\Delta x \neq 0}$
导数的几何意义：这一点的导数值是这点切线的斜率
$y=|x|$ 在 $x=0$ 处的导数：不存在 $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x-0}{x}=1; \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x}=-1 $$
某点有导数必有切线，有切线未必有导数（$\boldsymbol{\checkmark}$）
$f'(x_1)>f'(x_2)$ 反映曲线在 $x=x_1$ 处比 $x=x_2$ 处的瞬时变化快（$\boldsymbol{\times}$）（需要同号才能比，变化速率看绝对值）
$f(x)=x^3$ 在原点处的切线方程为：$\boldsymbol{y=0}$
“在”与“过”求切线方程的步骤：
1. 分清“在”与“过”：“在”处是切点，“过”时没切点
2. 假设切点，列切线方程，验证（切点在曲线、过点在切线上）

二、导数的运算

1. 基本求导公式

$$ (c)'={0}\quad (x^\alpha)'={\alpha x^{\alpha-1}}\quad (\sin x)'={\cos x}\quad (\cos x)'={-\sin x} $$ $$ (a^x)'={a^x \ln a}\quad (e^x)'={e^x}\quad (\log_a x)'={\frac{1}{x \ln a}}\quad (\ln x)'={\frac{1}{x}} $$ $$ (x \ln x)'={\ln x + 1}\quad (\frac{1}{x})'={-\frac{1}{x^2}}\quad (\sqrt{x})'={\frac{1}{2\sqrt{x}}} $$ $$ (e^x f(x))'={e^x(f(x)+f'(x))} \quad \left[\frac{f(x)}{e^x}\right]'={\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}} $$

2. 四则运算法则

$$ (f \pm g)' = {f' \pm g'}\quad (f \cdot g)' = {f'g + fg'} $$ $$ \left(\frac{f}{g}\right)' = {\frac{f'g - fg'}{g^2}} $$ $$ [f(g(x))]' = {f'(g(x)) \cdot g'(x)}\quad (f \cdot g \cdot h)' = {f'gh + fg'h + fgh'} $$

3. 推导函数的导数

① $f(x)=x^3$ ② $f(x)=\sqrt{x}$ ③ $f \cdot g$（见下面推导）

① $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x[(x+\Delta x)^2+(x+\Delta x)x+x^2]}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2) = 3x^2$
② $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
③ 乘积求导法则推导：

$$ \begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[f(x+\Delta x) \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right] + \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x) \cdot \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right] \ &= \lim_{\Delta x \to 0} f(x+\Delta x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} + g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \ &= f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) \end{align*} $$

4. 隐函数求导

例：$x^2+4y^2-4=0$，求导： $$ 2x + 8y \cdot y' = 0 \implies x + 4y \cdot y' = 0 $$ （高中阶段把$y$当作$y(x)$处理，然后对$x$求导即可）

三、应用

求单调性的步骤：①求定义域 ②求导 ③判断 $f'(x)>0,f'(x)<0$ ④下结论
$f'(x)=0$ 在某区间上恒成立，则 $f(x)$ 在此区间上为常函数
单调性与导数的转化：
- 已知 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单增，可转化为 $\boldsymbol{f'(x) \geq 0}$ 在 $D$ 上恒成立且 $f'(x)$ 不恒为0
- 已知 $f(x)$ 的增区间为 $D$，可转化为 $\boldsymbol{f'(x)>0}$ 的解集为 $D$
- 已知 $f(x)$ 在区间 $D$ 上存在增区间，可转化为 $\boldsymbol{f'(x)>0}$ 在此区间上有解
导数 $f'(x)$ 的图象反映 $f(x)$ 的性质：导函数正负反映原函数增减，导函数增减反映原函数凹凸（$f''(x) \geq 0$ 下凸，$f''(x) \leq 0$ 上凸）
$f(x)$ 在区间 $D$ 上是凸函数 $\iff f''(x) \leq 0 \iff f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \geq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
极值与最值的区别：极值是局部概念，最值是整体概念；最值来自于极值或端点
说“点”不是“点”：极值点、零点（指函数性质，非几何点）
极小值点的定义： ① $f(x)$ 在 $x=a$ 的函数值 $f(a)$ 比 $a$ 附近的函数值都小； ② $f'(a)=0$，且在 $x=a$ 的左侧 $f'(x)<0$，右侧 $f'(x)>0$，则 $a$ 叫极小值点
求极值的步骤：①求定义域 ②求导 ③求单调性 ④求极值
最大值的定义：① $\forall x \in$ 定义域 $I$，都有 $f(x) \leq M$；② $\exists x_0 \in I$，使得 $f(x_0)=M$
求最值的步骤：①求极值 ②求端点函数值 ③比较下结论
$f(x)$ 奇偶性与 $f'(x)$ 奇偶性的关系：
1. 奇函数的导数是偶函数，反之不一定（有常数项）
2. 偶函数的导数是奇函数，反之也成立
$f(x)$ 周期与 $f'(x)$ 周期的关系：$f(x)$ 周期与 $f'(x)$ 周期相同
已知 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，求参数的方法：① $f'(x_0)=0$ ②验证

四、恒成立与能成立

1. 基础结论

$f(x)>a$ 恒成立 $\iff {a < f(x)_{\min}}$
$a < f(x)$ 能成立 $\iff {a < f(x)_{\max}}$

:::note 从参数开始读
恒成立：大大小小
能成立：大小小大 :::
$f(x)>g(x)$ 恒成立 $\iff {[f(x)-g(x)]_{\min} > 0}$
$\forall x_1,x_2$，有 $f(x_1)>g(x_2) \iff {f(x){\min} > g(x){\max}}$
$\exists x_1,x_2$，有 $f(x_1)>g(x_2) \iff {f(x){\max} > g(x){\min}}$
$\forall x_1, \exists x_2$，有 $f(x_1)>g(x_2) \iff {f(x){\min} > g(x){\min}}$

:::note 双变量不等式
一动一静
各个击破
找最值关系 :::
$a=f(x)$ 成立 $\iff {a \in f(x) \text{的值域}}$
$\forall x_1, \exists x_2$，有 $f(x_1)=g(x_2) \iff {f(x) \text{值域} \subseteq g(x) \text{值域}}$
$\forall x_1,x_2$，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<C$ 成立 $\iff {f(x){\max}-f(x){\min} < C}$

2. 对称性与恒成立

$f(x)$ 的图象关于 $x=a$ 对称 $\iff f(x)$ 的图象关于 $(a,0)$ 对称
$f(x)$ 的图象关于 $(a,b)$ 对称 $\iff f(x)$ 的图象关于 $x=a$ 对称
$f(x)$ 的图象关于 $x=a$ 对称 $\iff f(x)$ 的图象关于 $(a,t)$ 对称

五、图象

1. 常见函数的图象

2. 求极值点（第7页补充）

① $y=(x-1)e^x = \frac{(x-1)e^{x-1}}{e}$，极小值为 $0$（$y=x e^x$ 变型）
② $y=x e^{x+1} = x e^x \cdot e$，极小值为 $-1$（$y=x e^x$ 变型）
③ $y=\frac{e^x}{x-1} = \frac{e^{x-1}}{x-1} \cdot e$，极小值为 $2$（$y=\frac{e^x}{x}$ 变型）
④ $y=\frac{e^{x+1}}{x} = \frac{e^x}{x} \cdot e$，极小值为 $1$（$y=\frac{e^x}{x}$ 变型）
⑤ $y=x^2 \ln x = \frac{x^2 \ln x^2}{2}$，极小值为 $\frac{1}{\sqrt{e}}$（$y=x \ln x$ 变型）
⑥ $y=\frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x^2}{2x^2}$，极大值为 $\sqrt{e}$（$y=\frac{\ln x}{x}$ 变型）
⑦ $y=\frac{\ln x + 1}{x} = \frac{\ln (e x)}{e x} \cdot e$，极大值为 $1$（$y=\frac{\ln x}{x}$ 变型）
⑧ $y=\frac{\ln x - 1}{x} = \frac{\ln \frac{x}{e}}{\frac{x}{e}} \cdot \frac{1}{e}$，极大值为 $e^{2}$（$y=\frac{\ln x}{x}$ 变型）

3. 画函数大致图象的步骤

奇偶性 $\to$ 单调性 $\to$ 特殊点 $\to$ 极值点等

六、三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a \neq 0)$

$$ f'(x)=3ax^2+2bx+c, \quad \Delta=4b^2-12ac $$

$a>0$ 且 $\Delta>0$ 的大致图象
$a>0$ 且 $\Delta<0$ 的大致图象
零点个数判定（$a>0$ 且 $\Delta>0$）：
- 满足极大值×极小值>0时，$f(x)$ 只有一个零点
- 满足其中一个为0时，$f(x)$ 有两个零点
- 满足极大值×极小值<0时，$f(x)$ 有三个零点
函数的对称中心为 $\left(-\frac{b}{3a}, f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$，对称轴 $x=-\frac{b}{3a}$
根与系数的关系（韦达定理）： $$ x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} $$
过点 $P$ 作三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a>0)$ 图象的切线条数： $l$ 为 $y=f(x)$ 在其对称中心 $N$ 处的切线，曲线与切线将平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分：
- 当 $P$ 在 $N$ 或Ⅰ、Ⅲ区时，切线有 $\boldsymbol{1}$ 条
- 当 $P$ 在Ⅱ、Ⅳ区时，切线有 $\boldsymbol{3}$ 条
- 当 $P$ 在曲线或 $l$ 上（不含 $N$）时，切线有 $\boldsymbol{2}$ 条

七、构造函数常用技巧

$$ \begin{align*} &\text{\textcircled{1}} \ f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \quad \Leftrightarrow \quad [f(x)g(x)]' \ &\text{\textcircled{2}} \ f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \quad \Leftrightarrow \quad \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' \ &\text{\textcircled{3}} \ nf(x)+xf'(x) \quad \Leftrightarrow \quad [x^n f(x)]' \ &\text{\textcircled{4}} \ xf'(x)-nf(x) \quad \Leftrightarrow \quad \left[\frac{f(x)}{x^n}\right]' \ &\text{\textcircled{5}} \ \tan x \cdot f'(x)+f(x) = \frac{[\sin x \cdot f(x)]'}{\cos x} \ &\text{\textcircled{6}} \ \tan x \cdot f'(x)-f(x) = \frac{[\sin x \cdot f'(x)-\cos x \cdot f(x)]}{\cos x} = \left[\frac{f(x)}{\sin x}\right]' \frac{1}{\cos x} \ &\text{\textcircled{7}} \ f'(x)-\tan x \cdot f(x) = \left[\frac{f(x)}{\sin x}\right]' \sin x = \frac{[\cos x \cdot f'(x)-\sin x \cdot f(x)]}{\cos x} = \left[f(x)\cos x\right]' \frac{1}{\cos x} \ &\text{\textcircled{8}} \ f'(x)+\tan x \cdot f(x) = \frac{[\cos x \cdot f'(x)+\sin x \cdot f(x)]}{\cos x} = \left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]' \frac{1}{\cos x} \end{align*} $$

八、指对同构

1. 基础同构式

$$ \begin{align*} &\text{\textcircled{1}} \ x e^x = e^{x+\ln x} \ &\text{\textcircled{2}} \ \frac{e^x}{x} = e^{x-\ln x} \ &\text{\textcircled{3}} \ x+\ln x = \ln(x e^x) \ &\text{\textcircled{4}} \ x-\ln x = \ln\frac{e^x}{x} \end{align*} $$

2. 常见同构变形

① $a e^a \leq b \ln b$：令 $f(x)=x e^x$ 或 $x \ln x$ 或 $\ln x + x$
② $\frac{e^a}{a} < \frac{b}{\ln b}$：令 $f(x)=\frac{e^x}{x}$ 或 $\frac{x}{\ln x}$ 或 $x-\ln x$
③ $e^a - a \geq b - \ln b$：令 $f(x)=e^x - x$ 或 $x - \ln x$
④ $a e^{ax} > \ln x$：令 $f(x)=x e^x$，$ax \cdot e^{ax} > x \ln x$
⑤ $e^x > a \ln(ax-a)-a$：令 $f(x)=e^x+x$，$\frac{e^x}{a} > \ln a + \ln(x-1)-1 \implies e^{x-\ln a} + x - \ln a > \ln(x-1)+x+1$

九、常用不等式

1. 基础不等式

① $e^x \geq x+1 > x > x-1 \geq \ln x$
② $x \in (0,\frac{\pi}{2})$：$\sin x < x < \tan x$
③ $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} > \frac{a+b}{2} > \frac{b-a}{\ln b - \ln a} (\text{对数均值不等式}) > \sqrt{ab} > \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ (b>a>0)$
证明：令$\frac{b}{a}=x$，然后构造即可
④ $e^x \geq e x$，$\ln x \leq \frac{1}{e}x$

2. 泰勒展开式

$$ f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \quad (\text{余项}) $$

$x_0=0$ 时，麦克劳林展开式：

$$ \begin{align*} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \ \ln(1+x) &= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) \ \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2k}) \ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k}) \ \frac{1}{1+x} &= 1-x+x^2-\dots+(-1)^{n-1}x^n \end{align*} $$

3. 切线放缩

以核心不等式 $\boldsymbol{e^x \geq 1+x}$ 为根，完整推导链如下：

一、核心母不等式

$$ \boldsymbol{e^x \geq 1+x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=0 \text{ 时成立}) $$

二、第一分支：$e^x$ 衍生不等式

对母式做变量替换 $x \to x-1$： $$ e^{x-1} \geq x \implies \boldsymbol{e^x \geq ex} \quad (\text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立}) $$
对 $e^x \geq ex$ 做变量替换 $x \to \ln x$（$x>0$）： $$ x \geq e\ln x \implies \boldsymbol{\ln x \leq \frac{1}{e}x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=e \text{ 时成立}) $$
对 $\ln x \leq \frac{1}{e}x$ 做变量替换 $x \to \frac{1}{x}$（$x>0$）： $$ -\ln x \leq \frac{1}{ex} \implies \boldsymbol{-\frac{1}{e}x \leq \ln x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=\frac{1}{e} \text{ 时成立}) $$
对母式做变量替换 $x \to -x$（$x>1$）： $$ e^{-x} \geq 1-x \implies \boldsymbol{e^x \geq \frac{1}{1-x} \ (x>1)} $$

三、第二分支：$\ln x$ 衍生不等式

对母式做变量替换 $x \to \ln x$（$x>0$）： $$ x \geq 1+\ln x \implies \boldsymbol{\ln x \leq x-1} \quad (\text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立}) $$
对母式做变量替换 $x \to \ln(1+x)$（$x>-1$）： $$ 1+x \geq 1+\ln(1+x) \implies \boldsymbol{\ln(1+x) \leq x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=0 \text{ 时成立}) $$
对 $\ln x \leq x-1$ 做变量替换 $x \to \frac{1}{x}$（$x>0$）： $$ -\ln x \leq \frac{1}{x}-1 \implies \boldsymbol{\ln x \geq 1-\frac{1}{x}} \quad (\text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立}) $$
联立 $\ln x \leq x-1$ 与 $\ln x \geq 1-\frac{1}{x}$，得到核心双向不等式： $$ \boldsymbol{1-\frac{1}{x} \leq \ln x \leq x-1} \quad (x>0, \text{等号当且仅当 } x=1 \text{ 时成立}) $$
对 $1-\frac{1}{x} \leq \ln x \leq x-1$ 做变量替换 $x \to x+1$（$x>-1$）： $$ \boldsymbol{\frac{x}{x+1} \leq \ln(1+x) \leq x} \quad (\text{等号当且仅当 } x=0 \text{ 时成立}) $$

                e^x ≥ 1+x (核心)
                /       |       \
               /        |        \
e^x ≥ 1/(1-x)(x>1)  ln(1+x)≤x  ln x ≤ x-1
      |              |              |
      |              ↓x+1→x         ↓1/x→x
      |            ln x ≤ x-1  ln x ≥ 1-1/x
      |              |              |
      ↓x-1→x         └──────────────┘
    e^x ≥ ex                     1-1/x ≤ ln x ≤ x-1
      |                                  |
      ↓ln x→x                            ↓x+1→x
   ln x ≤ (1/e)x                   x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x
      |
      ↓1/x→x
  - (1/e)x ≤ ln x

十、隐零点

超越方程的两种处理方式：

观察出根，搭配单调性定解
用零点存在定理确定根的存在，但无法显性表达，采用设而不求的策略

步骤

1° 利用零点存在定理判定其零点的存在性，并结合函数的单调性确定零点的范围
2° 以零点为分界，说明 $f'(x)$ 的正负，判断 $f(x)$ 的单调性
3° 将零点方程适当变形，代入需要式子化简求解

十一、极值点偏移

方法

移项（两极值点之积、之和相关的不等式问题，从结论出发，反向分析）
换元（常用比值、差值换元）
$\rightarrow$ 构造函数

十二、恒成立与能成立（补充）

结论

① 二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c<0\ (a>0)$ 在 $[m,n]$ 上恒成立，则 $\begin{cases} f(m)<0 \ f(n)<0 \end{cases}$
② 一次函数 $f(x)=kx+b>0$ 在 $[m,n]$ 上恒成立，则 $\begin{cases} f(m)>0 \ f(n)>0 \end{cases}$；
在 $[m,+\infty)$ 上恒成立，则 $\begin{cases} k>0 \ f(m)>0 \end{cases}$
优先考虑参变分离
直接法

十三、不等式证明

作差构造法
双函数构造法（直接比较复杂或无从下手时用，本质是中间变量法，慎用！）
放缩法

十四、求单调性

求定义域
求导化简（常见通分、分解因式）
含参时，从“恒正恒负”入手分类讨论

高中数学_成对数据统计分析知识点留档

Thu, 16 Apr 2026 00:00:00 GMT

高中数学成对数据统计分析知识点留档

首先感谢我的数学老师

一、两个变量的相关关系

1. 变量关系分类

根据两个变量之间的关系，可分为：

函数关系
相关关系
不相关

根据两个变量的变化趋势，可分为：

正相关
负相关

2. 核心概念

相关关系：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个精确地决定另一个的程度。
线性相关：两个变量的取值呈正相关或负相关，且散点落在一条直线附近。
非线性相关（曲线相关）：两个变量具有相关性，但不是线性相关。

3. 线性相关判断方法

散点图
样本相关系数 $r$

4. 协方差公式

$$ L_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) $$

作用：对“中心化”的数据取平均值
符号意义：$L_{xy}>0$ 正相关；$L_{xy}<0$ 负相关

5. 样本相关系数

通过对样本数据的中心化、标准化，得到样本相关系数 $r$： $$ r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2 - n\bar{y}^2}} $$ （会推导公式的变形）

取值范围：$[-1,1]$
$r=0$：成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系
$|r|$ 越接近 $1$：样本数据的线性相关程度越强
$r>0$：成对样本数据正相关
$|r|>0.75$时可认为相关程度强

6.样本相关系数 $r$ 推导

标准化变换

对数据进行中心化、标准化处理： $$ x_i' = \frac{x_i - \bar{x}}{s_x}, \quad y_i' = \frac{y_i - \bar{y}}{s_y} $$ 其中样本标准差： $$ s_x = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}, \quad s_y = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2} $$ 构造向量： $$ \vec{\alpha} = (x_1', x_2', \dots, x_n'), \quad \vec{\beta} = (y_1', y_2', \dots, y_n') $$

向量内积与夹角

向量内积公式： $$ \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}| |\vec{\beta}| \cos\theta $$

计算向量模长： $$ |\vec{\alpha}|^2 = \sum_{i=1}^n x_i'^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})^2}{s_x^2} = \frac{n s_x^2}{s_x^2} = n \implies |\vec{\alpha}| = \sqrt{n} $$ 同理 $ |\vec{\beta}| = \sqrt{n} $。
计算内积： $$ \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \sum_{i=1}^n x_i' y_i' = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{s_x s_y} $$

相关系数的几何意义

样本相关系数定义： $$ r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{s_x s_y} $$ 代入内积公式： $$ r = \frac{1}{n} \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \frac{1}{n} |\vec{\alpha}| |\vec{\beta}| \cos\theta = \cos\theta $$ 因此 $ r = \cos\theta \in [-1,1] $。

二、经验回归方程

1. 最小二乘法思想

从整体上看，各点与直线的距离最小，该方法叫最小二乘法。

2. 经验回归直线方程

经验回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$ 中： $$ \hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2} $$ $$ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x} $$

3. 核心性质

经验回归直线方程一定过点 样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$
$\hat{b}$ 与 $r$ 的正负相关性：$\hat{b}>0, r>0$ 正相关；$\hat{b}<0, r<0$ 负相关
当 $x$ 增大一个单位时，$\hat{y}$ 平均增大 $\hat{b}$ 个单位

4. 观测值与预测值

观测值：通过观测得到的数据 $y_i$
预测值：通过经验回归方程得到的 $\hat{y}_i$
残差：$e_i = y_i - \hat{y}_i$

:::note 记忆法：关羽（观预） :::

5. 残差图

绘制方法：横坐标为数据，纵坐标为残差
拟合效果好的特征：残差均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内

6. 非线性回归方程

以 $y = ce^{gx}$ 为例，通过换元将其转化为线性回归： $$ \ln y = \ln c + gx $$

7. 决定系数

$$ R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2} $$

$R^2$ 越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好

8. 拟合效果判断方法

一元线性回归模型：相关系数 $r$、决定系数 $R^2$、残差图
非线性回归模型：决定系数 $R^2$、残差图

9.回归系数 $ \hat{b}, \hat{a} $ 的推导

残差平方和定义

设经验回归方程为 $ \hat{y} = bx + a $，残差平方和： $$ Q(a,b) = \sum_{i=1}^n (y_i - bx_i - a)^2 $$

配方变形

利用 $ \bar{y} = b\bar{x} + a $，对 $ y_i - bx_i - a $ 拆分： $$ \begin{align*} y_i - bx_i - a &= (y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x}) + (\bar{y} - b\bar{x}) - a \ &= \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right] + \left[(\bar{y} - b\bar{x}) - a\right] \end{align*} $$ 代入 $ Q(a,b) $ 展开： $$ \begin{align*} Q(a,b) &= \sum_{i=1}^n \left{ \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right] + \left[(\bar{y} - b\bar{x}) - a\right] \right}^2 \ &= \sum_{i=1}^n \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right]^2 + 2\left[(\bar{y} - b\bar{x}) - a\right] \sum_{i=1}^n \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right] \ &\quad + n \left[(\bar{y} - b\bar{x}) - a\right]^2 \end{align*} $$

交叉项化简

由 $ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0 $，$ \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}) = 0 $，得： $$ \sum_{i=1}^n \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right] = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}) - b\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0 $$ 因此交叉项为0，残差平方和简化为： $$ Q(a,b) = \sum_{i=1}^n \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right]^2 + n \left[(\bar{y} - b\bar{x}) - a\right]^2 $$

求最小值

第二项 $ n \left[(\bar{y} - b\bar{x}) - a\right]^2 \geq 0 $，当且仅当 $ a = \bar{y} - b\bar{x} $ 时取最小值0，因此截距：

$$ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x} $$

此时 $ Q(a,b) $ 仅与 $ b $ 有关，展开第一项：

$$ \begin{align*} Q(b) &= \sum_{i=1}^n \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right]^2 \ &= b^2 \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 - 2b \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) + \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 \end{align*} $$ 这是关于 $ b $ 的二次函数，开口向上，最小值在顶点处取得： $$ \hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} $$

公式变形（展开验证）

展开分子 $ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $： $$ \begin{align*} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) &= \sum_{i=1}^n x_i y_i - \bar{x}\sum_{i=1}^n y_i - \bar{y}\sum_{i=1}^n x_i + n\bar{x}\bar{y} \ &= \sum_{i=1}^n x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} \end{align*} $$ 同理分母 $ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2 $，因此： $$ \hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2} $$

三、独立性检验

1. 分类变量

用以区别不同的现象或类别的随机变量。

2. 2×2列联表

给出了成对分类变量（用特殊随机变量区别不同现象与性质）数据的交叉分类频数：

$X$ \ $Y$	$Y=0$	$Y=1$	合计
$X=0$	$a$	$b$	$a+b$
$X=1$	$c$	$d$	$c+d$
合计	$a+c$	$b+d$	$n=a+b+c+d$

3. 粗略判断 $X$ 和 $Y$ 是否有差异的方法

条件概率、等高堆积条形图

4. 独立性检验步骤

① 提出假设

零假设（原假设）$H_0$：$P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)$，即假设 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

构造随机变量（卡方统计量）： $$ \chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $$

$\chi^2$ 较大：说明 $H_0$ 不成立
$\chi^2$ 较小：说明 $H_0$ 成立

② 临界值与检验规则

对任意小概率值 $\alpha$，找到临界值 $\chi_\alpha$，满足 $P(\chi^2 \geq \chi_\alpha) = \alpha$：

$\alpha$ 越小，$\chi_\alpha$ 越大
$\alpha$ 充分小时，${\chi^2 \geq \chi_\alpha}$ 是不大可能发生的，若发生则可推断 $H_0$ 不成立（犯错概率不超过 $\alpha$）

检验规则：

当 $\chi^2 \geq \chi_\alpha$ 时，推断 $H_0$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，犯错概率不超过 $\alpha$
当 $\chi^2 < \chi_\alpha$ 时，没有充分证据推断 $H_0$ 不成立，可认为 $X$ 和 $Y$ 独立

③ 应用环节

提出零假设 $H_0$：$X$ 与 $Y$ 相互独立
整理出 $2×2$ 列联表，计算 $\chi^2$，并与临界值 $\chi_\alpha$ 比较
推断结论
在 $X$ 和 $Y$ 不独立的情况下，通过比较相应的频率，分析 $X$ 和 $Y$ 间的影响规律

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Thu, 16 Apr 2026 00:00:00 GMT

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一、随机事件的概率

1. 基本概念

样本点：随机试验的每个可能的基本结果
样本空间：全体样本点的集合
写出样本空间的步骤： 1° 设事件，数字化
2° 列出所有样本点（列举、列表、树状图，也可由排列组合算出）
事件分类：
- 必然事件：$P=1$
- 不可能事件：$P=0$
- 随机事件
频数、频率、概率的关系： $\text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{总数}}$，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值（频率的稳定性）
基本事件：只包含一个样本点的事件
随机试验满足：
1. 可重复
2. 结果均可知
3. 恰好出现一种结果

2. 事件的关系与运算

关系/运算	定义	符号表示
包含关系	$A$发生则$B$一定发生	$A \subseteq B$
并（和）事件	$A$、$B$至少有一个发生	$A \cup B$（$A+B$）
交（积）事件	$A$、$B$同时发生	$A \cap B$（$AB$）
互斥事件	$A$、$B$不能同时发生	$A \cap B = \varnothing$
对立事件	$A$、$B$在任何一次试验中有且仅有一个发生	$A \cap B = \varnothing$，$A \cup B = \Omega$

3. 核心概率公式

若$A$与$B$互斥，则： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
若$A$与$B$对立，则： $$P(A) + P(B) = 1$$
若$A,B$是同一个随机试验中的两个事件，则： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
若$A \subseteq B$，则$P(A) \leq P(B)$（概率的单调性）证明：$A \subseteq B \Rightarrow n(A) \leq n(B) \Rightarrow P(A) \leq P(B)$

二、古典概型

古典概型的特点：有限性、等可能性
计算公式： $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$
常用求解方法：列举法、排列组合法
用古典概型求概率的步骤： 1° 设事件
2° 列举事件$A$和样本空间$\Omega$
3° 说明为古典概型
4° 计算
5° 作答

三、事件的相互独立性

$A$与$B$独立的定义：$A$是否发生对$B$的发生的概率没有影响，即 $$P(AB) = P(A)P(B)$$
若$A,B$独立，则$A$与$\overline{B}$、$\overline{A}$与$B$、$\overline{A}$与$\overline{B}$均独立

:::note $\because A = AB \cup A\overline{B}$，且$AB$与$A\overline{B}$互斥 $\therefore P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$ $\because A,B$独立，$\therefore P(AB)=P(A)P(B)$ $\therefore P(A) = P(A)P(B) + P(A\overline{B})$ $\Rightarrow P(A\overline{B}) = P(A)(1-P(B))$ $\Rightarrow P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B})$ $\therefore A$与$\overline{B}$独立 :::

判断$A,B$独立的常用方法：①常识 ②公式
典型例题：分别抛掷两枚均匀的硬币，设 $A=$“第1枚正面向上”，$B=$“第2枚正面向上”，$C=$“2枚向上的面相同”
则：
$$P(A)=\frac{1}{2},\ P(B)=\frac{1}{2},\ P(C)=\frac{1}{2}$$
$$P(AB)=\frac{1}{4},\ P(AC)=\frac{1}{4},\ P(BC)=\frac{1}{4}$$
$$P(ABC)=\frac{1}{4}$$
$P(B|A)=P(B)$是$A,B$独立的充要条件

四、条件概率

定义：设$A,B$为两个随机事件，$P(A)>0$，称
$$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$
为$A$发生条件下，$B$发生的条件概率
求条件概率的方法：公式法、缩小样本空间法
条件概率的性质：
- 若$B,C$互斥，则$P(B \cup C|A) = P(B|A) + P(C|A)$
- 若$B$与$\overline{B}$对立，则$P(\overline{B}|A) = 1-P(B|A)$
概率的乘法公式： $$P(AB) = P(A)P(B|A)$$
全概率公式： $$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)$$
贝叶斯公式： $$P(A_i|B) = \frac{P(A_iB)}{P(B)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B|A_j)}$$
三门问题：核心结论：换门中奖概率更高（换门中奖概率为$\frac{2}{3}$，不换为$\frac{1}{3}$）

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Thu, 16 Apr 2026 00:00:00 GMT

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分布列、均值、方差

一、分布列

1. 随机变量

对于随机试验的样本空间$\Omega$中的每个样本点$\omega$，都有唯一的实数$X(\omega)$与之对应，称$X$为随机变量。
注：
① 样本点-数量化：与数值有关的，直接对应；与数值没有直接关系的，赋值。
② 试验之前可列出所有值，但不能确定具体取值。

2. 离散型随机变量

随机变量取值为有限个或可以一一列举出来。

3. 求分布列的步骤

随机变量可能取值
每个取值的概率
列表

4. 分布列的性质

① $p_i\geq0$；② $\sum_{i}p_i=1$。

5. 均值（数学期望）

$E(X)=\sum_{i}x_ip_i$

6. 方差

$D(X)=\sum_{i}(x_i-E(X))^2p_i=E(X^2)-(E(X))^2$

:::note $$ \begin{aligned} D(X) &= E\left[(X-E(X))^2\right] \ &= E\left[X^2 - 2X\cdot E(X) + (E(X))^2\right] \ &= E(X^2) - E\big[2X\cdot E(X)\big] + E\big[(E(X))^2\big] \ &= E(X^2) - 2E(X)\cdot E(X) + (E(X))^2 \ &= E(X^2) - 2[E(X)]^2 + [E(X)]^2 \ &= E(X^2) - [E(X)]^2 \end{aligned} $$ :::

7. 期望与方差的运算性质

$E(aX+b)=aE(X)+b$；$D(aX+b)=a^2D(X)$

8. 伯努利试验

伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫伯努利试验。
$n$重伯努利实验：将一个伯努利试验独立地重复进行$n$次所组成的随机试验，叫$n$重伯努利实验。

二、常见分布列

1. 两点分布（0-1分布）

$X$	0	1
$P$	$1-p$	$p$

$E(X)=p$；$D(X)=p(1-p)$

2. 二项分布

① 在$n$重伯努利试验中，设每次试验中事件$A$发生的概率为$p$，$A$发生的次数为$X$，则$X$服从二项分布，记作$X\sim B(n,p)$。
② $P(X=k)=\mathrm{C}_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}$（$k=0,1,2,\dots,n$）
③ $E(X)=np$；$D(X)=np(1-p)$（会推导）
④ 图像（以$A$出现次数为横坐标，概率为纵坐标）规律：

当$p=0.5$时，图像对称；
当$p>0.5$时，图像右偏；
当$p<0.5$时，图像左偏；
$k$从$0$增到$n$，则$P(X=k)$先增后减。

:::note $$ \begin{align*} E(X) &= \sum_{k=0}^n k \cdot P(X=k) \ &= \sum_{k=0}^n k \cdot \mathrm{C}n^k p^k (1-p)^{n-k} \ &= \sum{k=1}^n k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k} \ &= \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k} \ &= np \sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)} \ &= np \sum_{m=0}^{n-1} \mathrm{C}_{n-1}^m p^m (1-p)^{(n-1)-m} \ &= np \cdot [p + (1-p)]^{n-1} \ &= np \end{align*}

\begin{align*} E(X^2) &= \sum_{k=0}^n k^2 \cdot \mathrm{C}n^k p^k (1-p)^{n-k} \ &= np \sum{m=0}^{n-1} (m+1) \mathrm{C}_{n-1}^m p^m (1-p)^{(n-1)-m} \ &= np \left[ (n-1)p + 1 \right] \ &= n(n-1)p^2 + np \ D(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \ &= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 \ &= np - np^2 \ &= np(1-p) \end{align*} $$ :::

3. 求最值：求$P(X=k)$的最大值的方法

作商法
不等式法： $\begin{cases}P(X=k)\geq P(X=k-1)\P(X=k)\geq P(X=k+1)\end{cases}$ 结论：$(n+1)p-1\leq k\leq (n+1)p$。

4. 超几何分布

① 一批产品共$N$件，其中$M$件次品，从$N$件中抽取$n$件，用$X$表示抽取的$n$件产品中的次品数，则$X$服从超几何分布。 ② $P(X=k)=\frac{\mathrm{C}{M}^{k}\mathrm{C}{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_{N}^{n}}$（$k=m,m+1,\dots,r$） ③ $E(X)=n\frac{M}{N}$；$D(X)=n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$

:::note $$ \begin{aligned} E(X) &=\sum_{k} k \cdot \frac{\mathrm{C}M^k \mathrm{C}{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}N^n} \ &=\frac{1}{\mathrm{C}N^n}\sum{k} k\mathrm{C}M^k \mathrm{C}{N-M}^{n-k} \ &=\frac{1}{\mathrm{C}N^n}\sum{k} M\mathrm{C}{M-1}^{k-1} \mathrm{C}{N-M}^{n-k} \ &=\frac{M}{\mathrm{C}N^n}\sum{k} \mathrm{C}{M-1}^{k-1} \mathrm{C}{N-M}^{n-k} \ &=\frac{M}{\mathrm{C}N^n}\sum{t} \mathrm{C}{M-1}^{t} \mathrm{C}_{N-M}^{(n-1)-t} \ &=\frac{M}{\mathrm{C}N^n}\mathrm{C}{N-1}^{n-1} \ &=\frac{M}{\dfrac{N!}{n!(N-n)!}}\cdot \dfrac{(N-1)!}{(n-1)!(N-n)!} \ &=\frac{M\cdot n!(N-n)!\cdot(N-1)!}{N!\cdot(n-1)!(N-n)!} \ &=\frac{Mn}{N} \end{aligned}

\begin{aligned} D(X) &= E(X^2)-[E(X)]^2 = E[X(X-1)+X]-\left(\frac{nM}{N}\right)^2 = E[X(X-1)]+E(X)-\left(\frac{nM}{N}\right)^2,\ E[X(X-1)] &=\sum_{k}k(k-1)\cdot\frac{\mathrm{C}M^k\mathrm{C}{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}N^n} =\frac{1}{\mathrm{C}N^n}\sum{k}k(k-1)\mathrm{C}M^k\mathrm{C}{N-M}^{n-k}\ &=\frac{1}{\mathrm{C}N^n}\sum{k}M(M-1)\mathrm{C}{M-2}^{k-2}\mathrm{C}{N-M}^{n-k} =\frac{M(M-1)}{\mathrm{C}N^n}\sum{k}\mathrm{C}{M-2}^{k-2}\mathrm{C}_{N-M}^{n-k}\ &=\frac{M(M-1)}{\mathrm{C}N^n}\mathrm{C}{N-2}^{n-2} =\frac{M(M-1)}{\mathrm{C}_N^n}\cdot\frac{(N-2)!}{(n-2)!(N-n)!}\ &=\frac{M(M-1)\cdot (N-2)! \cdot n!(N-n)!}{N!\cdot (n-2)!(N-n)!} =\frac{n(n-1)M(M-1)}{N(N-1)},\ D(X) &=\frac{n(n-1)M(M-1)}{N(N-1)}+\frac{nM}{N}-\frac{n^2M^2}{N^2}\ &=\frac{nM}{N}\left[\frac{(n-1)(M-1)}{N-1}+1-\frac{nM}{N}\right]\ &=\frac{nM}{N}\cdot\frac{N(n-1)(M-1)+N(N-1)-nM(N-1)}{N(N-1)}\ &=\frac{nM(N-M)}{N^2}\cdot\frac{N-n}{N-1} =\frac{nM}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}. \end{aligned} $$ :::

5. 超几何分布与二项分布的区分

原理：由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布；
抽样方式：放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布；
近似情况：对于不放回摸球，当$N$充分大、且$n$远小于$N$时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为独立，此时超几何分布可以用二项分布近似；
适用场景：当$n$较小时，用超几何分布处理；当$n$较大时，用二项分布近似。
近似二项分布的情况：
1. 频率替代概率
2. 总体未给出或总体很大
3. 事件独立且概率不变
对于同一个模型，两个分布的均值相等，但超几何分布的方差较小，说明这个分布中随机变量的取值更集中于均值附近。

6. 正态分布

① 若随机变量$X$的概率分布密度函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，则称$X$服从正态分布，记作$X\sim N(\mu,\sigma^2)$。
② 正态曲线的特点：
1° 曲线位于$x$轴上方，与$x$轴不相交；
2° 曲线是单峰的，关于$x=\mu$对称，最高点坐标为$(\mu,\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})$；
3° 曲线与$x$轴之间区域的面积为$1$；
4° $\sigma$越大，图象越“胖”；$\sigma$越小，图象越“瘦高”。
③ 概率公式：
$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)=0.6827$
$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)=0.9545$
$P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu+3\sigma)=0.9973$

随机抽样、数字特征

一、随机抽样

1. 统计学获取数据的途径

调查、试验、观察、查询

2. 调查方法

全面调查（普查）
- 普查所获数据更全面、系统，但费时费力、成本高
抽样调查
- 抽查获取信息不全面，但大量检验，尤其是破坏性试验，抽样更好

3. 常用的随机抽样方法

简单随机抽样，分层随机抽样

使用条件：总体是否由差异明显的几部分组成

4. 简单随机抽样的方法

抽签法：编号、制签、搅匀、抽签、取样
随机数法：编号、产生随机数、选号，选定样本

5. 不放回简单随机抽样的特征

有限性、逐一性、不放回性、等可能性

6. 分层随机抽样的考要点

分层、求比、求每层的样本空间、对每层进行简单随机抽样、定样

7. 分层随机抽样样本均值/方差公式

设第一层样本量为$m$，平均数为$\bar{x}$，方差为$s_1^2$；第二层样本量为$n$，平均数为$\bar{y}$，方差为$s_2^2$，样本总平均数为$\bar{w}$，则：

样本平均数： $$\bar{w} = \frac{m}{m+n}\bar{x} + \frac{n}{m+n}\bar{y}$$
样本方差： $$s^2 = \frac{m}{m+n}\left[s_1^2 + (\bar{x} - \bar{w})^2\right] + \frac{n}{m+n}\left[s_2^2 + (\bar{y} - \bar{w})^2\right]$$

:::note $$ \begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{m+n}\left[\sum_{i=1}^{m}(x_i - \bar{w})^2 + \sum_{j=1}^{n}(y_j - \bar{w})^2\right] \ &= \frac{1}{m+n}\left[\sum_{i=1}^{m}(x_i - \bar{x} + \bar{x} - \bar{w})^2 + \sum_{j=1}^{n}(y_j - \bar{y} + \bar{y} - \bar{w})^2\right] \ &= \frac{1}{m+n}\left[\sum_{i=1}^{m}(x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - \bar{w})\sum_{i=1}^{m}(x_i - \bar{x}) + \sum_{i=1}^{m}(\bar{x} - \bar{w})^2 + \sum_{j=1}^{n}(y_j - \bar{y})^2 + \sum_{j=1}^{n}(\bar{y} - \bar{w})^2\right] \ &= \frac{1}{m+n}\left[ms_1^2 + 2(\bar{x} - \bar{w})(m\bar{x} - m\bar{x}) + m(\bar{x} - \bar{w})^2 + ns_2^2 + \sum_{j=1}^{n}(\bar{y} - \bar{w})^2\right] \ &= \frac{1}{m+n}\left[ms_1^2 + m(\bar{x} - \bar{w})^2 + ns_2^2 + n(\bar{y} - \bar{w})^2\right] \ &= \frac{m}{m+n}\left[s_1^2 + (\bar{x} - \bar{w})^2\right] + \frac{n}{m+n}\left[s_2^2 + (\bar{y} - \bar{w})^2\right] \end{aligned} $$ :::

8. 任意随机抽样中个体被抽到的概率

$$\frac{n}{N}$$

二、数字特征

1. 画频率分布直方图的步骤

① 求极差 ② 定组距与组数 ③ 将数据分组 ④ 列频率分布表 ⑤ 画图

频率分布直方图的纵坐标为$\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$ 在图中，$\text{频率} = \text{组距} \times \frac{\text{频率}}{\text{组距}} = \text{小长方形的面积}$

2. 常用的统计图

条形图、折线图、扇形图、频率分布直方图、频数分布直方图

3. 第$p$百分位数的定义

它使得这组数据中至少有$p%$的数据小于或等于这个值，且至少有$(100-p)%$的数据大于或等于这个值。

4. 求$n$个数据的第$p$百分位数的步骤

① 从小到大排列原始数据
② 计算$i = n \times p%$
③ 若$i$不是整数，而大于$i$的比邻整数为$j$（向上取整），则$P$分位数为第$j$项数据；
若$i$是整数，则$P$分位数为第$i$项与第$i+1$项数据的平均数。

5. 中位数与四分位数

中位数相当于第50百分位数
四分位数分别是第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数
- 上四分位数是第75百分位数

:::warning 注意四分位数有$3$个 :::

6. 平均数、中位数、极端值、方差的性质

平均数反映数据集中趋势，一数据的改变会影响平均数吗？会
中位数受极端值影响吗？不受
一组数据如何求中位数？从小到大排序，奇数个，为正中间的数；偶数个，为中间两数的平均数
方差反映数据离散程度 $$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bar{x}^2$$

:::note $$ \begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) \ &= \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i + n\bar{x}^2\right) \ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bar{x}^2 \end{aligned} $$ :::

7. 平均数、中位数、众数的特点

在平均数、中位数、众数中，平均数、中位数是唯一的，众数一定是原数据中的数。
对数值型数据（如用水量、身高）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；
对分类型数据（如性别、校服规格）集中趋势的描述，可用众数。

8. 描述数据离散程度的统计量

方差、标准差、极差

9. 频率分布直方图中统计量求解

平均数：$\sum \text{组中值} \times \text{频率}$
第$p$百分位数：从左往右数，先数满格，不满的按比例补

:::note

计算目标累计频率：$0.01p$
从左往右累加频率，找到首次累计频率 ≥ $0.01p$ 的那一组，记为：
- 左端点：$L$
- 组距：$w$
- 本组频率：$f$
- 前几组累计频率：$F$
公式：

$$ \text{第}p\text{百分位数} = L + w \cdot \frac{0.01p - F}{f} $$ :::

中位数：第$50$百分位数
众数：最高一组的组中值（最高矩形底边中点横坐标）
方差

:::note $$ s^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2 f_i $$

其中：

$x_i$：各组组中值
$f_i$：各组频率
$\bar{x}$：上面算出的平均数

:::

:::note 一句话速记

众数：最高矩形中点
平均数：组中值×频率相加
百分位数：累计频率插值
方差：(组中值−均值)²×频率相加

:::

10. 频率分布直方图形态与平均数、中位数的关系

在三种频率分布图形形态中，平均数与中位数的大小关系：

对称形态：$\text{平均数} = \text{中位数}$
右偏形态：$\text{中位数} < \text{平均数}$
左偏形态：$\text{平均数} < \text{中位数}$

结论：和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边。

高中数学_计数原理知识点留档

Thu, 16 Apr 2026 00:00:00 GMT

高中数学计数原理知识点留档

首先感谢我的数学老师

一、计数原理（两个原理）

1. 两大核心原理

原理	关键词	核心要求	典型场景
分类加法	不重不漏	完成一件事，有多种类别，各类别方法数相加	选一人、A选B问题
分步乘法	步骤完整	完成一件事，需多个步骤，各步骤方法数相乘	排位置、配颜色

共同点：完成这件事

2. 经典题型与技巧

A选B问题：A选B，则有 $\boldsymbol{B^A}$ 种（谁占主动权，谁高高在上，上到指数）。
染色问题：方法为 分类中有分步、分步中有分类。
多面手问题：核心是 不重不漏地选一个标准分类/选不选多面手。
- 例题：7名学生（3人只会象棋，2人只会围棋，2人都会）。选1人参象棋，1人参围棋。
- 解：$C_3^1C_2^1 + C_2^1C_3^1 = 18$ 种。
错位排列问题：
- $n=2$，有 $\boldsymbol{1}$ 种；
- $n=3$，有 $\boldsymbol{2}$ 种；
- $n=4$，有 $\boldsymbol{9}$ 种。

:::note $n$个元素完全错放，种数$D_n$

$$ \begin{align*} D_n &= (n-1)\cdot(D_{n-1} + D_{n-2}) \ &= nD_{n-1} + (-1)^n \ &= n!,\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}\right) \end{align*} $$

:::

数字问题：注意 含不含0、重不重复。

二、排列与组合

1. 核心定义与区别

排列：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个，按一定顺序排成一列。
组合：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个，合成一组。
关键词：不同元素、$m \le n$。
区别：排列有序，组合无序。

2. 公式与性质

排列数公式

$$ A_n^m = n(n-1)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!} = nA_{n-1}^{m-1} = mA_{n-1}^{m-1} + A_{n-1}^m = C_n^m \cdot m! $$

组合数公式

$$ C_n^m = \frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m(m-1)\cdots 1} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n}{m}C_{n-1}^{m-1} = \frac{n(n-1)}{(m-2)(n-m)!}C_{n-2}^{m-2} $$

组合数性质

$$ \begin{align*} C_n^m &= C_n^{n-m} \ C_n^m + C_n^{m+1} &= C_{n+1}^{m+1} \ C_{m+n}^k &= C_n^0 C_m^k + C_n^1 C_m^{k-1} + \dots + C_n^k C_m^0 \ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n &= 2^n \ C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots &= C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = 2^{n-1} \ C_r^r + C_{r+1}^r + C_{r+2}^r + \dots + C_n^r &= C_{n+1}^{r+1} \end{align*} $$

阶乘

$$ 0! = 1, \quad 1! = 1, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6, \quad 4! = 24, \quad 5! = 120 $$

3. 常用推导公式

$$ \begin{align*} &\text{\textcircled{1}} \ 1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n\cdot n! = (n+1)! - 1 \ &\text{\textcircled{2}} \ \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{n-1}{n!} = 1 - \frac{1}{n!} \ \end{align*} $$

:::note $$ \begin{align*} \frac{n-1}{n!} = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \ n\cdot n! = (n+1)! - n! \end{align*} $$ :::

三、排列组合解题大招

1. 排队问题策略

特殊元素/位置：优先法
多排问题：单排法
相邻问题：捆绑法
不相邻问题：插空法
定序问题：除法或 空位法
至多/至少问题：间接法
受限排列：如“甲不在排头，乙不在排尾”，用 分类法 或 容斥法
圆排列：$n$ 个人围成一圈，有 $\boldsymbol{(n-1)!}$ 种
插空法应用：3男已排好，女插入其中，用 逐一插空法

2. 分组分配问题

平均分组 : 先分再除以 $n!$
部分平均 : 先分再除以 $m!n!$
非平均分组 : 直接分
分配问题 : 先分组，再分配
分配到人 : 分步分

3. 相同元素分配

隔板法：将 $n$ 个相同的小球放入 $m$ 个盒子里（$n>m$），每个盒子都有，有 $\boldsymbol{C_{n-1}^{m-1}}$ 种方法。

4. 三项展开式项数

$(a+b+c)^n$ 展开式有 $\boldsymbol{C_{n+2}^2}$ 项。
项是由 $a,b,c$ 组成的 $n$ 次项，即 $a^ib^jc^k$（$i+j+k=n$）。
求解时变为 $a^{i+1}b^{j+1}c^{k+1}$ ，类比小球结合隔板法求解。

四、二项式定理

1. 定理与通项

$$ (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^ka^{n-k}b^k + \dots + C_n^nb^n $$

通项公式（第 $k+1$ 项）：

$$ T_{k+1} = C_n^ka^{n-k}b^k $$

2. 常数项与项数

展开式中常数项：指数为0。
展开式中有理项：指数为整数。
三项展开求某项：若能配成完全平方则转化为二项问题；不能再考虑因式分解；否则看成两项用排列组合取。

3. 二项式系数与系数

区分概念：
- 二项式系数：$C_n^k$
- 系数：除了字母都是系数
最大值求法：
- 若 $n$ 为偶数，中间项 $C_n^{\frac{n}{2}}$ 最大；
- 若 $n$ 为奇数，中间两项 $C_n^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}}$ 最大。
- 技巧：设第 $k+1$ 项系数最大，则 $\begin{cases} \text{第} k+1 \text{项系数} \ge \text{第} k+ \text{项系数} \ \text{第} k+1 \text{项系数} \ge \text{第} k+2 \text{项系数} \end{cases}$（作差法）；还有一种作商，公式略。
系数和求法：
- 二项式系数和：$2^n$（赋值令 $a=b=1$）
- 各项系数和：令变量为1
- 奇数项/偶数项系数和：赋值 $x=1$ 和 $x=-1$ 相加减。

4. 应用

求近似值：底数分解（整数+小数） $\to$ 二项式展开 $\to$ 计算到某项对近似值精度无影响为止。
求余：底数分解为和除数有关式子 $\to$ 二项式展开（注意系数不为负）。
证明不等式：底数分解 $\to$ 二项式展开，放缩保留至少前几项（一般是最小值+1项，留项前后平分，优先给前面）。

例题1：组合数方程

已知 $\boldsymbol{C_{28}^x = C_{28}^{2x-8}}$，则 $x=$ ______

列方程

根据组合数性质：$\boldsymbol{C_n^m = C_n^{n-m}}$，方程等价于两种情况：

情况1：下标相等 $$ x = 2x - 8 $$ 解得：$x=8$
情况2：下标和等于上标 $$ x + (2x - 8) = 28 $$ 解得：$3x=36 \implies x=12$

定义域验证

组合数要求 $0 \le m \le n$，因此需满足：

$$ \begin{cases} 0 \le x \le 28 \ 0 \le 2x-8 \le 28 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \le x \le 28 \ 4 \le x \le 18 \end{cases} $$

$x=8$ 和 $x=12$ 均满足定义域。

最终答案
$\boldsymbol{x=8}$ 或 $\boldsymbol{x=12}$

例题2：排列数不等式

解不等式 $\boldsymbol{A_{9}^{x} > 6A_{9}^{x-2}}$

步骤1：确定定义域

排列数 $A_n^m$ 要求 $0 \le m \le n$，因此： $$ \begin{cases} 0 \le x \le 9 \ 0 \le x-2 \le 9 \end{cases} \implies \boldsymbol{2 < x \le 9} \quad (x \in \mathbb{N}_+) $$

步骤2：代入排列数公式化简求解

排列数公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$，代入不等式： $$ \frac{9!}{(9-x)!} > 6 \cdot \frac{9!}{(11-x)!} $$ 代公式化简得 $$ (11-x)(10-x) > 6 $$ 解得：$x < 8$ 或 $x > 13$

步骤3：结合定义域取交集

定义域为 $2 < x \le 9$ 且 $x \in \mathbb{N}_+$，因此：

$x < 8$ 且 $2 < x \le 9$，得 $x=3,4,5,6,7$ $x > 13$ 与 $x \le 9$ 无交集，舍去

最终答案
不等式的解集为 $\boldsymbol{{3,4,5,6,7}}$（或写作 $x=3,4,5,6,7$）

补充说明

组合数方程的核心是分类讨论，必须验证两种情况，同时检查定义域，避免增根。排列数不等式的关键是先定定义域，再化简，最后取交集，避免出现不符合排列数定义的解。

Georgette Me, Georgette You

Thu, 19 Mar 2026 00:00:00 GMT

Georgette Me, Georgette You

白銀(はくぎん)の糸(いと)を伝(つた)い

ha ku gi n no i to wo tsu ta i

想(おも)い手繰(たぐ)り寄(よ)せてた

o moi ta gu ri yo se te ta

その果(は)てで妊(みごも)る月(つき)

so no ha te de mi go mo ru tsu ki

抱(だ)きしめたなら

da ki shi me ta na ra

待(ま)っているの

ma tte i ru no ta i you ka ra

太陽(たいよう)から夜(よる)が堕(お)ちてくるのを

yo ru ga o chi te ku ru no wo

ねぇその果(は)てで満(み)たしてよ

nee so no ha te de mi ta shi te yo

届(とど)く気(き)がするの

to do ku ki ga su ru no

もつれたまま

mo tsu re ta ma ma

踊(おど)る Georgette Me,Georgette You まわる

o do ru georgette me georgette you ma wa ru

痛(いた)むほどに (ほら)

i ta mu ho do ni (ho ra)

煌(きら)めくドレスを纏(まと)いながら

ki ra me ku do re su wo ma to i na ga ra

everlastin’ ever...

darlin’ ever, ever...

締(し)め付(つ)けて again

shi me tsu ke te again

everlastin’ ever...

離(はな)れぬように

ha na re nu yo u ni

ever, ever, ever...

縛(しば)るものはなに？それは

shi ba ru mo no wa na ni so re wa

誰(だれ)かの遠(とお)い祈(いの)り

da re ka no too ii no ri

ああ最初(さいしょ)から知(し)っていたわ

aa sa i sho ka ra shi tte i ta wa

許(ゆる)されないこと

yu ru sa re na i ko to

愛(あい)せぬまま

a i se nu ma ma

踊(おど)る Georgette Me, Georgette You is that true?

o do ru georgette me georgette you is that true

あなたが触(ふ)れたわ

a na ta ga fu re ta wa

この傷口(きずぐち)に

ko no ki zu gu chi ni

もつれたまま踊(おど)る Georgette Me, Georgette You まわる

mo tsu re ta ma ma o do ru georgette me georgette you ma wa ru

このままこのままで

ko no ma ma ko no ma ma de

いさせて

i sa se te

愛(あい)せぬまま

a i se nu ma ma

踊(おど)る Georgette Me, Georgette You is that true?

o do ru georgette me georgette you is that true

痛(いた)みは光(ひかり)ね

i ta mi wa hi ka ri ne

煌(きら)めくドレスを纏(まと)いながら

ki ra me ku do re su wo ma to i na ga ra

everlastin’ ever...

darlin’ ever, ever...

締(し)め付(つ)けて again

shi me tsu ke te again

everlastin’ ever...

離(はな)れぬように

ha na re nu yo u ni

ever, ever, ever...

八芒星ダンス

Thu, 19 Mar 2026 00:00:00 GMT

八芒星ダンス

赤(あか)の象(ぞう) 獅子(しし) 熊(くま) go-go insane

a ka no zou shi shi ku ma go-go insane

クラッカー首謀者(しゅぼうしゃ)

cracker (ku ra kkaa) shu bou sha

welcome to the house of pain

夜(よる)はサーカスヴェールの道化(どうけ) 傍観(ぼうかん)してないで

yo ru wa circus (sa a ka su) veil (vee ru) no dou ke bou ka n shi te na i de

make it hot

アクロバティック・キスで運命(うんめい)の啓示(けいじ)に火(ひ)を点(つ)けて

acrobatics (a ku ro ba te (i kku)) ・ kiss (ki su) de u n mei no kei ji ni hi wo tsu ke te

無(な)い成(な)さない style 災(わざわ)いじゃ従(したが)わない

nai na sa nai style wa za wai ja shi ta ga wa na i

哀(あい) 嘲笑(あざわら)い

ai a za wa rai

yea’p, till i die yeah

buddy, alright?

yes ya gonna jump yes ya gonna jump

突(つ)き抜(ぬ)けてく

tsu ki nu ke te ku

let me be the one let me be the one

‘YES’ 八芒星(はちぼうせい)へ

‘YES’ ha chi bo u se i e

yes ya gonna jump yes ya gonna jump

笑(わら)い叫(さけ)ぶ

wa ra i sa ke bu

本当(ほんとう)の人生(じんせい)(life)なんざ忘(わす)れて

ho n tou no life nan za wa su re te

赤(あか)の象(ぞう) 獅子(しし) 熊(くま) go-go insane

a ka no zou shi shi ku ma go-go insane

クラッカー首謀者(しゅぼうしゃ)

cracker (ku ra kkaa) shu bou sha

welcome to the house of pain

あなた息(いき)切(き)らし

a na ta i ki ki ra shi

炎(ほのお)の中(なか)

ho no o no na ka

私(わたし)と泳(およ)いで so dream

wa ta shi to o yo i de so dream

[1-2, let's do it]

絵画的(かいがてき)ダンス

ka i ga te ki dan su

woo-la-la this the drama

セリフはいらない

se ri fu wa i ra na i

‘ruff’ もうもう

‘ruff’ mou mou

enuff, snuff, so nervous, just got to be tuff

僅(わず)かに透(す)かすかます

wa zu ka (ni) su ka su ka ma su

yea’p, bluff a buzz-buzz

tricky you puff..

yes ya gonna jump yes ya gonna jump

夢中(むちゅう)になる

mu chu u ni na ru

let me be the one let me be the one

火花(ひばな)散(ち)らして

hi ba na chi ra shi te

yes ya gonna jump yes ya gonna jump

天(てん)に踊(おど)る

te n ni o do ru

逆(さか)さまに覗(のぞ)く

sa ka sa ma ni no zo ku

angel

左回(ひだりまわ)りよ

hi da ri ma wa ri yo

描(えが)く軌道(きどう)が虜(とりこ)にするわ

e ga ku ki do u ga to ri ko ni su ru wa

唯一無二(ゆいいつむに)の芸術(げいじゅつ)(アート)

yu ii tsu mu ni no a a to

連(つ)れてって

tsu re te tte

yes ya gonna jump yes ya gonna jump

突(つ)き抜(ぬ)けてく

tsu ki nu ke te ku

let me be the one let me be the one

‘YES’ 八芒星(はちぼうせい)へ

‘YES’ ha chi bo u sei e

yes ya gonna jump yes ya gonna jump

笑(わら)い叫(さけ)ぶ

wa ra i sa ke bu

本当(ほんとう)の人生(じんせい)(life)なんざ忘(わす)れて

ho n tou no life nan za wa su re te

赤(あか)の象(ぞう) 獅子(しし) 熊(くま) go-go insane

a ka no zou shi shi ku ma go-go insane

クラッカー首謀者(しゅぼうしゃ)

cracker (ku ra kkaa) shu bou sha

welcome to the house of pain

顔

Thu, 19 Mar 2026 00:00:00 GMT

顔

事(こと)を/事(こと)を拗(こじ)らせてるの/せてるの

ko to wo / ko to wo ko ji ra se te ru no / se te ru no

アルレッキーノコルセットを調整(ちょうせい)してよ

a ru re kkii no ko ru se tto wo chou sei shi te yo

ちょいと顎(あご)上(あ)げたりして鏡(かがみ)の私(わたし)

choi to a go a ge ta ri shi te ka ga mi no wa ta shi

同(おな)じに見(み)える違(ちが)う顔(かお)

o na ji ni mi e ru chi ga u kao

化粧(けしょう)映(は)え誰(だれ) double 化(ば)け charmin’ チェーミンチューミン

ke sho u ha e da re double ba ke charmin’ chee min chuu min

ハート見(み)せないわほんとんとこ

haa to mi se nai wa hon ton to ko

平気(へいき)/平気(へいき)でそう涙(なみだ)も流(なが)してみせましょ

hei ki / hei ki de sou na (mi) da mo na ga shi te mi se ma sho

正気(しょうき)かしら? 正気(しょうき)よ

sho u ki ka shi ra? sou ki yo

偽(いつわ)る日々(ひび)滑(なめ)らかに

i tsu wa ru hi bi na me ra ka ni (na me ra ka ni)

無関心(むかんしん)でいるために (1-2)

mu ka n shi n de i ru ta me ni (one two)

i am a pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up

後(うし)ろ姿(すがた)なじるあなた

u shi ro su ga ta na ji ru a na ta

(Hey!)

the pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up, it upe ro (a ra ra)

バカね　さよなら

ba ka ne sa yo na ra

loser,loser,loser

(bye-bye and bye)

私(わたし)make up, make up, make up, babe

wa ta shi make up, make up, make up, babe

あなたを跨(また)ぐ

a na ta wo ma ta gu

Hey!

うそ/うそ七色(なないろ)うそ笑顔(えがお)ならポンピンビート

u so / u so na na i ro u so e ga o na ra pon pin bii to

くすぐるこの心(こころ)

ku su gu ru ko no ko ko ro

やり過(す)ごすためのアルゴリズム(algorithm) 冷淡(れいたん)に

ya ri su go su ta me no (a) ru go ri zu (mu) rei ta n ni

でも何(なに)か足(た)りないわからない/ないけれど

de mo na ni ka ta ri nai wa ka ra nai / nai ke re do

ah,もはや慣(な)れたわ

ah, mo ha ya na re ta wa

(cool cool)

i am a pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up

後(うし)ろ姿(すがた)なじるあなた

u shi ro su ga ta na ji ru a na ta

(Hey!)

the pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up, it upe ro (a ra ra)

バカねさよなら

ba ka ne sa yo na ra

loser, loser, loser

え? (あらら) え? (あらら) え? え?

まあまあまあ

ma a ma a ma a

とかなんとか言(い)っちゃってさ

to ka na n to ka i tcha tte sa (i tcha tte sa)

空虚(くうきょ)な自己(じこ)防衛(ぼうえい)さ

ku u kyo na ji ko bo u e i sa

(hate)

you’re just a pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up

どこまでそう気取(きど)るのかしら

do ko ma de sou ki do ru no ka shi ra

(hate!)

嫌(いや) pretender あっぷあっぷあっぷあっぷ shake, shake,

i ya pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up, it upe ro (a ra ra)

いつまでやるの

i tsu ma de ya ru no

閉(へい) pretender あっぷあっぷあっぷあっぷ shake, shake,

he i pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up

誤魔化(ごまか)さずにほら　向(む)き合(あ)えば

go ma ka sa zu ni ho ra mu ki a e ba

(hate!)

嫌(いや) pretender あっぷあっぷあっぷあっぷ shake, shake,

i ya pretender up, up, up, up, shake, shake, shake it up, it upe ro (a ra ra)

こっちが本物(ほんもの) 勝者(しょうしゃ) 勝者勝者

ko cchi ga ho n mo no shou sha shou sha shou sha

I'm a pretender hater, hater, hate the fake

鏡(かがみ)の中(なか)の

ka ga mi no na ka no

おまえを暴(あば)く

o ma e wo a ba ku

Egakumirai_描绘未来

Sat, 28 Feb 2026 00:00:00 GMT

描绘未来

行方不明(ゆくえふめい)の本音(ほんね)を探(さが)して

yu ku e fu me i no ho no wo sa ga shi te ~

迷(まよ)うからジグザグに降(ふ)る雨(あめ)

ma yo u ka ra ji gu za gu ni fu ru a me ~

上(のぼ)り坂(ざか)の自転車(じてんしゃ)は重(おも)くて

no bo ri za ka no ji ten sha wa o mo ku te

言葉(ことば)が追(お)いつくまで

ko to ba ga o i tsu ku ma de

もう少(すこ)し待(ま)っていて

mou su ko shi ma tte i te

希望(きぼう)に似(に)た何(なに)かを

ki bou ni ni ta na ni ka wo

勇気(ゆうき)に似(に)た何(なに)かを

yu u ki ni ni ta na ni ka wo

見(み)つけられたらきっと　なんて夢(ゆめ)見(み)て

mi tsu ke ra re ta ra ki tto nan te yu me mi te

足(あし)が震(ふる)えるほど

a shi ga fu ru e ru ho do

勇気(ゆうき)を奮(ふる)う事(こと)はもう

yuu ki wo fu ru u ko to wa mo u

恥(は)ずかしい事(こと)じゃないのに

ha zu ka shii ko to ja nai no ni

描(えが)く未来(みらい)

e ga ku mi rai

広(ひろ)がる世界(せかい)

hi ro ga ru se kai

約束(やくそく)の花(はな)は散(ち)れども

ya ku so ku no ha na wa chi re do mo

僕(ぼく)らはきっと

bo ku ra wa ki tto

大丈夫(だいじょうぶ)だよ

dai jou bu da yo

君(きみ)にそう言(い)って欲(ほ)しかっただけなの

ki mi ni sou i tte ho shi ka tta da ke na no

その声(こえ)に包(つつ)まれてみたかったの

so no ko e ni tsu tsu ma re te mi ta ka tta no

競争(きょうそう)の中(なか)に身(み)を置(お)く者(もの)として

kyou sou no na ka ni mi woo ku mo no to shi te ~

甘(あま)えやか弱(よわ)さを洗(あら)い落(お)として

a ma e ya ka yo wa sa wo a ra i o to shi te ~

驕(おご)りはなく誇(ほこ)りを灯(とも)して

o go ri wa na ku ho ko ri wo to mo shi te

踊(おど)り明(あ)かすため今(いま)振(ふ)り絞(しぼ)るだけ

o do ri a ka su ta me i ma fu ri shi bo ru da ke

願(ねが)い事(ごと)はあるのに

ne ga i go to wa a ru no ni

意地悪(いじわる)な人(ひと)の空(そら)に

i ji wa ru na hi to no so ra ni

土砂降(どしゃぶ)りの嘘(うそ)で　道(みち)を固(かた)められて

do sha bu ri no u so de mi chi wo ka ta me ra re te

言(い)われた通(とお)りにただ

i wa re ta to o ri ni ta da

歩(ある)くだけならば僕(ぼく)らは

a ru ku da ke na ra ba bo ku ra wa

何(なに)のために生(い)きるの

na n no ta me nii ki ru no

描(えが)く未来(みらい)

e ga ku mi rai

広(ひろ)がる世界(せかい)

hi ro ga ru se kai

約束(やくそく)の花(はな)は散(ち)れども

ya ku so ku no ha na wa chi re do mo

僕(ぼく)らはきっと

bo ku ra wa ki tto

大丈夫(だいじょうぶ)だよ

dai jou bu da yo

君(きみ)にそう言(い)って欲(ほ)しかっただけなの

ki mi ni sou i tte ho shi ka tta da ke na no

その声(こえ)に包(つつ)まれていたかったの

so no ko e ni tsu tsu ma re te i ta ka tta no

Hekitenbansou_碧天伴走

Sat, 28 Feb 2026 00:00:00 GMT

碧天伴走

人知(ひとし)れず

hi to shi re zu

肩(かた)落(お)としてる君(きみ)がいるのに

ka tao to shi te ru ki mi ga i ru no ni

碧(あお)すぎてる空(そら)ばかりが眩(まぶ)しい

a o su gi te ru so ra ba ka ri ga ma bu shi i

僕(ぼく)はどんな言葉(ことば)を君(きみ)に

bo ku wa don na ko to ba wo ki mi ni

言(い)えばいいのか

i e ba i i no ka

君(きみ)に何(なに)を

ki mi ni na ni wo

脆(もろ)くやわい心(こころ)で生(い)きる

mo ro ku ya wa i ko ko ro de i ki ru

僕(ぼく)らは傷(きず)つく生(い)き物(もの)で

bo ku ra wa ki zu tsu ku i ki mo no de

なのに今日(きょう)だって

na no ni kyou da tte

頑張(がんば)ってる十分(じゅうぶん) 君(きみ)はもう

gan ba tte ru ju u fu n ki mi wa mo u

躓(つまず)いて転(ころ)んだって

tsu ma zu i te ko ro n da tte

立(た)ち上(あ)がり来(き)たんだ

ta chi a ga ri ki ta n da

頑張(がんば)ってるいつでも

gan ba tte ru i tsu de mo

ここに立(た)ってるだけで

ko ko ni ta tte ru da ke de

必死(ひっし)なんだから

hi sshi nan da ka ra

ジタバタでラクじゃないけれど

ji ta ba ta de ra ku ja na i ke re do

迷(まよ)っても君(きみ)と進(すす)んでみたいよ

ma yo tte mo ki mi to su su n de mi ta i yo

いいかな

ii ka na

誰(だれ)かには

da re ka ni wa

ちっぽけなものだったとしても

chi ppo ke na mo no da tta to shi te mo

君(きみ)にとっては

ki mi ni to tte wa

なにより大事(だいじ)なこと

na ni yo ri da i ji na ko to

壊(こわ)さないで失(うしな)わないで

ko wa sa na i de u shi na wa na i de

守(まも)りたいから

ma mo ri ta i ka ra

隣(となり)にいる

to na ri ni i ru

「僕(ぼく)なんか」言(い)うのはやめるよ

「bo ku na n ka」i u no wa ya me ru yo

君(きみ)にも言(い)ってほしくないから

ki mi ni mo i tte ho shi ku na i ka ra

だから顔(かお)上(あ)げて (伝(つた)える)

da ka ra ka o a ge te

頑張(がんば)ったよ昨日(きのう)の君(きみ)だって

gan ba tta yo ki nou no ki mi da tte

思(おも)うようにいかない

o mo u you ni i ka na i

そんな毎日(まいにち)だって

son na ma i ni chi da tte

頑張(がんば)ったと知(し)ってる

gan ba tta to shi tte ru

僕(ぼく)は知(し)ってるだから

bo ku wa shi tte ru da ka ra

心(こころ)を隠(かく)さないでほしい

ko ko ro wo ka ku sa nai de ho shii

らしさなんて

ra shi sa na n te

まだわからないままだけど

ma da wa ka ra nai ma ma da ke do

ぶつかるたび痛(いた)んで

bu tsu ka ru ta bi i tan de

でも浮(う)かびあがる輪郭(りんかく)

de mo u ka bi a ga ru rin ka ku

ああ見(み)つける

aa mi tsu ke ru

頑張(がんば)ってもダメだと思(おも)う日(ひ)も

gan ba tte mo da me da to o mo u hi mo

この手(て)をつなぐから

ko no te wo tsu na gu ka ra

ぎゅっと力(ちから)込(こ)めて

gi yu tto chi ka ra ko me te

頑張(がんば)ってるひたすら息(いき)してる

gan ba tte ru hi ta su ra i ki shi te ru

当(あ)たり前(まえ)に過(す)ぎる

a ta ri ma e ni su gi ru

一秒(いちびょう)なんかないよ

i chi byou na n ka na i yo

頑張(がんば)ってるいつでも

gan ba tte ru i tsu de mo

ここに立(た)ってるだけで

ko ko ni ta tte ru da ke de

闘(たたか)ってるよ

ta ta ka tte ru yo

逃(に)げてもいい道(みち)が見(み)えなくても

ni ge te mo ii mi chi ga mi e na ku te mo

迷(まよ)っても君(きみ)と走(はし)っていたいんだよ

ma yo tte mo ki mi to ha shi tte i ta in da yo

一緒(いっしょ)に

i ssho ni

高中数学_函数知识点留档

Fri, 27 Feb 2026 00:00:00 GMT

高中数学函数知识点留档

首先感谢我的数学老师

一、函数的定义

已知$A$、$B$是两个非空的实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称$f:A→B$为从集合$A$到集合$B$的一个函数，记作：$y=f(x),x\in A$。

$A$中数“任意”取，无剩余；$B$中数可以有剩余。
$B$中是“唯一”对应，所以对应方式有：一对一、多对一。
$A=$定义域，$B\supseteq$值域。
函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

:::note 判断两个函数是否为同一函数，需三要素完全相同。

但因定义域和对应关系确定了值域，所以只要定义域和对应关系完全相同即为同一函数。

补充：是否为同一函数，与三要素有关，与自变量符号无关。 :::

$A$、$B$是非空数集，若$card(A)=m$，$card(B)=n$，则$f:A→B$的函数有$n^m$个。
映射与函数的关系：函数是特殊的映射。

二、定义域（必须写成集合形式）

（1）常见类型

①分式（分母≠0）；
②偶次根式（被开方数≥0）；
③$x^0$（$x≠0$）；
④$y=log_a x$（$a>0$且$a≠1$，$x>0$）；
⑤$y=a^x$（$a>0$且$a≠1$，$\in R$）；
⑥$y=tanx$（$x≠\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$）。

（2）实际应用问题

要注意隐含的范围。

（3）复合函数

复合函数原理为函数套函数，其自变量为$x$，定义域为$x$的取值范围。
已知$f(x)$的定义域为$I$，求$f(g(x))$的定义域：解析：$g(x)\in I$→解出x的范围即为$f(g(x))$的定义域。原理：$g(x)$看作整体，是$f(x)$的一个自变量值，地位对等。
已知$f(g(x))$的定义域为$D$，求$f(x)$的定义域：解析：$x\in D$→求$g(x)$的范围即为$f(x)$的定义域。原理：$f(g(x))$的自变量为$x$，所以定义域是$x$的范围，$g(x)$看作整体是$f(x)$的自变量，地位对等。
已知$f(g(x))$定义域，求$f(h(x))$定义域：先求$f(x)$定义域$D$，再解$h(x)\in D$即可。

（4）区间

$a<b$（左端点<右端点）；
$∞$用开区间；
区间是集合的一种表示形式；
区间是连续的，所以单调区间需用“,”，“和”连接。

三、表示法

函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法。

（2）求函数解析式常用方法

拼凑法：适用于比较简单的、或易于换元的复合函数形式。
特点：拼凑成括号里的形式，整体换元，新定义域为括号里的值域。
例：$f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}$，求$f(x)$。
解析：$f(x+\frac{1}{x})=(x+\frac{1}{x})^2-2$，则$f(x)=x^2-2$（$x\geq2$或$x\leq-2$）。
换元法：适用于括号里可以解出$x$的复合函数。
步骤：设括号里的整体为$t$，反解出$x$关于$t$的函数，代入原式即可，注意新元范围。
待定系数法：适用于已知函数类型的情况。
- 一次函数：$y=kx+b(k≠0)$；
- 二次函数：一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$、两根式$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$、顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$。
方程组法：常见于$f(x)$与$f(-x)$、$f(\frac{1}{x})$等形式，用$-x$（或$\frac{1}{x}$）替换原式中的$x$，得到另一个方程，将两方程联立求解$f(x)$。
赋值法：常用于抽象函数。

四、分段函数

分段函数是一个函数，而非多个函数；
分段函数图象分段画，注意端点的虚实；
分段函数的定义域是各段$x$范围的并集，值域是各段值域的并集，最值为整个函数的最值：
分段问题分段处理，分段函数单调性注意分段点处函数值大小

五、单调性

（1）单调性定义

设函数$f(x)$的定义域为$I$，如果对于$I$内某区间$D$上的任意两个自变量$x_1$、$x_2$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)<f(x_2)$（$f(x_1)>f(x_2)$），则称$f(x)$在$D$上是增（减）函数。

:::note

单调区间是定义域的子集，所以研究单调性，先求定义域；
增或减是针对区间而言的，所以单调性要说明在某个区间$D$上；
$x_1$、$x_2$是任意的，所以证明单调性时$x_1$、$x_2$要取任意值；
在不同的区间上有相同增减性，这些单调区间用“,”，“和”连接；
单调性是整体性质，端点的开闭不影响单调性，书写单调区间开区间最安全；
增函数（减函数）必须是在定义域上单调增（减），如$y=tanx$不是增函数，$y=\frac{1}{x}$不是减函数。
$$ \begin{gather*} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0 \Rightarrow f(x) \text{增} \ f(x_1)-f(x_2)>0 \Rightarrow f(x) \text{增} \ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0 \Rightarrow f(x) \text{减} \ f(x_1)-f(x_2)<0 \Rightarrow f(x) \text{减} \ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>k \Rightarrow y=f(x)-kx \text{增} \end{gather*} $$

:::

（2）证明单调性

定义法
步骤：假设取值→作差变形→判断符号→下结论。
作差的目标：化为几个因式相乘/除的形式、完全平方和的形式，便于定号。
变形的方法：二次项式（配方）、多项式（因式分解）、分式（通分）、根式（有理化）。
导数法
步骤：求导→判断$f'(x)$的符号→下结论。
注意：导数与单调性的关系，增函数$f'(x)\geq0$在区间上恒成立，减函数$f'(x)\leq0$在区间上恒成立。

（3）判断单调性

定义法；
导数法；求定义域→求导→解不等式→下结论。
图象法；
常用结论： $$ \begin{gather*} ↑+↑ \Rightarrow ↑ \ ↓+↓ \Rightarrow ↓ \ ↑-↓ \Rightarrow ↑ \ ↓-↑ \Rightarrow ↓ \ f(x)↑ \Rightarrow \frac{1}{f(x)}↓ (f(x)\text{恒正/恒负}) \ f(x)↑ \Rightarrow \sqrt{f(x)}↓ (f(x)\geq0) \ f(x)↑ \Rightarrow \begin{cases} a>0,af(x)↑ \ a<0,af(x)↓ \end{cases} \ f(x)↑,g(x)↑,f(x)>0,g(x)>0 \Rightarrow f(x) \cdot g(x) \end{gather*} $$
复合函数法：设复合函数$y=f(g(x))$，内函数$u=g(x)$，外函数$y=f(u)$，注意定义域。
步骤：求定义域→分解为2个函数→分别判断内外函数的单调性→根据“同增异减”下结论。
例：求$y=sin(\omega x+\varphi)(\omega>0)$的单调区间，先求$\omega x+\varphi$的范围，再根据“同增异减”求解。

:::note 结论中单调区间是指$x$的范围。 :::

六、二次函数

二次函数的单调性、最值、值域，只需考虑开口方向和对称轴，画简图，结合图象分析。
含参的二次函数在给定区间上求最值
①若开口向上，求最大值：最大值只会在端点处取得，且谁离对称轴远谁大，所以只需将对称轴和区间中点比较，分两类讨论；
②若开口向上，求最小值：最值可能在端点或顶点处取得，所以将对称轴和区间的位置分三类讨论（对称轴在区间左、内、右）。
二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小。

七、值域（必须写成集合形式）

求值域先求定义域，常用方法：

观察法：适用于简单的函数；
配方法：适用于二次项式、与二次函数复合的$y=af^2(x)+bf(x)+c$型函数；
图象法：有拐点和渐近线的函数必须画图求值域；
分离常数法：适用于分式函数，如$y=\frac{cx+d}{ax+b}=\frac{c}{a}+\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b}$值域为${y|y≠\frac{c}{a}}$；
换元法：代数换元、三角换元、无理换元，注意新元范围，如$y=x+\sqrt{4-x}$、$y=(\sin x+1)(\cos x+1)$；
单调性法：如$y=1+x-\sqrt{1-2x}$；
反解+有界法：如$y=\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$；
导数法：如$y=2sinx+sin2x$；
数形结合法（几何意义）：如$y=\frac{1-sinx}{2-3cosx}$、$y=\sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-2x+10}$；
平方法：如$y=\sqrt{a-cx}+\sqrt{cx+b}$、$y=|\sin x|+|\cos x|$；
不等式法：基本不等式、柯西不等式、绝对值三角不等式，如$y=|x+1|+|x-2|$；
判别式法：如$y=\frac{x^2+3x+5}{x-1}$。

八、奇偶性（定义域关于原点对称是前提）

（1）奇偶性定义

对于函数$f(x)$，其定义域关于原点对称，若对于定义域内的任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$（$f(-x)=-f(x)$），则称$f(x)$为偶（奇）函数。

（2）判断奇偶性的方法

定义法
步骤：判断定义域是否关于原点对称
→求$f(-x)$，判断$f(-x)$与$f(x)$的关系（$f(-x)=\pm f(x)$或$f(-x)\pm f(x)=0$）
→下结论（分类：奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶）。
图象法：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于$y$轴对称。
既奇又偶的函数：$f(x)=0$，$x\in D$（D关于原点对称），这样的函数有无穷个。
常见结论：
- $f(g(x))$内偶则偶，内奇外偶为偶，内奇外奇为奇（有偶则偶，全奇才奇）；
- 运算结论：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×/÷奇=偶，偶×/÷偶=偶，奇×/÷偶=奇；|奇|=偶，|偶|=偶。

（3）常见奇偶函数举例

$y=a^x+a^{-x}$（偶）；$y=a^x-a^{-x}$（奇）；
$y=\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}=\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}=1-\frac{2}{a^{2x}+1}$（奇）；
$y=\frac{b^x-1}{b^x+1}=1-\frac{2}{b^x+1}$（奇）；
$y=log_a\frac{1+x}{1-x}$（奇）；
$y=log_a(\sqrt{bx^2+1}+bx)$（奇）；$y=log_a(a^{mx}+1)-\frac{1}{2}mx$（偶）。

（4）性质

若$f(x)$为奇函数且在$x=0$处有定义，则$f(0)=0$；
若$f(x)$为偶函数，则$f(x)=f(-x)=f(|x|)$；
若$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$： ①$f(x)$为奇函数，则偶次项系数为0（$a_0=a_2=a_4=\dots=0$）；
②$f(x)$为偶函数，则奇次项系数为0（$a_1=a_3=a_5=\dots=0$）；
特例：$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，若为奇函数则$b=d=0$；若为偶函数则$a=c=0$。
若$f(x)=A sin(\omega x+\varphi)$为奇函数，则$\varphi=k\pi$；为偶函数，则$\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$；若$f(x)=A cos(\omega x+\varphi)$为奇函数，则$\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$；为偶函数，则$\varphi=k\pi$。
对称性与奇偶性推导： ①若$f(x+a)$为偶函数，则$f(x+a)=f(-x+a)$，即$f(x)$关于$x=a$对称；
②若$f(x)$为偶函数，则$f(x+a)=f(-x-a)$
③若$f(x+a)$为奇函数，则$f(-x+a)=-f(x+a)$，即$f(x)$关于$(a,0)$对称。
思路：$y=f(ax+b)$为偶函数，可令$g(x)=f(ax+b)$，则$g(-x)=g(x)$，即$f(ax+b)=f(-ax+b)$。
单调性：奇函数在关于原点对称的区间内单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反。
导数性质：奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数；导数为奇函数，原函数为偶函数；导数为偶函数，原函数不一定为奇函数（需看常数项）。
$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$定义在$R$上的任意函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。

（5）根据奇偶性求参数

定义域对称；
特殊值，如奇函数$f(0)=0$，$f(1)\text{与}f(-1)$，需要验证；
定义：$f(x)$与$f(-x)$关系，恒成立。

九、周期性

（1）周期性定义

若$f(x)$对于定义域中任意$x$，均有$f(x+T)=f(x)$（T为非零常数），则$f(x)$为周期函数，T为周期。

:::note

最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小正数，则这个正数称为最小正周期；
若无特殊说明，周期一般指最小正周期；
周期函数不一定有最小正周期；
若T为周期，则$kT(k\in Z,k≠0)$也为周期。

:::

（2）判断周期的方法

定义法；
换元法（常见形式）：
①$f(x)+f(x+a)=k$（常数），则$T=2|a|$；
②$f(x) \cdot f(x+a)=k$（常数且不为0），则$T=2|a|$；
③$f(x+a)=f(x+b)$，则$T=|a-b|$。
④$f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)},T=2a;f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)},T=4a$
⑤$f(x+2a)+f(x)=f(x+a),T=6a$。
由对称性推出周期：
①$f(x)$关于$x=a,x=b$对称，则$T=2|a-b|$；
②$f(x)$关于$(a,0)$、$(b,0)$对称，则$T=2|a-b|$；
③$f(x)$关于$x=a$和$(b,0)$对称，则$T=4|a-b|$。
补充性质：
①周期为T，关于$x=a$对称，则图象关于$x=a\pm\frac{T}{2}$对称；
②周期为T，关于$(a,0)$对称，则图象关于$(a\pm\frac{T}{2},0)$对称；
③奇函数且周期为T，则$f(\frac{T}{2})=0$。

（3）常见函数的周期

$y=A sin(\omega x+\varphi)+B$、$y=A cos(\omega x+\varphi)+B$，周期$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$；
$y=A tan(\omega x+\varphi)+B$，周期$T=\frac{\pi}{|\omega|}$；
$y=|A sin(\omega x+\varphi)+B|$，若$B≠0$，则$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$；若$B=0$，则$T=\frac{\pi}{|\omega|}$；
$y=sin|x|$不是周期函数；$y=cos|x|$，$T=2\pi$；
$y=C$（C为常数）是周期函数，且周期为任意非零常数。

十、对称性

（1）两个函数的对称性

$y=f(-x)$与$y=f(x)$的图象关于$y$轴对称；
$y=-f(x)$与$y=f(x)$的图象关于$x$轴对称；

:::note 关于谁对称谁不变。 :::

$y=-f(-x)$与$y=f(x)$的图象关于原点对称；

:::note 关于原点对称都变。 :::

$y=f(a+x)$与$y=f(b-x)$的图象关于$x=\frac{b-a}{2}$对称；

:::note 记忆$a+x=b-x$。 :::

$y=f(x)$与$y=m-f(n-x)$的图象关于$(\frac{n}{2},\frac{m}{2})$对称。

:::note 记忆$x=n-x$。 :::

（2）函数图象自身的对称性

若$y=f(x)$满足$f(a+x)=f(b-x)$，则$f(x)$的图象关于$x=\frac{a+b}{2}$对称；
若$y=f(x)$满足$f(a+x)+f(b-x)=C$，则$f(x)$的图象关于$(\frac{a+b}{2},\frac{C}{2})$对称。

:::note 记忆$\frac{(a+x)+(b-x)}{2}$。 :::

（3）平移法求对称性

若$f(x+a)$为偶函数，则$f(x)$关于$x=a$对称；
若$f(x+a)$为奇函数，则$f(x)$关于$(a,0)$对称；

:::note $y=f(x+a) \xrightarrow{\text{向右平移a个单位长度}} y=f(x)$ :::

若$f(x)$为偶函数，则$f(x)$关于$x=-a$对称；
若$f(x)$为奇函数，则$f(x)$关于$(-a,0)$对称；

:::note $y=f(x) \xrightarrow{\text{向左平移a个单位长度}} y=f(x+a)$ :::

（4）反函数

求反函数的步骤：反解→对调。
反函数的性质：
①原函数与反函数的定义域、值域互换；
②互为反函数的两个函数图象关于$y=x$对称；
③$(a,b)$，$(b,a)$关于$y=x$对称；
④$(a,b)$，$(-b,-a)$关于$y=-x$对称；
⑤$(a,b)$，$(b-m,a+m)$关于$y=x+m$对称；
⑥$(a,b)$，$(m-b,m-a)$关于$y=-x+m$对称；

（5）三角函数的对称性

函数	对称轴	对称中心
$y=sinx$	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$	$(k\pi,0),k\in Z$
$y=cosx$	$x=k\pi,k\in Z$	$(\frac{\pi}{2}+k\pi,0),k\in Z$
$y=tanx$	无	$(\frac{k\pi}{2},0),k\in Z$

:::note sin,cos:对称轴过图象的最值点；对称中心为图象平衡位置的交点。

tan:对称中心为图象与x轴交点、渐近线与x轴交点。 :::

十一、图象（草图草，注重关键特征）

（1）图象变换

平移变换：
$y=f(x)→y=f(x+h)$：左加右减，加减只对$x$，有系数要提出去。特别注意“-1”；
$y=f(x)→y=f(x)+k$：上加下减，加在函数整体上。
对称变换：（见第十章两个函数的对称性）
伸缩变换：
$y=f(x)→y=Af(x)$：纵伸纵缩，横坐标不变，纵坐标变为原来的$A(A>0)$倍；
$y=f(x)→y=f(\omega x)$：横伸横缩，纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}(\omega>0)$倍（$\omega$的变换只对$x$的系数）。
翻折变换：
$y=f(x)→y=|f(x)|$：下翻上，去下；
$y=f(x)→y=f(|x|)$：去左，右翻左；
$y=f(x)→y=f(-|x|)$：去右，左翻右。

（2）画函数图象的方法

描点法、图象变换法。

（3）快速画草图的方法

关注10个关键特征：①特值；②定义域；③奇偶性；④局部正负；⑤单调性；⑥周期性；⑦极限思想；⑧对称性；⑨值域；⑩图象变换。
优先考虑：定义域，奇偶性，特值（包括极限）与符号。

（4）画图象的注意点

定义域；
渐近线：指数函数、对数函数、对勾函数、分式函数、反三角函数等需先画渐近线。

（5）常见函数图像

十二、幂函数

（1）幂函数定义

形如$y=x^\alpha$（$\alpha$为常数）的函数叫幂函数。

:::note ①底数为自变量$x$；
②指数为常数$\alpha$；
③系数为1。
三者缺一不可。 :::

（2）图象与性质

所有幂函数都过定点$(1,1)$；
$\alpha>0$时，过原点，在$(0,+∞)$上单调递增；$\alpha<0$时，不过原点，在$(0,+∞)$上单调递减；
$\alpha>1$时，在$(0,+∞)$上凸；$0<\alpha<1$时，在$(0,+∞)$下凸；
幂函数的图象均不过第四象限；
在直线$x=1$右侧，$\alpha$越大，图象越高；
奇偶性：$\alpha$为奇数则幂函数为奇函数；$\alpha$为偶数则幂函数为偶函数；
特例：①$\alpha=1$，$y=x$（直线）；②$\alpha=0$，$y=x^0=1(x≠0)$（去掉$(0,1)$的水平直线）；
一般形式$\alpha=\frac{p}{q}$（$p,q$互质）：
- 奇函数：$p,q$均为奇数；
- 偶函数：$p$为偶数、$q$为奇数；
- 非奇非偶：$p$为奇数、$q$为偶数。

（3）求函数过定点的方法

利用与参数有关的式子为定值，如$a^0=1$，$log_a1=0$；
代两组特值，形成方程求解；
若为$m\cdot f(x,y)+n\cdot g(x,y)=0$的形式，则解方程组$\begin{cases}f(x,y)=0\g(x,y)=0\end{cases}$得定点；
若是直线方程，可将其化为点斜式找定点。

十三、指数函数

（1）指数及运算

根式：$\sqrt[n]{a}$叫根式，n叫根指数，a叫被开方数；
性质：$(\sqrt[n]{a})^n=a$；$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}a,n\text{为奇数}\|a|,n\text{为偶数}\end{cases}$；$x^0=1(x≠0)$；
根式与指数幂的互化：$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$；
负指数幂的变换：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)$；
指数的运算公式（$a>0,b>0,m,n\in R$）： $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=a^{mn}$；$(ab)^n=a^n\cdot b^n$。

（2）指数函数

定义：形如$y=a^x(a>0\text{且}a≠1)$的函数为指数函数。

:::note ①底数为大于0且不等于1的常数；
②指数为自变量x；
③系数为1。
三者缺一不可（与幂函数$y=x^\alpha$区分）。 :::

图象与性质

$a$的范围	$0<a<1$	$a>1$
图象	在R上单调递减的曲线，过$(0,1)$	在R上单调递增的曲线，过$(0,1)$
定义域	$R$	$R$
值域	$(0,+∞)$	$(0,+∞)$
单调性	R上减	R上增
定点	$(0,1)$	$(0,1)$

结论：指数函数在第一象限内，底大图高（$x>0$时，$a$越大，函数值越大）。

十四、对数函数

（1）对数及其运算

定义：如果$a^b=N(a>0\text{且}a≠1)$，则b叫做以a为底N的对数，记作$b=log_aN$。$a$叫底数，$N$叫真数（对数中真数$N>0$）；
和幂的联系：在$a^b=N$中，$a$叫底数，$N$叫幂，$b$叫指数；
运算性质（$a>0\text{且}a≠1,M>0,N>0,m,n\in R$）：
$log_a(MN)=log_aM+log_aN$（真数相乘，对数相加）；
$log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN$（真数相除，对数相减）；
$log_aM^n=nlog_aM$；
$log_{a^n}b^m=\frac{m}{n}log_ab$；
换底公式：$log_aN=\frac{log_cN}{log_ca}(c>0\text{且}c≠1)$；推论：
- $log_ab\cdot log_ba=1$；
- $log_{a_1}a_2\cdot log_{a_2}a_3\cdot\dots\cdot log_{a_{n-1}}a_n=log_{a_1}a_n$；
- $m^{log_an}=m^{log_am}(a>0\text{且}a≠1)$（证明：两边对$a$取对）
对数特殊值：$log_a1=0$；$log_aa=1$；$a^{log_aN}=N$；
常用对数与自然对数：常用对数：$lgN=log_{10}N$；自然对数：$lnN=log_eN$（$e≈2.71828$），且$lne=1$。

（2）对数函数

定义：形如$y=log_a x(a>0\text{且}a≠1)$的函数叫对数函数。

:::note ①底数为大于0且不等于1的常数；
②真数为自变量x；
③系数为1。
三者缺一不可。 :::

图象与性质

$a$的范围	$0<a<1$	$a>1$
图象	在$(0,+∞)$上单调递减的曲线，过$(1,0)$	在$(0,+∞)$上单调递增的曲线，过$(1,0)$
定义域	$(0,+∞)$	$(0,+∞)$
值域	$R$	$R$
单调性	$(0,+∞)$上减	$(0,+∞)$上增
定点	$(1,0)$	$(1,0)$

结论

对数函数在第一象限内，底大图右（$x>1$时，$a$越大，函数值越小）；
同正异负：底数、真数在同一范围（$(0,1)$或$(1,+∞)$），对数值大于0；否则小于0；
同底的指数函数和对数函数互为反函数。

十五、函数与方程

（1）函数的零点

函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，零点不是点，是实数根。

（2）零点的判定与求解

直接解方程$f(x)=0$，得零点；
等价转化：函数的零点⇔方程的根⇔两个函数图象交点的横坐标，可根据情况选择分离参数法/半分参/数形结合；
零点存在定理：若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内存在零点。推论：若$f(x)$在区间$(a,b)$上连续且单调，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内有且仅有一个零点。
特殊函数零点：分段函数零点分段研究，复合函数零点内外层分别研究。

十六、二分法

（1）二分法定义

对于在$[a,b]$上连续不断且$f(a)\cdot f(b)<0$的函数$y=f(x)$，通过不断地把$f(x)$的零点所在区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

（2）步骤

确定区间$[a,b]$，验证$f(a)\cdot f(b)<0$，给定精确度$\varepsilon$；
求区间$(a,b)$的中点$x_1$；
计算$f(x_1)$：
①若$f(x_1)=0$，则$x_1$即为零点；
②若$f(x_1)\cdot f(a)<0$，则零点$\in(a,x_1)$，令$b=x_1$；
③若$f(x_1)\cdot f(b)<0$，则零点$\in(x_1,b)$，令$a=x_1$；
判断是否达到精确度$\varepsilon$：若$|a-b|<\varepsilon$，则得到零点近似值（区间内任一值均可）；否则重复步骤2-4。

十七、函数的应用

复利：把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息；
平均增长率问题：如果原来产值/基数为N，平均增长率为p，则经过时间x的总产值$y=N(1+p)^x$；
指数爆炸：指数函数在底数$a>1$时，函数值增长速度极快，称为指数爆炸增长。

高中数学_三角函数知识点留档

Thu, 05 Feb 2026 00:00:00 GMT

高中数学三角函数知识点留档

首先感谢我的数学老师

【清单01】任意角、弧度制

一、角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形

二、角的分类

分类依据	具体类型
按旋转方向	按逆时针方向旋转形成的角：正角<br>按顺时针方向旋转形成的角：负角<br>不做任何旋转形成的角：零角
按终边位置：象限角与轴线角	把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。<br>如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，是轴线角

象限角集合（弧度制）

象限角	角的集合用弧度制表示
第一象限角	${\alpha \mid 2k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2}+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
第二象限角	${\alpha \mid \frac{\pi}{2}+2k\pi < \alpha < \pi+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
第三象限角	${\alpha \mid \pi+2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
第四象限角	${\alpha \mid \frac{3\pi}{2}+2k\pi < \alpha < 2\pi+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$

:::note 第四象限角也可以写成：${\alpha \mid -\frac{\pi}{2}+2k\pi < \alpha < 2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$ :::

轴线角集合

角的终边的位置	角的集合表示
终边落在$x$轴的非负半轴上	${\alpha \mid \alpha=2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
终边落在$x$轴的非正半轴上	${\alpha \mid \alpha=\pi+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
终边落在$x$轴上	${\alpha \mid \alpha=k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
终边落在$y$轴的非负半轴上	${\alpha \mid \alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
终边落在$y$轴的非正半轴上	${\alpha \mid \alpha=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
终边落在$y$轴上	${\alpha \mid \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
终边落在坐标轴上	${\alpha \mid \alpha=\frac{k\pi}{2},;k\in\mathbb{Z}}$

三、终边相同的角

所有与角$\alpha$终边相同的角，连同角$\alpha$在内，可构成一个集合 $S={\boldsymbol{\beta \mid \beta=\alpha+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}}}$

终边相同的角的集合：$\alpha+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}$
终边在一条直线上的角的集合：$\alpha+k\pi,;k\in\mathbb{Z}$
终边相互垂直的角的集合：$\alpha+\frac{k\pi}{2},;k\in\mathbb{Z}$

:::important

区分：锐角，小于90°的角，第一象限角
钟表走过的角都是负角
判断角所在的象限：化正，化小，化锐
终边共直线，加上 $k\pi$ ；终边共射线，加上 $2k\pi$

:::

四、弧度制

(1) 定义：以弧度作为单位来度量角的单位制

(2) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角，记作 1 rad,rad 可省略不写

五、角度与弧度的互化

$180^\circ=\boldsymbol{\pi}\ \text{rad}$

$1^\circ=\boldsymbol{\frac{\pi}{180}}\ \text{rad} \approx 0.01745\ \text{rad}$

$1\ \text{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx \boldsymbol{57.3^\circ}$

六、弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为$R$，弧长为$l$，$\alpha(0<\alpha<2\pi)$为其圆心角

则

(1) 弧长公式：$l=\boldsymbol{\alpha \cdot R}$

(2) 扇形面积公式：$S=\boldsymbol{\frac{1}{2} l \cdot R} = \boldsymbol{\frac{1}{2} \alpha \cdot R^2}$

:::warning 角度与弧度不能混用。 :::

七、$\boldsymbol{\frac{\alpha}{n}}$ 终边所在象限

$\alpha$	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限
$\frac{\alpha}{2}$	一、三	一、三	二、四	二、四
$\frac{\alpha}{3}$	一、二、三	一、二、四	一、三、四	二、三、四

【清单02】三角函数的概念

一、任意角的三角函数的定义

设$\alpha$是一个任意角，$\alpha \in \mathbb{R}$，它的终边$OP$与单位圆相交于点$P(x,y)$

则

$\sin\alpha = \boldsymbol{y}$；$\cos\alpha = \boldsymbol{x}$；$\tan\alpha = \boldsymbol{\frac{y}{x}};(x \neq 0)$

定义的推广：

设$\alpha$是一个任意角，它的终边上任意一点$P$（不与原点$O$重合）的坐标为$(x,y)$，点$P$与原点的距离为$r$，则：

$\sin\alpha = \boldsymbol{\frac{y}{r}}$；$\cos\alpha = \boldsymbol{\frac{x}{r}}$；$\tan\alpha = \boldsymbol{\frac{y}{x}};(x \neq 0)$

$\sec\alpha = \boldsymbol{\frac{r}{x}}$；$\csc\alpha = \boldsymbol{\frac{r}{y}}$；$\cot\alpha = \boldsymbol{\frac{x}{y}}$

:::note

$r=\sqrt{x^2+y^2}$
三角函数值与终边上点的位置无关，与终边的位置有关

:::

当$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$时，$\sin\alpha < \alpha < \tan\alpha$

二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

$\sin\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：第一、二象限及$y$轴的非负半轴

$\cos\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：第一、四象限及$x$轴的非负半轴

$\tan\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：第一、三象限

:::note 类似“才”字。 :::

$\sin\alpha - \cos\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：$y=x$直线上方

$\sin\alpha + \cos\alpha > 0$时，$\alpha$终边所在位置：$y=-x$直线上方

证明：

$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) > 0 \implies \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) > 0$ $\implies 2k\pi < \alpha+\frac{\pi}{4} < \pi+2k\pi \implies -\frac{\pi}{4}+2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{4}+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}$
$\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) > 0 \implies \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) > 0$ $\implies 2k\pi < \alpha-\frac{\pi}{4} < \pi+2k\pi \implies \frac{\pi}{4}+2k\pi < \alpha < \frac{5\pi}{4}+2k\pi,;k\in\mathbb{Z}$

三角函数线

描述：设任意角$\alpha$的终边与单位圆交于$P$，过$P$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，则有向线段 $OM$为$\alpha$的余弦线，有向线段 $MP$为$\alpha$的正弦线。

设单位圆交$x$轴正半轴于$A$，过$A$作单位圆的切线，$\alpha$的终边或其延长线交切线于$T$，则有向线段 $AT$为$\alpha$的正切线。

※ 当 $x \in \left(0,;\frac{\pi}{2}\right)$ 时：

$\sin x < x < \tan x$

$0 < 1-\cos x < \frac{x^2}{2}$

三、特殊角的三角函数值

弧度	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi}{12}$	$\frac{5\pi}{12}$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\tan\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$

四、同角三角函数的基本关系式

平方关系： $\boldsymbol{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}$、$\boldsymbol{1+\tan^2\alpha = \sec^2\alpha}$、$\boldsymbol{1+\cot^2\alpha = \csc^2\alpha}$
商数关系： $\boldsymbol{\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};\left(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,;k\in\mathbb{Z}\right)}$

$\sec\alpha = \boldsymbol{\frac{1}{\cos\alpha}}$、$\csc\alpha = \boldsymbol{\frac{1}{\sin\alpha}}$

常见变形： ① $(\sin\theta \pm \cos\theta)^2 = 1 \pm 2\sin\theta\cos\theta = 1 \pm \sin2\theta$

② $\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^22\theta$

③ $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2$

五、诱导公式口诀

奇变偶不变，符号看象限。 :::note

奇偶指的是 $\frac{\pi}{2}$ 的倍数
符号是看变形前三角函数所在象限正负
不论 $\alpha$ 为多少，都看作正角

::: :::tip 熟记:

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$
$\sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \cos\alpha$

:::

【清单03】三角恒等变换

①和与差公式

$$ \begin{cases} \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \ \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \ \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \end{cases} $$

变形： $\tan\alpha + \tan\beta = \tan(\alpha+\beta) - \tan\alpha\tan\beta\tan(\alpha+\beta) = \tan(\alpha+\beta)(1 - \tan\alpha\tan\beta)$

②倍角公式

$$ \begin{cases} \sin2\alpha = \boldsymbol{2\sin\alpha\cos\alpha} \ \cos2\alpha = \boldsymbol{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha} \ \tan2\alpha = \boldsymbol{\dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}} \end{cases} $$

③降幂公式

$\cos^2\alpha = \boldsymbol{\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}}$

$\sin^2\alpha = \boldsymbol{\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}}$

④升幂公式

$(1+\sin2\alpha) = \boldsymbol{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}$，$1-\sin2\alpha = \boldsymbol{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}$

$1+\cos2\alpha = \boldsymbol{2\cos^2\alpha}$，$1-\cos2\alpha = \boldsymbol{2\sin^2\alpha}$

⑤半角公式

$$ \begin{cases} \sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}},; \cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}} \ \tan\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \boldsymbol{\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}} = \boldsymbol{\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}} \end{cases} $$

⑥积化和差

$$ \begin{cases} \sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \ \cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \ \cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \ \sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \end{cases} $$ :::tip 前半加，后半减；和半差半，$\sin\sin$ 把负号添 :::

⑦和差化积

$$ \begin{cases} \sin\theta+\sin\varphi = 2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2} \ \sin\theta-\sin\varphi = 2\cos\dfrac{\theta+\varphi}{2}\sin\dfrac{\theta-\varphi}{2} \ \cos\theta+\cos\varphi = 2\cos\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2} \ \cos\theta-\cos\varphi = -2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\sin\dfrac{\theta-\varphi}{2} \end{cases} $$ :::tip 相加2倍前，相减2倍后；角和半差半，$\cos-\cos$ 把负号添 :::

⑧辅助角公式

① $a\sin x + b\cos x = \boldsymbol{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)};(ab\neq0)$ 其中 $\tan\varphi = \dfrac{b}{a}$，$\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\varphi$ 所在象限由 $a$ 和 $b$ 的符号确定

② $a\sin x + b\cos x = \boldsymbol{\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)};(ab\neq0)$ 其中 $\tan\varphi = \dfrac{a}{b}$，$\sin\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\varphi$ 所在象限由 $a$ 和 $b$ 的符号确定

⑨万能公式

$\sin\alpha = \boldsymbol{\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}}$ $\cos\alpha = \boldsymbol{\dfrac{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}}$ $\tan\alpha = \boldsymbol{\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}}$

⑩化简，求值，求角常用方法

齐次式（已知 $\tan \alpha$），整式要化成 $\boldsymbol{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}$ 的分式
$\sin\alpha + \cos\alpha$ , $\sin\alpha - \cos\alpha$ , $\sin\alpha × \cos\alpha$ 出现时常用平方组
切化弦
“1”的代换： $\boldsymbol{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}$ ， $\tan\frac{\pi}{4} = 1$
拆角：将所求角拆为已知角与特殊角
升降幂
$\tan\alpha + \tan\beta$ ， $\tan\alpha × \tan\beta$ 同时出现，先写 $\tan(\alpha + \beta)$ 公式，再观察花间
$\cos\alpha × \cos 2\alpha × \cos 4\alpha × \cos 8\alpha$ 配 $\sin\alpha$ 点鞭炮

:::important

求值求角先求范围
开方注意正负，判断角的范围
熟记：$\sqrt{1 \pm \sin \alpha} = \sin \alpha \pm \cos \alpha$ , $\sqrt{1 + \cos \alpha} = \sqrt{2}|\cos \alpha|$ , $\sqrt{1 - \cos \alpha} = \sqrt{2}|\sin \alpha|$
范围判断法： $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ 的正负，三角函数线，三角函数图像，$\sin\alpha × \cos\alpha$ 的正负
一名二角三结构：统一函数名，统一角，统一结构，便于后续化简

:::

【清单04】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

性质	正弦函数 $y=\sin x$	余弦函数 $y=\cos x$	正切函数 $y=\tan x$
图象	[正弦曲线图像]	[余弦曲线图像]	[正切曲线图像]
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	${x \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$
值域	$[-1,1]$	$[-1,1]$	$\mathbb{R}$
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
增区间	$\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right],;k\in\mathbb{Z}$	$\left[-\pi+2k\pi,;2k\pi\right],;k\in\mathbb{Z}$	$\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,;\frac{\pi}{2}+k\pi\right),;k\in\mathbb{Z}$
减区间	$\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,;\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right],;k\in\mathbb{Z}$	$\left[2k\pi,;\pi+2k\pi\right],;k\in\mathbb{Z}$	无
对称中心	$(k\pi,;0),;k\in\mathbb{Z}$	$\left(\frac{\pi}{2}+k\pi,;0\right),;k\in\mathbb{Z}$	$\left(\frac{k\pi}{2},;0\right),;k\in\mathbb{Z}$
对称轴	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi,;k\in\mathbb{Z}$	$x=k\pi,;k\in\mathbb{Z}$	无
最值点	最大值：$\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,;1\right),;k\in\mathbb{Z}$<br>最小值：$\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,;-1\right),;k\in\mathbb{Z}$	最大值：$\left(2k\pi,;1\right),;k\in\mathbb{Z}$<br>最小值：$\left(\pi+2k\pi,;-1\right),;k\in\mathbb{Z}$	无最大值、无最小值
渐近线	无	无	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi,;k\in\mathbb{Z}$

$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 相关性质

$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 为奇函数，则 $\varphi = \boldsymbol{k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$；为偶函数，则 $\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2}+k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$。 $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ 为奇函数，则 $\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2}+k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$；为偶函数，则 $\varphi = \boldsymbol{k\pi,;k\in\mathbb{Z}}$。
正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ 个周期。
由部分图象确定函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ 解析式的方法

$ A=\boldsymbol{\dfrac{\text{最大值}-\text{最小值}}{2}} $，$ B=\boldsymbol{\dfrac{\text{最大值}+\text{最小值}}{2}} $

若已知五点中的两个特殊点：先根据周期求 $\boldsymbol{\omega}$，再整体代换求 $\boldsymbol{\varphi}$（优先代最值点，代零点时需区分上升零点、下降零点）。
若已知五点中的一个特殊点与 $y$ 轴交点：先根据 $y$ 轴交点求 $\boldsymbol{\varphi}$，再整体代换求 $\boldsymbol{\omega}$（根据周期范围确定 $\omega$）。

图象变换

法一（先平移后伸缩）： $$ \begin{gather*} y=\sin x \ \xrightarrow{\text{向左平移};\varphi;\text{个单位长度}} y=\boldsymbol{\sin(x+\varphi)} \ \xrightarrow{\text{横坐标变为原来的};\frac{1}{\omega};\text{倍（纵坐标不变）}} y=\sin(\omega x+\varphi) \ \xrightarrow{\text{纵坐标变为原来的};A;\text{倍（横坐标不变）}} y=A\sin(\omega x+\varphi) \ \xrightarrow{\text{上下平移};B;\text{个单位长度（上加下减）}} y=A\sin(\omega x+\varphi)+B \end{gather*} $$ :::note 若 $\varphi<0$ ，则向右平移 $|\varphi|$ 个单位长度 ::: 法二（先伸缩后平移）： $$ \begin{gather*} y=\sin x \ \xrightarrow{\text{横坐标变为原来的};\frac{1}{\omega};\text{倍（纵坐标不变）（}\omega>0\text{）}} y=\sin\omega x \ \xrightarrow{\text{向左平移};\frac{\varphi}{\omega};\text{个单位长度}} y=\sin(\omega x+\varphi)=\boldsymbol{\sin\left[\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right]} \ \xrightarrow{\text{纵坐标变为原来的};A;\text{倍（横坐标不变）}} y=A\sin(\omega x+\varphi) \ \xrightarrow{\text{上下平移};B;\text{个单位长度（上加下减）}} y=A\sin(\omega x+\varphi)+B \end{gather*} $$ :::note

若 $\varphi<0$ ，则向右平移 $|\varphi|$ 个单位长度
若 $\omega<0$ ，则可用奇偶性先消去负号，再进行变换，最后再换过来
或者可以采用下面这种变换法：

$$ \begin{gather*} y=\sin x \ \xrightarrow{\text{横坐标变为原来的};\frac{1}{\omega};\text{倍（纵坐标不变）（}\omega \text{符号任意）}} y=\sin\omega x \ \xrightarrow{\text{向左（$\varphi>0$）/右（$\varphi<0$）平移};|\frac{\varphi}{\omega}|;\text{个单位长度}} y=\sin(\omega x+\varphi)=\boldsymbol{\sin\left[\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right]} \ \xrightarrow{\text{纵坐标变为原来的};A;\text{倍（横坐标不变）}} y=A\sin(\omega x+\varphi) \ \xrightarrow{\text{上下平移};B;\text{个单位长度（上加下减）}} y=A\sin(\omega x+\varphi)+B \end{gather*} $$

:::

$ y=A\sin(\omega x+\varphi);(A>0,\omega>0) $

周期：$ T=\boldsymbol{\dfrac{2\pi}{|\omega|}} $
振幅：$\boldsymbol{A}$
频率：$ f=\boldsymbol{\dfrac{1}{T}=\dfrac{|\omega|}{2\pi}} $
相位：$\boldsymbol{\omega x+\varphi}$
初相：当 $x=0$ 时的相位,即 $\varphi$

:::warning 注意 $\omega$ 符号（易错） :::

求周期
- $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ 和 $y=A\cos(\omega x+\varphi)+B$ ， $ T=\boldsymbol{\dfrac{2\pi}{|\omega|}} $
- $y=A\tan(\omega x+\varphi)+B$ ， $ T=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{|\omega|}} $
- $y=|A\sin(\omega x+\varphi)+B|$ 和 $y=|A\cos(\omega x+\varphi)+B|$ ， $B = 0 , T=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{|\omega|}} $ ； $B ≠ 0 , T=\boldsymbol{\dfrac{2\pi}{|\omega|}} $
- $y=|A\tan(\omega x+\varphi)+B|$ ， $ T=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{|\omega|}} $
求单调性
- $\boldsymbol{\omega > 0}$ 时，增区间求法：由 $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ，求出 $x$ 的范围；
- 减区间求法：由 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega x + \varphi \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ ，求出 $x$ 的范围
- $\boldsymbol{\omega < 0}$ 时，应先用诱导公式的再按照 $\omega > 0$ 的方法求单调区间
对称性

$y = A\sin(\omega x+\varphi)+B$

对称轴：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2} + k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x = \boldsymbol{\frac{\frac{\pi}{2} - \varphi + k\pi}{\omega}}$
对称中心：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x$，则对称中心为 $\boldsymbol{\left(\frac{k\pi - \varphi}{\omega}, B\right)}$

$y = A\cos(\omega x+\varphi)+B$

对称轴：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x = \boldsymbol{\frac{k\pi - \varphi}{\omega}}$
对称中心：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{\frac{\pi}{2} + k\pi}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x$，则对称中心为 $\boldsymbol{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + k\pi - \varphi}{\omega}, B\right)}$

$y = A\tan(\omega x+\varphi)+B$

对称中心：由 $\omega x+\varphi = \boldsymbol{\frac{k\pi}{2}}$，$k\in\mathbb{Z}$，求出 $x$，则对称中心为 $\boldsymbol{\left(\frac{\frac{k\pi}{2} - \varphi}{\omega}, B\right)}$
无对称轴

★ 补充

正余弦函数的对称轴为过极值点，垂直 $x$ 轴的直线，对称中心为函数图像与直线 $y=B$ 的交点
正切函数的对称中心有两类：一类是函数图像与直线 $y=B$ 的交点，一类是函数的渐近线与直线 $y=B$ 的交点

求值域

化为 $y = A\sin(\omega x+\varphi)+B$，然后由里往外画图像求值域
换元后转化为关于 $\sin x$ 或 $\cos x$ 或 $\tan x$ 的函数 $y = f(\sin x)$ 或 $y = f(\cos x)$ 或 $y = f(\tan x)$ ，在给定区间上求最值
若题中 $\sin x+\cos x$、$\sin x \cdot \cos x$ 同时出现，利用 $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha$，令 $t = \sin x+\cos x = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 换元，注意新元的范围
关于 $\sin x,\cos x$ 齐次式的分式型，用反解+有界性或者数形结合转化为斜率求解
导数法
数形结合

<!-- ### 【清单04】函数的周期性

1. 定义

(1) 一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在一个非零常数 $T$，使得对每一个 $x \in D$ 都有 $x+T \in D$，且 $\boldsymbol{f(x+T)=f(x)}$，那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数。 非零常数 $T$ 叫做这个函数的周期。

(2) 如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 $f(x)$ 的最小正周期。

注：不是所有周期函数都有最小正周期（如 $y=c$，$c$ 为常数）

2. 常见结论

设定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足下列条件，则 $f(x)$ 为周期函数： ① $ f(x+b)=f(x+a) $，周期 $ T=\boldsymbol{|a-b|} $ ② $ f(x)+f(x+a)=b $，周期 $ T=\boldsymbol{2|a|} $ ③ $ f(x) \cdot f(x+a)=b $，周期 $ T=\boldsymbol{2|a|} $

（右侧手写推导：由 $ f(x+b)=f(x+a) $，得 $ f(x+b-a)=f(x) $，因此 $ T=|b-a| $，类似正弦曲线的周期性）

3. 与对称性结合的周期性结论

设定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足下列条件，则 $f(x)$ 为周期函数： ① $ f(x) $ 有两条对称轴 $x=a$、$x=b$，周期 $ T=\boldsymbol{2|a-b|} $ ② $ f(x) $ 有两个对称中心 $(a,;c)$、$(b,;c)$，周期 $ T=\boldsymbol{2|a-b|} $ ③ $ f(x) $ 有一条对称轴 $x=a$ 和一个对称中心 $(b,;0)$，周期 $ T=\boldsymbol{4|a-b|} $

--- -->

【清单05】$\boldsymbol{\triangle ABC}$ 常见结论

在 $\triangle ABC$ 中

$$ \begin{align*} \sin(B+C)&=\boldsymbol{\sin A} \ \cos(B+C)&=\boldsymbol{-\cos A} \ \tan(B+C)&=\boldsymbol{-\tan A} \ \sin\dfrac{B+C}{2}&=\boldsymbol{\cos\dfrac{A}{2}} \ \cos\dfrac{B+C}{2}&=\boldsymbol{\sin\dfrac{A}{2}} \ \tan A+\tan B+\tan C&=\boldsymbol{\tan A\tan B\tan C} \quad (\text{非直角三角形}) \end{align*} $$

在锐角 $\triangle ABC$ 中

$$ \sin A \boldsymbol{>} \cos B,\quad \sin A \boldsymbol{>} \cos C,\quad \sin B \boldsymbol{>} \cos A $$

推导：$ A+B>\dfrac{\pi}{2} \implies \dfrac{\pi}{2}>A>\dfrac{\pi}{2}-B>0 $ 因 $y=\sin x$ 在 $(0,\dfrac{\pi}{2})$ 单调递增，故 $\sin A>\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-B\right)=\cos B$

【清单06】正余弦定理

一、正弦定理

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

（$R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径）

变式

边化角：$a = 2R\sin A,;b = 2R\sin B,;c = 2R\sin C$
角化边：$\sin A = \frac{a}{2R},;\sin B = \frac{b}{2R},;\sin C = \frac{c}{2R}$
$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C$
在 $\triangle ABC$ 中，$A > B \Leftrightarrow \sin A > \sin B$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}$

:::note 补充等比定理： $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}$ :::

二、余弦定理

$$ \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A \ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac\cos B \ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C \end{align*} $$ 变式： ① $$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},\quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac},\quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $$ ② 在 $\triangle ABC$ 中，$A$ 为最大角，则有：

若 $A$ 为直角，则 $a^2 = b^2 + c^2$；
若 $A$ 为锐角，则 $a^2 < b^2 + c^2$；
若 $A$ 为钝角，则 $a^2 > b^2 + c^2$。

三、三角形面积公式

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{abc}{4R}$ （$R$ 为外接圆半径）

等面积法： $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr \Rightarrow S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ （$r$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆半径）

海伦公式： $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad \left(p = \frac{a+b+c}{2}\right)$

四、解三角形

(1) 用正弦定理求解时，注意用“大边对大角”检验
(2) 已知两边一夹角，用余弦定理
(3) 已知两角一边，用正弦定理
(4) 已知三边，用余弦定理
(5) 已知两边一对角，判断三角形解的个数的思路与结论

理解记忆，尺规作图，如：已知 $a$、$b$、$A$
① 画出角 $A$，量取 $AC = b$
②以 $C$ 为圆心，$a$ 为半径画圆，与另一边的交点为 $B$，交点的个数即为三角形解的个数。

三角形解的个数（以已知 $a$、$b$ 和 $A$，解三角形为例）

几何法快速探究如下：

	图形	关系式	解的个数
$A$ 为锐角	①高 $h = b\sin A$；②$a \ge b$	$a = b\sin A$ 或 $a \ge b$	一解
	$b\sin A < a < b$	$b\sin A < a < b$	两解
	$a < b\sin A$	$a < b\sin A$	无解
$A$ 为钝角或直角	$a > b$	$a > b$	一解
	$a \le b$	$a \le b$	无解

五、常用知识（在 $\triangle ABC$ 中）

$A+B+C=\pi$（常用于消元）

$$ \begin{align*} \sin(A+B) &= \boldsymbol{\sin C}, &\cos(A+B) &= \boldsymbol{-\cos C}, \ \tan(A+B) &= \boldsymbol{-\tan C}, &\sin\frac{A+B}{2} &= \boldsymbol{\cos\frac{C}{2}}, \ \cos\frac{A+B}{2} &= \boldsymbol{-\sin\frac{C}{2}} \end{align*} $$

① $\sin2A=\sin2B \Rightarrow A=B$ 或 $A+B=\frac{\pi}{2}$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰或直角三角形

② $\cos2A=\cos2B \Rightarrow A=B$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰三角形

③ $\sin A=\sin B \Rightarrow A=B$，所以 $\triangle ABC$ 为等腰三角形

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

六、边角互化

① 若等式两边是关于边的齐次式，则用 $a=2R\sin A,;b=2R\sin B,;c=2R\sin C$ 边化角

② 若等式具有余弦定理的形式，则用余弦定理边化角

① 若等式两边为关于角的正弦的齐次式，则用

$\sin A=\frac{a}{2R},;\sin B=\frac{b}{2R},;\sin C=\frac{c}{2R}$

② 若等式中含有角的余弦，可用余弦定理角化边

已知 $A,;a$（一边一对角）

$S$：$\cos$ + 基本不等式求最值
$\sin$ + 消元求范围
周长$C$：$\sin$ + 消元求范围
画图（小题）

已知 $A,;b$（一边一邻角）

$S$：$\sin$ + 消元
$C$：$\sin$ + 消元

:::warning 3，4记得区分是三角形还是锐角三角形（角的范围不同） :::

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Thu, 05 Feb 2026 00:00:00 GMT

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~~有时间考虑文本化（~~

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Thu, 05 Feb 2026 00:00:00 GMT

高中数学数列知识点留档

首先感谢我的数学老师

等差数列

等差数列定义

若数列${a_n}$满足$a_n-a_{n-1}=d$（常数）/$a_{n+1}-a_n=d$ $(n\ge2)$，则称数列${a_n}$为等差数列

判断等差数列的方法

①定义法
②等差中项法

证明等差数列的方法

①定义法
②等差中项法
③通项公式法
④前n项和公式法

等差数列通项公式

$$ a_n=a_1+(n-1)d $$

或

$$ a_n=pn+q\quad(p=d,a_1=p+q) $$

:::note 等差数列的通项公式是形式上的一次函数 :::

推论：

$a_n=a_m+(n-m)d$；$k=\frac{a_n-a_m}{n-m}$，$a_{n+k}=a_n+kd$

等差数列前$n$项和

等差数列前$n$项和公式

$$ S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{n(a_1+a_n)}{2} $$

倒序相加法

:::note 类似梯形面积公式 :::

等差数列前$n$项和公式变形

$$ S_n=\frac{d}{2}n^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n $$

也可记为 $S_n=An^2+Bn$（其中 $A=\frac{d}{2},;B=a_1-\frac{d}{2}$）

:::note 等差数列前$n$项和是关于$n$的形式上的二次函数，且不含常数项 :::

当 $d \neq 0$ 时，$S_n$ 可看作二次函数 $y=\frac{d}{2}x^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)x$（$x \in \mathbb{R}$）在 $x=n$ 处的函数值
当 $d < 0$ 时，$S_n$ 是开口向下的抛物线，$S_n$ 有最大值
当 $d > 0$ 时，$S_n$ 是开口向上的抛物线，$S_n$ 有最小值

应用：求等差数列$S_n$的最值

方法1：利用$a_n$，找正负分界
方法2：利用二次函数求最值，注意$n \in \mathbb{N}_+$

等差中项

A是a、b的等差中项，则$A=\frac{a+b}{2}$；任意两个数都有等差中项，且唯一
任意两个数都有等差中项，且唯一

推论：

若$m+n=p+q\ (m,n,p,q\in N_+)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$
若$m+n=2p\ (m,n,p\in N_+)$，则$a_m+a_n=2a_p$

:::note 两边项数要一致 :::

单调性

设${a_n}$的公差为$d$，则

$$ \begin{align*} d>0 \Leftrightarrow {a_n}\text{为递增数列} \ d<0 \Leftrightarrow {a_n}\text{为递减数列} \ d=0 \Leftrightarrow {a_n}\text{为常数列} \end{align*} $$

等差数列结论

数列的通项$a_n$与前n项和$S_n$的关系

$$ a_n= \begin{cases} S_n\ (n=1)\ S_n-S_{n-1}\ (n\ge2) \end{cases} $$

（数列${a_n}$的前n项和为$S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$）

已知$S_n$与$a_n$（或$S_n$与$n$）的关系，求$a_n$
- ①$n=1$,$a_1=S_1$
- ②$n\ge2$,$a_n=S_n-S_{n-1}$
- ③验证$n=1$
- ④下结论
数列：$a_1,a_2,\dots,a_n$与集合${a_1,a_2,\dots,a_n}$区别：数列各项有序，而集合元素无序
下标等差项等差：$a_n$ 等差， $a_k,a_{k+m},a_{k+2m},\dots$ 等差，公差 $d'=md$
等差数列前n项和$S_n,{\frac{S_n}{n}}$也是等差数列,$\frac{S_n}{n}=a_1+(n-1)\frac{d}{2}$，公差为$\frac{d}{2}$
片段和等差：等差数列${a_n}$(公差d)中前n项和为$S_n$,则$S_m,S_{2m}-S_m,S_{3m}-S_{2m}$成等差数列,公差为$m^2d$
等差数列前2n-1项和公式：$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$, $S_n=na_{\frac{n+1}{2}}$，$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$
设等差数列${a_n}$的前n项和为$S_n$，等差数列${b_n}$的前n项和为$T_n$

（1）$\frac{S_n}{T_n}=\frac{a_1+a_n}{b_1+b_n}$；（2）$\frac{a_n}{b_n}=\frac{2a_n}{2b_n}=\frac{a_1+a_{2n-1}}{b_1+b_{2n-1}}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$
已知$\frac{S_n}{T_n}=\frac{an+b}{cn+d}$ 则$\frac{a_m(2m-1)}{b_n(2n-1)}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2n-1}}$

证： $\frac{a_m}{b_n}=\frac{2a_m}{2b_n}=\frac{a_1+a_{2m-1}}{b_1+b_{2n-1}}=\frac{(\frac{(2m-1)(a_1+a_{2m-1})}{2})(2n-1)}{(\frac{(2n-1)(b_1+b_{2n-1})}{2})(2m-1)}=\frac{(S_{2m-1})(2n-1)}{(T_{2n-1})(2m-1)}$
等差数列的奇偶项

（1）若项数为2n，则$S_\text{偶}-S_\text{奇}=nd$，$\frac{S_\text{奇}}{S_\text{偶}}=\frac{a_n}{a_{n+1}}$

$S_\text{偶}=a_2+a_4+a_6+\dots+a_{2n}$
$S_\text{奇}=a_1+a_3+a_5+\dots+a_{2n-1}$
$\Rightarrow S_\text{偶}-S_\text{奇}=nd$

$S_\text{奇}=\frac{n(a_1+a_{2n-1})}{2}=na_n$
$S_\text{偶}=\frac{n(a_2+a_{2n})}{2}=na_{n+1}$
$\Rightarrow \frac{S_\text{奇}}{S_\text{偶}}=\frac{a_n}{a_{n+1}}$

（2）若项数为$2n-1$，则$S_\text{奇}-S_\text{偶}=a_n$，$\frac{S_\text{奇}}{S_\text{偶}}=\frac{n}{n-1}$

$S_\text{奇}=\frac{n(a_1+a_{2n-1})}{2}=na_n$
$S_\text{偶}=\frac{(n-1)(a_2+a_{2n-2})}{2}=(n-1)a_n$
$\Rightarrow S_\text{奇}-S_\text{偶}=a_n$
$\frac{S_\text{奇}}{S_\text{偶}}=\frac{n}{n-1}$
等差数列${a_n}$与${b_n}$中，$a_n=a_1+(n-1)d_1$与$b_n=b_1+(n-1)d_2,{a_n}$与${b_n}$的共同项构成一个新的等差数列，其公差为$d_1$与$d_2$最小公倍数
等差数列${a_n}$前$n$项和为$S_n$，若 $a_1>0,;d<0,;a_m=0$，记

$$ T_n=|a_1|+|a_2|+\dots+|a_n| $$

则

$$ T_n= \begin{cases} S_n & (1 \le n \le m) \ -S_n+2S_m & (n \ge m+1) \end{cases} $$
等差数列${a_n}$公差$d$，$S_{m+n}=S_m+S_n+mnd=\frac{(m+n)(S_m-S_n)}{m-n}$

推论：若$S_m=n$,$S_n=m$,则$S_{m+n}=-(m-n)$

等比数列

等比数列定义

若数列${a_n}$满足 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（$q \neq 0$ 为常数）/ $\frac{a_n}{a_{n-1}}=q\ (n \ge 2)$ ，则称${a_n}$为等比数列

判断等比数列的方法

①定义法
②等比中项法

等比数列通项公式

$$ a_n=a_1 q^{n-1};(n \in \mathbb{N}_+) $$

或

$$ a_n=\left(\frac{a_1}{q}\right) q^n;(n \in \mathbb{N}_+) $$

推论：

$$ a_n=a_m q^{n-m},\quad \frac{a_n}{a_m}=q^{n-m},\quad a_{n+k}=a_n q^k $$

等比数列${a_n}$单调性

$a_1>0,q>1$ 或 $a_1<0,0<q<1 \implies {a_n}$为递增数列
$a_1>0,0<q<1$ 或 $a_1<0,q>1 \implies {a_n}$为递减数列
$q=1 \implies {a_n}$为常数列
$q<0 \implies {a_n}$为摆动数列
$q>0$ 时数列各项正负相同
$q<0$ 时数列各项正负相间
不论正负，等比数列奇数项正负相同，偶数项正负相同

等比数列前$n$项和

等比数列前$n$项和公式

当 $q \neq 1$ 时：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_n q}{1-q}$
当 $q = 1$ 时：$S_n=n a_1$

:::warning 求等比数列前$n$项和一定要考虑$q$是否为1 :::

等比数列前$n$项和公式变形

$S_n=A-A q^n;(q \neq 1)$

其中 $A=\frac{a_1}{1-q}$

等比中项

若$G$是$a$、$b$的等比中项，则

$G=\pm\sqrt{ab}$

:::warning $a$、$b$必须同号
同号的两个数才有等比中项，且有2个 :::

推论：

若 $m+n=p+q$（$m,n,p,q \in \mathbb{N}_+$），则$a_m \cdot a_n=a_p \cdot a_q$
若${a_n}$是等比数列，$p,q,r$为正整数且 $p+q=2r$，则$a_p \cdot a_q=a_r^2$

等比数列性质

若${a_n}$与${b_n}$是等比数列，公比分别为$q$、$p$，则 ${c a_n},;{a_n^2},;\left{\frac{1}{a_n}\right},;{a_n^r};(r \in \mathbb{Z}),;{a_n b_n}$ 也是等比数列（$c \neq 0$），公比依次为 $q,;q^2,;\frac{1}{q},;q^r,;pq$
下标等差项等比：$a_n$ 等比， $a_k,a_{k+m},a_{k+2m},\dots$ 等比，公比 $q'=q^m$
片段和等比：若等比数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_k,;S_{2k}-S_k,;S_{3k}-S_{2k},;\dots$成等比数列（各项不为0），公比为$q^k$
等比数列奇偶项
- 等比数列${a_n}$项数为偶数，则$\frac{S_\text{偶}}{S_\text{奇}}=q$
- 等比数列${a_n}$项数为奇数，则$\frac{S_\text{奇}-a_1}{S_\text{偶}}=q$
若等比数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_{m+n}=S_m+q^m S_n=S_n+q^n S_m$（$q=1$时也成立）

证明： $$ \begin{align*} S_{m+n}&=a_1+a_2+\dots+a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_{m+n}\ &=S_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\dots+a_{m+n}\ &=S_m+a_1 q^m+a_2 q^m+\dots+a_n q^m\ &=S_m+q^m(a_1+a_2+\dots+a_n)\ &=S_m+q^m S_n \end{align*} $$

当$S_n = A - Aq^n$时，$S_n - S_m = A(q^m - q^n)$，其中$A=\frac{a_1}{1-q}$
既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列

数列综合

结论

数列${(-1)^n}$和${(-1)^{n+1}}$表示正负相间的变化规律（调和数列）
若等差数列${a_n}$满足$a_n = a_1 + (n-1)d$，则数列${b^{a_n}}$是等比数列，公比为$b^d$
若等比数列${a_n}$满足$a_n = a_1 q^{n-1}$且$a_n>0$，则数列${\log_b a_n}$是等差数列，公差为$\log_b q$
若数列${a_n}$满足$a_{n+1} = q a_n + d$（$qd \neq 0,q \neq 1$），可构造等比数列${a_n + t}$，满足$a_{n+1} + t = q(a_n + t)$，其中$t=\frac{d}{q-1}$

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数$n$有关的命题$P(n)$，可按下列步骤进行：

（1）归纳奠基：证明当$n = n_0$（$n_0 \in \mathbb{N}^*$）时命题$P(n_0)$成立；

（2）归纳递推：以“当$n = k$（$k \in \mathbb{N}^*$，$k \ge n_0$）时命题$P(k)$成立”为条件，推出“当$n = k + 1$时命题$P(k+1)$也成立”。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从$n_0$开始的所有正整数$n$都成立，这种证明方法称为数学归纳法。

数列单调性常用方法

作差法（邻项差分法，比较$a_{n+1} - a_n$与0的大小）
利用函数单调性法

:::note 数列的定义域是正整数集或其子集 :::

平方和公式

$$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$

立方和公式

$$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left[\frac{1}{2}n(n+1)\right]^2 $$

斐波那契数列

若数列${F_n}$满足$F_1=1,;F_2=1,;F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$（$n \ge 3,;n \in \mathbb{N}^*$），则${F_n}$称为斐波那契数列。

其通项公式为：

$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] $$

等比数列所有项的和（$|q| < 1$时）

$$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

根式有理化公式

$$ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $$

不等式关系

$$ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} > \frac{1}{n^2} > \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} $$

重要极限公式

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e $$

数列部分常用方法

归纳法、迭代法、并项求和法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、累加法、累乘法、倒序相加法、构造等差等比数列。

一、求通项的方法

观察法（适应选填）

例子：
- $1,3,5,7,9,\dots \implies a_n=2n-1$
- $1,2,4,8,16,\dots \implies a_n=2^{n-1}$
- $1,4,9,16,25,\dots \implies a_n=n^2$
- $1,-1,1,-1,\dots \implies a_n=(-1)^{n+1}$
- $9,99,999,\dots \implies a_n=10^n-1$
- $1,11,111,\dots \implies a_n=\frac{10^n-1}{9}$
- $1,0,1,0,\dots \implies a_n=\frac{(-1)^{n+1}+1}{2}$
- $0.9,0.99,0.999,\dots \implies a_n=1-\left(\frac{1}{10}\right)^n$ 数列通项公式不一定存在，存在不一定唯一
累加法（$a_{n+1}-a_n=f(n)$）

① 当 $n\ge2$ 时：

$$ \begin{align*} a_2-a_1 &= f(1) \ a_3-a_2 &= f(2) \ &\vdots \ a_n-a_{n-1} &= f(n-1) \end{align*} $$

将 $n-1$ 个式子相加得：

$$ a_n-a_1 = f(1)+\dots+f(n-1) \implies a_n=\sum_{i=1}^{n-1}f(i)+a_1 $$

② 验证 $n=1$

③ 下结论
累乘法（$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$）
$S_n$与$a_n$转化
作商法

已知 $a_1a_2\cdots a_n=f(n)$ 求 $a_n$

$$ a_n=\begin{cases} f(1) & n=1 \ \frac{f(n)}{f(n-1)} & n\ge2 \end{cases} $$
倒数法（$a_{n+1}=\frac{pa_n}{ka_n+p}$）

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{ka_n+p}{pa_n}=\frac{k}{p}+\frac{1}{a_n} \implies \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{k}{p} $$
构造等比数列法（$a_{n+1}=pa_n+q$）

设 $a_{n+1}+\lambda=p(a_n+\lambda)$，则 $p\lambda-\lambda=q \implies \lambda=\frac{q}{p-1}$

二、其他构造方法

含幂的构造等差数列

① $a_{n+1}=pa_n+p^n$ 求 $a_n$

$$ \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_n}{p^n}+\frac{1}{p} \implies \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}-\frac{a_n}{p^n}=\frac{1}{p} $$

② $a_{n+1}=pa_n+q^n$ 求 $a_n$

$$ \frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\frac{p}{q}\cdot\frac{a_n}{q^n}+\frac{1}{q} $$

（同方法7）
换元法构造新数列

已知 $a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}\ (n\ge2)$

设 $(a_{n+1}-xa_n)=y(a_n-xa_{n-1})$，则

$$ a_{n+1}=(x+y)a_n-xy a_{n-1} $$

解得方程组：

$$ \begin{cases}x+y=p \ -xy=q\end{cases} $$
取对数

已知 $a_{n+1}=pa_n^k\ (a_n>0,p>0,k\neq1)$

$$ \log_c a_{n+1}=\log_c p + k\log_c a_n $$

（同方法7）

三、数列求和（按求项先研究通项）

公式法
分组求和
倒序相加（倒序后对应项的和为定值）
错位相减（仅适用于等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1-a_n q}{1-q}$ 相关形式）
裂项相消

常用裂项公式：

$$ \begin{align*} \frac{1}{n(n+1)}&=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \ \frac{1}{n(n+k)}&=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right) \ \frac{1}{n(n+1)(n+2)}&=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right] \ \log_a \frac{n+1}{n}&=\log_a(n+1)-\log_a n \ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}&=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \ \frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}&=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1} \ \frac{1}{n\cdot n!}&=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!} \end{align*} $$

高中数学_立体几何知识点留档

Thu, 05 Feb 2026 00:00:00 GMT

高中数学立体几何知识点留档

~~有时间考虑文本化（~~

高中数学_立体几何知识点留档

Thu, 05 Feb 2026 00:00:00 GMT

高中数学立体几何知识点留档

首先感谢我的数学老师

1. 直观图、斜二测画法

原则：
① (∠x'O'y'=45^\circ) 或 (135^\circ)
② 平行性不变
③ 与 (x) 轴平行的线段长度不变，与 (y) 轴平行的线段长度减半
④ $z'$轴垂直$x'$轴，且与$z'$轴平行的线段长度也不变
结论：
若 (S_{\text{直观图}}) 为直观图面积，(S_{\text{原图形}}) 为原图形面积，
则有 (S_{\text{直观图}} = \frac{\sqrt{2}}{4}S_{\text{原图形}})，(S_{\text{原图形}} = 2\sqrt{2}S_{\text{直观图}})
注：圆→椭圆，不满足这个规律

2. 表面积与体积

柱：
直棱柱：(S_{\text{侧}} = Ch)（(C) 为底面周长，(h) 为高）
斜棱柱侧面积展开分别算
$V=Sh$
圆柱：(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh)；(V = \pi r^2h)
锥：
正棱锥：(S = \frac{1}{2}Ch')（(C) 为底面周长，(h') 为斜高）
非正棱锥分开算
(V = \frac{1}{3}Sh)
圆锥：(S = \pi r^2 + \pi rl)（(l) 为母线长）（类比三角形）；(V = \frac{1}{3}\pi r^2h)
台：
正棱台：(S_{\text{侧}} = \frac{1}{2}(C + C')h')（(C,C') 为上下底面周长，(h') 为斜高）
非正棱台分开算
(V = \frac{1}{3}h(S + S' + \sqrt{SS'}))
圆台：(S = \pi(r^2 + R^2 + rl + Rl))（(r,R) 为上下底面半径，(l) 为母线长）（类比梯形）；(V = \frac{1}{3}\pi h(r^2 + R^2 + rR))
球：
(S = 4\pi R^2)；(V = \frac{4}{3}\pi R^3)

3. 外接球、内切球（(R) 为外接球半径，(r) 为内切球半径）

外接球：
① 直棱柱/锥→圆柱/锥
② 侧棱⊥底面→墙角
③ 对棱相等→补形为长方体

:::notes ②③：$(2R)^2=x^2+y^2+z^2$ :::

④ 正四面体： (R = \frac{\sqrt{6}}{4}a)（(a) 为棱长）

内切球：
① 正四面体： (R = \frac{\sqrt{6}}{12}a)（(a) 为棱长） ② 正三棱锥：根据相似求解
结论：
① 正方体：外接球 (R = \frac{\sqrt{3}}{2}a)；内切球 (r = \frac{a}{2})；棱切球 (r = \frac{\sqrt{2}}{2}a)；外接球、内切球、棱切球半径比为 (\sqrt{3}:1:\sqrt{2})；
② 正四面体：外接球 (R = \frac{\sqrt{6}}{4}a)；内切球 (r = \frac{\sqrt{6}}{12}a)；正四面体的外接球、内切球半径比为 (3:1)，(P-ABC)，外接球心 (O) 到顶点距离为 (R)，到面距离为 (r)，(R + r = h) → 同球心
③ (r = \frac{3V}{S})（(V) 为体积，(S) 为表面积）

4. 点、线、面位置关系

平行、垂直关系网络图（线线平行→线面平行→面面平行；线线垂直→线面垂直→面面垂直，含逆推关系）
空间角：线线角：范围 ([0, \frac{\pi}{2}])；求法：平移法、向量法线面角：范围 ([0, \frac{\pi}{2}])；求法：找射影→找角、向量法（(\sin\theta = |\cos<\vec{a}, \vec{n}>|)）面面角（二面角）：范围 ([0, \pi])；求法：定义法、垂面法、三垂线法、向量法（(|\cos\theta| = |\cos<\vec{n_1}, \vec{n_2}>|)）
点到面的距离：(d = \frac{|\vec{PA} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|})（(\vec{PA}) 为点 (P) 到面内一点 (A) 的向量，(\vec{n}) 为平面法向量）
空间向量定理：共线向量定理：(\vec{b} = \lambda\vec{a})（(\vec{a} \neq 0)）共面向量定理：(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b})（(\vec{a}, \vec{b}) 不共线）空间向量基本定理：(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c})（(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) 不共面）

5. 正方体相关

截面：三角形→锐角三角形；四边形→平行四边形/矩形/菱形/正方形/梯形；五边形→必有两组对边平行；六边形→三组对边平行且相等
线面关系：面对角线与相邻面面对角线垂直，与对面面对角线平行或异面；体对角线与面对角线垂直，与对面体对角线平行或异面；正方体中心为外接球、内切球、棱切球球心
三垂线定理：平面内直线若与斜线射影垂直，则与斜线垂直；逆定理反之

6. 二面角求法

① 定义法：棱上取点，两面内作棱垂线求夹角 ② 垂面法：作棱垂面，交线形成角 ③ 三垂线法：面内一点作另一面垂线，再作棱垂线，连垂足形成角 ④ 向量法：求两平面法向量夹角或其补角

天球(そら)のMúsica

Mon, 02 Feb 2026 00:00:00 GMT

天球(そら)のMúsica

行(ゆ)こう明日(あした)へと美(うつく)しい時代(とき)よ

yu kou a shi ta e to u tsu ku shii to ki yo

人(ひと)は忘(わす)れてく

hi to wa wa su re te ku

心(こころ)が闘(たたか)ってたそう受(う)け入(い)れるため

ko ko ro ga ta ta ka tte ta souu ke i re ru ta me

向(む)こう側(がわ)はあるのか

mu kou ga wa waa ru no ka

嘘(うそ)にも真実(しんじつ)にもなれるだろう

u so ni mo shin ji tsu ni mo na re ru da rou

歪(ゆが)みとは

yu ga mi to wa

'らしさ'なのかもしれない

ra shi sa na no ka mo shi re na i

目前(もくぜん)にして押(お)し寄(よ)せてくる

mo ku zen ni shi te o shi yo se te ku ru

最後(さいご)の痛(いた)みを、ああ越(こ)えたら

sa i go no i ta mi wo aa ko e ta ra

ぼくらいま流(なが)れてく

bo ku ra i ma na ga re te ku

let's sing along let's sing along

鮮(あざ)やかな夜明(よあ)けとともにさあ

a za ya ka na yo a ke to to mo ni sa a

行(ゆ)こう明日(あした)へと美(うつく)しい時代(とき)よ

yu kou a shi ta e to u tsu ku shii to ki yo

人(ひと)は忘(わす)れてくいつかは消(き)えてく

hi to wa wa su re te ku i tsu ka wa ki e te ku

想(おも)いを綴(つづ)るようになったのはなぜ

o moi wo tsu zu ru you ni na tta no wa na ze

光(ひかり)と闇(やみ)を司(つかさど)るその命(いのち)

hi ka ri to ya mi wo tsu ka sa do ru so noi no chi

きっとすべてに物語(ものがたり)がある

ki tto su be te ni mo no ga ta ri ga a ru

tell me a story.. tell me a story..

叶(かな)うなら

ka na u na ra

こんなに誰(だれ)かを想(おも)うのはああなぜ

kon na ni da re ka woo mou no wa aa na ze

光(ひかり)と闇(やみ)を抱(だ)いたまま胸(むね)焦(こ)がし

hi ka ri to ya mi wo da i ta ma ma mu ne ko ga shi

そうさすべてに物語(ものがたり)がある

sou sa su be te ni mo no ga ta ri ga a ru

tell me mo'.. tell me mo'..don't stop

巡(めぐ)り逢(あ)うノイズの中(なか)魂(たましい)のoverdrive

me gu ri au no i zu no na ka ta ma shii no overdrive

輝(かがや)くよ何度(なんど)も

ka ga ya ku (k)yo nan do mo

崩(くず)れてく失(うしな)ってく

ku zu re te ku u shi na tte ku

ああずっと探(さが)してた

aa zu tto sa ga shi te ta

刹那(せつな)の遠(とお)い色(いろ)

se tsu na no too ii ro

もしもこの詩(うた)が

mo shi mo ko no u ta ga

天球(そら)に夢(ゆめ)のつづきを描(えが)くのなら

so ra ni yu me no tsu zu ki wo e ga ku no na ra

見(み)つめて

mi tsu me te

ぼくらいま解(と)き放(はな)つ

bo ku ra i ma to ki ha na tsu

let's sing along let's sing along

張(は)り裂(さ)ける心(こころ)奏(かな)でてさあ

ha ri sa ke ru ko ko ro ka na de te sa a

行(ゆ)こう明日(あした)へと美(うつく)しい時代(とき)よ

yu kou a shi ta e to u tsu ku shii to ki yo

人(ひと)は忘(わす)れてくいつかは消(き)えてく

hi to wa wa su re te ku i tsu ka wa ki e te ku

行(ゆ)こう(Ave Mujica｜世界(せかい))へと

yu ko u se ka i e to

美(うつく)しい時代(じだい)よ

u tsu ku shii ji da i yo

人(ひと)は忘(わす)れてくいつかは消(き)えてく

hi to wa wa su re te ku i tsu ka wa ki e te ku

神秘物理老师

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 GMT

神秘物理老师事迹总结

初识

2025年9月，对于2024级修读大学物理XB的同学们是一个极其难忘的一月。这一月，一些没有成功选上林国平老师物理课的学生，遇到了一位来自本部的神秘老师。

我们暂且不说他叫什么，他做过什么，他有什么成就。2025年9月3日，笔者来到了新学期第一节物理课，但是他似乎并没有察觉到，一位即将在学校内成为传奇人物的老师，就站在他的面前，为他讲述着物理学的美。

不过有些同学们似乎有自己的事情要做，在电脑上捣鼓着什么，但是这位老师却看不下去了，厉声呵斥这位同学，让他带着他的电脑出去，似乎下定了某种决心，并未留下一丝丝的宽慰。

我们暂且不讨论这位同学接下来的遭遇。至于这位似乎为自己的胜利而沾沾自喜的老师，却开始了他在第一节课的吹牛之路。

我们暂且不追究这些东西的真实性如何，不过如果真的想要讨论是真是假的话，也许会让某位高考省排第8名，本科清华，保研哈工大，数学不好，政治超强，参加过神舟火箭的建造，国家给过一千万的项目括号钱花不完，当了8年的本部物理系主任，多次参与期末命题，月薪一百五十万括号交税十几万，送入职前的女儿奥迪A8，自愿来深圳教书，热爱大学物理，带过的班都考第一，全世界最厉害的那位大学物理老师看笑了吧。

讲课风格

第一节课的各种吹牛似乎让相当一部分同学感到不满，不过这些似乎并不能成为这位老师成为传奇人物的决定性因素。

接下来的课程进行的很正常。如果没有第一节课的吹牛的话，这位老师的教学能力，在笔者看来是还算不错的。

如果考虑到第一节课的吹牛，这位老师更像是各种高考机构到处办讲座的那种老师，不过他似乎更有真东西可讲。

这位老师的教学风格是一种思维导向的教学方式，不同于把知识点放在 ppt 上的填鸭式教学，而是会按照课本和当年科学家的研究思路，去一步步推知各个知识点。

如果不看课本的话，也可以跟着这位老师的思路，完成一节课的学习。

总之笔者适应这位老师的教学方式，好比是思如泉涌，咕嘟咕嘟往外冒，对于知识点的理解与掌握很有帮助。

起初笔者认为这门课会按照这样的形势平稳发展下去，直到这位老师完成了一章内容的讲解，布置下了可以称之为一切导火索的作业——知识点总结。

也许看到这里，各位读者会想：只是知识点总结啊，明明挺好的。没错，起初我也是这么想的，但是这位老师提出的要求，好比是要求韭菜鸡蛋分离出来鸡蛋，又好比是驴拉犁猪拉磨，老牛吃饱炕上坐，可行但不合理，存在但不常见。

总结作业——成名之战

我们暂且不说刚刚的比喻怎么样，我们先来看看这位老师要求的原文吧。

作业（气体动理论总结）本人亲自抽查，我不认同，退回重做 1.知识点总结

1.用词准确（教材，老师PPT）

2.不要遗漏

3.宏微关系，单独列出（可重复）

4.内容不允许少于二页(A5)

5.上交：手写版和电子打印版各一份（避免手写板字迹潦草，无法辨识）

2.公式总结

1.原公式（教材，老师PPT）

2.公式中物理量准确描述

3.重点从公式中提炼出“宏微”物理量之间关系

4.内容不允许少于二页(A5)

5.上交：手写版和电子打印版各一份（避免手写板字迹潦草，无法辨识）

上交时间：

2025年9月25日。

退回学生时间:

2025年10月13日。

从手写版电子版交两遍，到用A5纸这种常见但不那么常用的纸张写作业，而且第一次作业并没有给同学们发放作业纸，打印版还要自行排版，从A4中裁出来A5版本，这位老师布置的作业充满着各种无用功，同学们都认为不需要那么多的繁文缛节。

激情交换意见——封神之战

于是同学们开始和老师对线，以下是常见Q&A：

Q：可以手写版拍照作为电子版吗？

A：竟然有同学发私信，问：手写版拍照作为电子版？？？？？？

Q：老师手写版拍照不能做电子版吗？

A：？此话问你父母。

A：此群风气不正，我将联系你们学院。

A：cyl（第二次提问的同学）明天课堂上我们当面交流。

A：我的苦心，是希望手敲电子版，增强对概念和公式的记忆。提高分数。你不做，你损失。现在大量采用Ai等。

A：我很疑惑，有学生问纸张大小，

1.要求纸张大小A5，是为了放置整齐，一个大班80多人，纸张大小参差不齐，不符合规范要求。（a4还要对折），精力放在这里？？？？

2.要求早就发给大家，不知道，只可能是缺课了，助教也在群里发了。

Q：老师那你可以在讲人工智能之余，讲讲什么工具可以书写排版数学公式吗？

A：人工智能若能代替你们考试（给我佐证），我讲。

看起来这位老师并没有打算听取同学们的意见，反而发表了一些非常具有争议性的言论。

在这天早些时候，这位老师的早八课程出勤率似乎有些低，于是这位老师又发表了以下言论：

所有同学:

今天，课堂上我已严肃明确表态，

必须按时完成归纳总结作业。不完成按学校规定处理。

此外，我们这个大班上课出席率差。

另外一个大班几乎全部准时到课。

全部认真完成归纳总结作业。同一专业，两个大班差距已出现。

下周上课时我将抽查点名，无故缺课。我将把名单反馈到对应院系。按学校规定严肃处理。

一位负责任的大学物理资深任课教授 XX

我们暂且不讨论这段话怎么样。这天上课时，有一位同学指出了一个问题，以下是这位老师做出的回应：

群中所有同学，认真看看，

我给上次（上周五）下课时，一位同学找我提的问题的答复。

1.该答案，是我上网学习并与其它老师交流的回答。

2.这位同学，提的问题，很有水平。

3.这位同学，具备科研素质（关注细微点），科研感觉（细节的感觉）。

3.鼓励这位同学，做的好。（这位老师甚至发现了3和4之间的整数！）

4.要求这位同学，以满分标准，备考期中。细致归纳总结期中考试所需知识点，大量练题。

5.建议这位同学，定下做科研工作为目标，保研成功（直攻博类）。

希望其他同学，认真听课，多提问题。

除了提出质疑的同学们，大多数同学还是在老老实实地完成作业。有一位同学诉苦称在电子版上输入公式输入了3个小时，这位老师回应道：

收获！对概念和公式的熟悉！！

对点赞同学点赞

从这位老师发表的各种言论来看，其优越感溢于言表，似乎并没有打算听取学生们的建议，一味的推行自己觉得不错的教学方法。

碰壁改观

后来由于自己的言论太爆，这位老师被大量同学举报至辅导员处，这位老师也被停掉了一周的课。

停课回归后，这位老师终于做出了改变：可参考老师自己的总结进行总结，不再限制纸张，并且剩下的总结作业都会发纸。

笔者自认为做好总结是一个良好的习惯，不论有没有布置相关的作业。一份完整简洁的总结能为你省下大部分复习时间。也许在考试前别人还在哼哧哼哧看书，而你只需要把自己的总结看一遍，就可以短时间内将重要知识点都过一遍。

截至2025年10月25日，这位老师明显减少了争议性言论的发表，除了偶尔上课会明显嘲讽：

这个知识点很重要，大家一定要记住，那些还在看手机的肯定不会

经历了这些事情，这位老师的言论已经形成了特色的梗，例如：

此话问你父母。
此群风气不正，我将联系你们学院。
这位同学，提的问题，很有水平。
鼓励这位同学，做的好。等等等等

经历了这些事情，这位老师已然成为学校传奇人物之一，其言论以及事迹已经深深烙印进了同学们的心中。起码在物理考试要求写教师姓名时，这位老师的名字永远不会被忘记（

期末风评逆转——长阶登神

自从碰壁之后，这位老师明显收敛了许多。

直到学期末，也没有再出现学期初那么大的反应。

哪怕到学期末落座率低到令人发指，这位老师也没有做出很离谱的行为。

这里忍不住提一嘴，根据可靠情报显示，学期末落座率低到，H 栋大教室，每排左中右各躺一个人，都还有很多空位（

不过真正让这位老师风评逆转的是，期末考试所有人平时分给满，无论到课率如何，作业提交率如何。

~~甚至笔者还欠这位老师一次总结作业没交。~~

反观计算机集群的某位来自深大的老师，出现了明显的平时分压分操作，让多数同学不满，也让这位神秘老师风评逆转。

不过这位老师下学期就不在深圳了，不能让25级体验到真是遗憾（

相信这位老师能够成为24级同学们心中的一个传奇。

Ave Mujica

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 GMT

Ave mujica

「…ようこそ。Ave Mujica の世界(せかい)へ」

you ko so ave mujica no se ka i e

不可逆(ふかぎゃく)な生命(せいめい)の歴史(あらすじ)へと

fu ka gi ya ku na sei mei no a ra su ji he to

終焉(しゅうえん)の杭(くい)を打(う)つの

shuu en no ku i woo tsu no

首(くび)を傾(かし)げコクリと愛想笑(あいそわら)う

ku bi wo ka shi ge ko ku ri to ai so wa ra u

道化(どうけ)たちが紡(つむ)ぐ物語(ものがたり)

dou ru ta chi ga tsu mu gu su too rii

三日月(みかづき)の舟(ふね)で (らLa ラR ァ羅rA 乱)

mi ka tsu ki no fu ne de (ra la ra r a ra ra ra n)

音楽(おんがく)の花(はな)を (らLa ラR ァ裸rA 嵐)

on ga ku no ha na wo (ra la ra r a ra ra ra n)

千切(ちぎ)ってはお星(ほし)に変(か)えて

chi gi tte wa o ho shi ni ka e te

毒(どく)してあげる

do ku shi te a ge ru

(Memento mori) 呪縛(じゅばく)なの？

(memento mori) ju ba ku na no

(Memento mori) 救済(きゅうさい)なの？

(memento mori) kyu u sa i na no

(此処(ここ)に)心(こころ)、闇(やみ)に捧(ささ)げよ…！

(ko ko ni) ko ko ro ya mi ni sa sa ge yo

Ave Musica…奇跡(きせき)を日常(にちじょう)に (Fortuna)

ave musica ki se ki wo ni chi jo u ni (fortuna)

Ave Musica…慈悲(じひ)を与(あた)えましょう (Lacrima)

ave musica ji hi wo a ta e ma sho u (lacrima)

この右手(みぎて)あなたが掴(つか)むなら (果(は)てなき)

ko no mi gi te a na ta ga tsu ka mu na ra (ha te na ki)

漆黒(しっこく)の(魅惑(みわく)に)悦楽(えつらく)の(虜(とりこ)に)

shi kko ku no (mi wa ku ni) e tsu ra ku no (to ri ko ni)

Ō…宿命(しゅくめい)は産声(うぶごえ)を上(あ)げる

o shu ku me i wa u bu go e wo a ge ru

心臓(しんぞう)と戯(たわむ)れた喜(よろこ)びから

shin zou to ta wa mu re ta yo ro ko bi ka ra

感(かん)じたのは生(せい)の息吹(いぶき)

kan ji ta no wa sei no i bu ki

今宵(こよい)も心地(ここち)よく深淵(しんえん)を揺(ゆ)らし

ko yo i mo ko ko chi yo ku shin en wo yu ra shi

あなたごと引(ひ)き摺(ず)り込(こ)んでく

a na ta go to hi ki zu ri kon de ku

秘密(ひみつ)を導(しるべ)に (らLa ラR ァ羅rA 乱)

hi mi tsu wo shi ru be ni (ra la ra r a ra ra ra n)

甘美(かんび)な呪文(じゅもん)が (らLa ラR ァ裸rA 嵐)

kan bi na ju mon ga (ra la ra r a ra ra ra n)

荊棘(いばら)のように絡(から)みついて

ba ra no you ni ka ra mi tsu i te

離(はな)さないと言(ゆ)う

ha na sa na i to yuu

(Memento mori) 躍(おど)るように

(memento mori) o do ru you ni

(Memento mori) 贖(あがな)うように

(memento mori) a ga nau you ni

(此処(ここ)で)歌(うた)と結(むす)ばれましょう

(ko ko de) u ta to mu su ba re ma shou

Ave Musica…仮面(かめん)の民(たみ)は誘(さそ)う (Fortuna)

ave musica ka me n no ta mi wa sa sou (fortuna)

Ave Musica…安(やす)らかな世界(せかい)へ (Lacrima)

ave musica ya su ra ka na se ka i e (lacrima)

あなたの過去(かこ)を差(さ)し出(だ)すのなら (必(かな)ず)

a na ta no ka ko wo sa shi da su no na ra (ka na ra zu)

いかなる(願(ねが)いも)いかなる(望(のぞ)みも)

i ka na ru (ne ga i mo) i ka na ru (no zo mi mo)

Sic…叶(かな)えてあげる

sic...ka na e te a ge ru

Ave Musica…堕(お)ちて、堕(お)ちてゆくの (Fortuna)

ave musica o chi te o chi te yu ku no (fortuna)

Ave Musica…戻(もど)れない所(ところ)まで (Lacrima)

ave musica mo do re nai to ko ro ma de (lacrima)

大丈夫(だいじょうぶ) 何(なに)も怖(こわ)くないわ (委(ゆだ)ねて)

dai jou bu na ni mo ko wa ku na i wa (yo da ne te)

始(はじ)めよう(永遠(えいえん)を)あなたと(私(わたし)の…)

ha ji me yo (u e e n wo) a na ta to (wa ta shi no)

Ave Musica…奇跡(きせき)を日常(にちじょう)に (Fortuna)

ave musica ki se ki wo ni chi jo u ni (fortuna)

Ave Musica…慈悲(じひ)を与(あた)えましょう (Lacrima)

ave musica ji hi wo a ta e ma sho u (lacrima)

この右手(みぎて)あなたが掴(つか)むなら (果(は)てなき)

ko no mi gi te a na ta ga tsu ka mu na ra (ha te na ki)

漆黒(しっこく)の(魅惑(みわく)に)悦楽(えつらく)の(虜(とりこ)に)

shi kko ku no (mi wa ku ni) e tsu ra ku no (to ri ko ni)

Ō…宿命(しゅくめい)は産声(うぶごえ)を上(あ)げる

o shu ku me i wa u bu go e wo a ge ru

Bad Apple!!

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 GMT

Bad Apple!!

流(なが)れてく時(とき)の中(なか)ででも

na ga re te ku to ki no na ka de de mo

気(け)だるさがほらグルグル廻(まわ)って

ke da ru sa ga ho ra gu ru gu ru ma wa tte

私(わたし)から離(はな)れる

wa ta shi ka ra ha na re ru

心(こころ)も見(み)えないわそう知(し)らない

ko ko ro mo mi e na i wa so u shi ra na i

自分(じぶん)から動(うご)くこともなく

ji bu n ka ra u go ku ko to mo na ku

時(とき)の隙間(すきま)に流(なが)され続(つづ)けて

to ki no su ki ma ni na ga sa re tsu zu ke te

知(し)らないわ周(まわ)りのことなど

shi ra na ni wa ma wa ri no ko to na do

私(わたし)は私(わたし)それだけ

wa ta shi wa wa ta shi so re da ke

夢(ゆめ)見(み)てる？何(なに)も見(み)てない？

yu me mi te ru na ni mo mi te na i

語(かた)るも無駄(むだ)な自分(じぶん)の言葉(ことば)

ka ta ru mo mu da na ji bu n no ko to ba

悲(かな)しむなんて疲(つか)れるだけよ

ka na shi mu na n te tsu ka re ru da ke yo

何(なに)も感(かん)じず过(す)ごせばいいの

na ni mo ka n ji zu su go se ba i i no

戸惑(とまど)う言葉(ことば)与(あた)えられても

to ma do u ko to ba a ta e ra re te mo

自分(じぶん)の心(こころ)ただ上(うえ)の空(そら)

ji bu n no ko ko ro ta da u e no so ra

もし私(わたし)から動(うご)くのならば

mo shi wa ta shi ka ra u go ku no na ra ba

すべて変(か)えるのなら黒(くろ)にする

su be te ka e ru no na ra ku ro ni su ru

こんな自分(じぶん)に未来(みらい)はあるの

ko n na ji bu n ni mi ra i wa a ru no

こんな世界(せかい)に私(わたし)はいるの？

ko n na se ka i ni wa ta shi wa i ru no

今(いま)切(せつ)ないの　今(いま)悲(かな)しいの

i ma se tsu na i no i ma ka na shi i no

自分(じぶん)のことも解(わ)からないまま

ji bu n no ko to mo wa ka ra na i ma ma

歩(あゆ)むことさえ疲(つか)れるだけよ

a yu mu ko to sa e tsu ka re ru da ke yo

人(ひと)のことなど知(し)りもしないわ

hi to no ko to na do shi ri mo shi na i wa

こんな私(わたし)も変(か)われるのなら

ko n na wa ta shi mo ka wa re ru no na ra

もし変(か)われるのなら白(しろ)になる

mo shi ka wa re ru no na ra shi ro ni na ru

流(なが)れてく时(とき)の中(なか)ででも

na ga re te ku to ki no na ka de de mo

気(け)だるさがほらグルグル廻(まわ)って

ke da ru sa ga ho ra gu ru gu ru ma wa tte

私(わたし)から離(はな)れる心(こころ)も

wa ta shi ka ra ha na re ru ko ko ro mo

見(み)えないわそう知(し)らない

mi e na i wa so u shi ra na i

自分(じぶん)から動(うご)くこともなく

ji bu n ka ra u go ku ko to mo na ku

時(とき)の隙間(すきま)に流(なが)され続(つづ)けて

to ki no su ki ma ni na ga sa re tsu zu ke te

知(し)らないわ周(まわ)りのことなど

shi ra na i wa ma wa ri no ko to na do

私(わたし)は私(わたし)それだけ

wa ta shi wa wa ta shi so re da ke

夢(ゆめ)見(み)てる？何(なに)も見(み)てない？

yu me mi te ru na ni mo mi te na i

語(かた)るも無駄(むだ)な自分(じぶん)の言葉(ことば)

ka ta ru mo mu da na ji bu n no ko to ba

悲(かな)しむなんて疲(つか)れるだけよ

ka na shi mu na n te tsu ka re ru da ke yo

何(なに)も感(がん)じず过(す)ごせばいいの

na ni mo ga n ji zu su go se ba i i no

戸惑(とまど)う言葉(ことば)与(あた)えられても

to ma do u ko to ba a ta e ra re te mo

自分(じぶん)の心(こころ)ただ上(うえ)の空(そら)

ji bu n no ko ko ro ta da u e no so ra

もし私(わたし)から動(うご)くのならば

mo shi wa ta shi ka ra u go ku no na ra ba

すべて変(か)えるのなら黒(くろ)にする

su be te ka e ru no na ra ku ro ni su ru

这一段bad apple的MV里没有出现

無駄(むだ)な時間(じかん)に未来(みらい)はあるの？

mu da na ji ka n ni mi ra i wa a ru no

こんな所(ところ)に私(わたし)はいるの？

ko n na to ko ro ni wa ta shi wa i ru no

私(わたし)のことを言(い)いたいならば

wa ta shi no ko to o i i ta i na ra ba

言葉(ことば)にするのなら

ko to ba ni su ru no na ra

「ロクデナシ」

ro ku de na shi

こんな所(ところ)に私(わたし)はいるの

ko n na to ko ro ni wa ta shi wa i ru no

こんな時間(じかん)に私(わたし)はいるの？

ko n na ji ka n ni wa ta shi wa i ru no

こんな私(わたし)も変(か)われるのなら

ko n na wa ta shi mo ka wa re ru no na ra

もし変(か)われるのなら白(しろ)になる

mo shi ka wa re ru no na ra shi ro ni na ru

今(いま)夢(ゆめ)見(み)てる何(なに)も見(み)てない

i ma yu me mi te ru na ni mo mi te na i

語(かた)るも無駄(むだ)な自分(じぶん)の言葉(ことば)

ka ta ru mo mu da na ji bu n no ko to ba

悲(かな)しむなんて疲(つか)れるだけよ

ka na shi mu na n te tsu ka re ru da ke yo

何(なに)も感(かん)じず過(す)ごせばいいの

na ni mo ka n ji zu su go se ba i i no

戸惑(とまど)う言葉(ことば)与(あた)えられても

to ma do u ko to ba a ta e ra re te mo

自分(じぶん)の心(こころ)ただ上(うえ)の空(そら)

ji bu n no ko ko ro ta da u e no so ra

もし私(わたし)から動(うご)くのならば

mo shi wa ta shi ka ra u go ku no na ra ba

すべて変(か)えるのなら黒(くろ)にする

su be te ka e ru no na ra ku ro ni su ru

接bad apple mv

動(うご)くのならば　動(うご)くのならば

u go ku no na ra ba u go ku no na ra ba

すべて壊(こわ)すわすべて壊(こわ)すわ

su be te ko wa su wa su be te ko wa su wa

悲(かな)しむならば悲(かな)しむならば

ka na shi mu na ra ba ka na shi mu na ra ba

私(わたし)の心(こころ) 白(しろ)く変(か)われる

wa ta shi no ko ko ro shi ro ku ka wa re ru

贵方(あなた)のことも私(わたし)のことも

a na ta no ko to mo wa ta shi no ko to mo

全(すべ)てのこともまだ知(し)らないの

su be te no ko to mo ma da shi ra na i no

重(おも)い目盖(まぶた)を开(あ)けたのならば

o mo i ma bu ta o a ke ta no na ra ba

すべて壊(こわ)すのなら黒(くろ)になれ！

su be te ko wa su no na ra ku ro ni na re

Here, the world!

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 GMT

Here, the world!

"Here, the world!"

繋(つな)ごう

tsu na gou

鼓動(こどう) リズム

ko dou rhythm (ri zu muu)

生(う)まれるニューソング

u ma re ru new song (nyu u so n g u)

"Here, the world!"

未来(みらい)は明(あか)るいよ

mi rai wa a ka rui yo

足早(あしばや)な

a shi ba ya na

いつものアベニュー

i tsu mo no avenue (a be nyuu)

どこ行(い)くの? (Oh, gosh)

do koi ku no (oh gosh)

I wonder ... (woo)

忙(いそが)しさを言(い)い訳(わけ)にするクセ

i so ga (shi) sa wo ii wa ke ni su ru ku se

Ah Repeating...

それじゃダメだよね

so re ja da me da yo ne

誰(だれ)だって

da re da tte

Night and day

すこし悩(なや)んで

su ko shi na yan de

光(ひかり)と影(かげ)

hi ka ri to ka ge

行(い)ったり来(き)たりで

i tta ri ki ta ri de

だけどそこでドラマ始(はじ)まって

da ke do so ko de do ra ma ha ji ma tte

未来(みらい)連鎖(れんさ) ハジけてゆく

mi ra i re n sa ha ji ke te yu ku

ねぇ?I(アイ)/ My(マイ) / Me(ミー)はシークレットシルエット

nee I/My/Me wa secret (shii ku re tto) silhouette (shi ru e tto)

未知数(みちすう)でしょ手(て)のひら舞(ま)う Dreams

mi chi suu de sho te no hi ra mau Dreams

曖昧(あいまい)だった夜(よる)を何度(なんど)

ai mai da tta yo (ru wo) ro nan do

越(こ)えた先(さき)が最高(さいこう)の幕開(まくあ)けだよ

ko e ta sa ki ga sai kou no ma ku a ke da yo

OK?

Juicy, Juicy moment!

段々(だんだん)

dan dan

Juicy Juicy oh yeah!

ほら果汁(かじゅう)みたいに

ho ra ka ju u mi tai ni

Let’s bloom together!

Juicy, Juicy moment!

益々(ますます)

ma su ma su

Juicy, Juicy oh yeah!

ほら世界(せかい)にはヒトリじゃ描(えが)けない

ho ra se ka i ni wa hi to ri ja e ga ke nai

夢(ゆめ)ばかりだよ

yu me ba ka ri da yo

"Here, the world!"

繋(つな)ごうこのメロディー

tsu na gou ko no melody (me ro dii)

斜(しゃ)に構(かま)えてばかりじゃ (Oh, gosh)

sha ni ka ma e ta ba ka ri ja (oh gosh)

世界(せかい)も知(し)らんぷりさほらNo good (Let it go)

se kai mo shi ran pu ri sa ho ra no good (let it go)

オードリーだってビギナーだったって

audrey (oo do rii) da tte beginner (bi gi naa) da tta tte

夢(ゆめ)の純度(じゅんど)濁(にご)らせずに

yu me no jun do ni go ra se zu ni

似(に)てるメランコリー

ni te ru me ran ko rii

隠(かく)した君(きみ)と

ka ku shi ta ki mi to

性格(せいかく)違(ちが)うのに

sei ka ku chi gau no ni

惹(ひ)き合(あ)う引力(いんりょく)

hi ki au in ryo ku

些細(ささい)なセリフ伏線(ふくせん)みたいって

sa sai na se ri fu fu ku se n mi tai tte

シアターモードで気付(きづ)いてゆく

theater mode (shia taa mo o do) de ki zu i te yu ku

ねぇ?I(アイ)/ My(マイ) / Me(ミー)はシークレットシルエット

nee I/My/Me wa secret (shii ku re tto) silhouette (shi ru e tto)

それが良(い)いよ君(きみ)と笑(わら)うたび

so re ga ii yo ki mi to wa rau ta bi

変(か)わっていく今日(きょう)が明日(あす)が

ka wa ttei ku kyou ga a su ga

見違(みちが)えちゃう出逢(であ)いの魔法(まほう)かもね OK!?

mi chi ga e cha u de ai no ma hou ka mo ne OK?

Juicy, Juicy moment!

段々(だんだん)

dan dan

Juicy Juicy oh yeah!

また宇宙(うちゅう)みたいに

ma ta u chuu mi tai ni

Let’s spread it out!

Juicy, Juicy moment!

益々(ますます)

ma su ma su

Juicy, Juicy oh yeah!

このワードローブの世界(せかい)の隅(すみ)から

ko no wardrobe (waa do roo bu) no se ka i no su mi ka ra

彩(いろど)らせていく

i ro do ra se tei ku

She(シー) / Her(ハー)/ Her(ハー)って吸(す)って

she/her/he tte su tte

吐(は)いて生(い)きてるって感(かん)じて

hai te i ki te ru tte kan ji te

踊(おど)りだす鼓動(こどう)

o do ri da su ko dou

そのすべてミュージック

so no su be te music (myuu ji kku)

地球儀(ちきゅうぎ)

chi kyu u gi

回(まわ)せば

ma wa se ba

まだ見(み)ぬ

ma da mi nu

場所(ばしょ)にも

ba sho ni mo

ハッピーで飛(と)べそうさ

happy (ha ppii) de to be sou sa

We’re the world!

(Woo...Yeah)

Let's bloom together! (Do!)

Let's spread it out! (Yeah!)

互(たが)い願(ねが)ったまま

ta gai ne ga tta ma ma

パーフェクトシルエット

perfect (paa fe ku to) silhouette (shi ru e tto)

未知数(みちすう)でしょ手(て)のひら舞(ま)う Dreams

mi chi suu de sho te no hi ra mau Dreams

曖昧(あいまい)だった夜(よる)を何度(なんど)

ai mai da tta yo (ru wo) ro nan do

越(こ)えた先(さき)が最高(さいこう)の幕開(まくあ)けだよ

ko e ta sa ki ga sai kou no ma ku a ke da yo

OK?

Juicy, Juicy moment!

段々(だんだん)

dan dan

Juicy Juicy oh yeah!

ほら果汁(かじゅう)みたいに

ho ra ka ju u mi tai ni

Let’s bloom together!

Juicy, Juicy moment!

益々(ますます)

ma su ma su

Juicy, Juicy oh yeah!

ほら世界(せかい)にはヒトリじゃ描(えが)けない

ho ra se ka i ni wa hi to ri ja e ga ke nai

夢(ゆめ)ばかりだよ

yu me ba ka ri da yo

"Here, the world!"

繋(つな)ごう

tsu na gou

鼓動(こどう) リズム

ko dou rhythm (ri zu muu)

生(う)まれるニューソング

ma re ru new song (nyu u so n g u)

"Here, the world!" (Never end!)

未来(みらい)を疑(うたが)わない

mi rai wo u ta ga wa nai

君(きみ)とね

ki mi to ne

Bless the world!

Imprisoned XII

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 GMT

Imprisoned XII

捻(ねじ)れた空(そら)を描(えが)いて思(おも)うの

ne ji re ta so ra wo e gai te o mou no

羽根(はね)のない君(きみ) 堕(お)ちればいい

ha ne no na i ki mi o chi re ba ii

触(ふ)れてしまった神聖(しんせい)なもの

fu re te shi ma tta shi n se i na mo no

今夜(こんや)私(わたし)の神話(しんわ)になって

ko n ya wa ta shi no shi n wa ni na tte

ほら逃(に)げられないわ

ho ra ni ge ra re na i wa

弱(よわ)っていく君(きみ)閉(と)じ込(こ)めて

yo wa tte i ku ki mi to ji ko me te

you know i want...i want...i want...

i want you so...i want...

いなければよかったのになぜ...

i na ke re ba yo ka (tta) a ta no ni na ze

you know...you know...you know...you know...

i want you to know how much i need you so

いま狂(くる)おしいほど

i ma ku ruu shii ho do

わかってるのでもいまは密(ひそ)やかに

wa ka tte ru no de mo i ma wa hi so ya ka ni

奇妙(きみょう)な時間(じかん)をただ君(きみ)と

ki myo u na ji kan wo ta da ki mi to

冷(つめ)たいこの手(て)で愛(あい)すべきもの

tsu me ta i ko no te de a i su be ki mo no

葬(ほうむ)る私(わたし)を受(う)け入(い)れて

ho u mu ru wa ta shi wo u ke i re te

危(あや)うき心(こころ)の壁(かべ)に

a ya u ki ko ko ro no ka be ni

忍(しの)ぶは理不尽(りふじん)な夢(ゆめ)

shi no bu wa ri fu ji n na yu me

i say , you're mine...you're mine...

ほらすぐそこにいるのに

ho ra su gu so ko nii ru no ni

叶(かな)わないそれでも

ka na (wa) na i so re de mo

i want...i want...i want you so...i want...

想(おも)い出(で)なんていらないだから...

o mo i de nan te i ra na i da ka ra

you know...you know...you know...so you know...

i want you to know how much i need you so

いま狂(くる)おしいほど

i ma ku ruu shii ho do

神のまにまに_神的随波逐流

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 GMT

神のまにまに

思(おも)い通(どお)りにいかないことだらけ

o mo i doo ri nii ka nai ko to da ra ke

どうしようもなく自己(じこ)嫌悪(けんお)

dou shi you mo na ku ji ko ke n o

八百万(やおよろず)の痛(いた)みや悲(かな)しみから

ya o yo ro zu no i ta mi ya ka na shi mi ka ra

逃(に)げ込(こ)める場所(ばしょ)を　探(さが)してる

ni ge ko me ru ba syo o sa ga shi te ru

いっそ岩(いわ)の隙間(すきま)に引(ひ)きこもって

i sso i wa no su ki ma ni hi ki ko mo tte

月(つき)も太陽(たいよう)も無視(むし)して眠(ねむ)ろう

tsu ki mo tai you mo mu shi shi te ne mu rou

生(う)まれてきたことの意味(いみ)なんて

u ma re te ki ta ko to no i mi na n te

知(し)らない分(わ)かんないよ

shi ra nai wa kan nai yo

でもそんな風(ふう)に思(おも)えるってこと

de mo son na fuu ni o mo e ru tte ko to

それは君(きみ)がもっともっと素敵(すてき)になれる力(ちから)が

so re wa ki mi ga mo tto mo tto su te ki ni na re ru chi ka ra ga

あるって教(おし)えてるんだよ

a ru tte o shi e te run da yo

そうさ

so u sa

神(かみ)のまにまに

ka mi no ma ni ma ni

仰(おお)せのままに

o o se no ma ma ni

誰(だれ)だって地球(ちきゅう)を愛(あい)してる

da re da tte chi kyuu o a i shi te ru

飲(の)めや歌(うた)えや

no me ya u ta e ya

どんちゃん騒(さわ)ぎ

don tyan sa wa gi

たまにゃそんなのもいいね

ta ma nya son na no mo i i ne

そうさ北(きた)も南(みなみ)も

so u sa ki ta mo mi na mi mo

右(みぎ)も左(ひだり)も

mi gi mo hi da ri mo

なんだかんだ地球(ちきゅう)を愛(あい)してる

nan da kan da chi kyuu o a i shi te ru

泥(どろ)んこだけど

do ron ko da ke do

歩(ある)いて行(ゆ)ける

a ru i te yu ke ru

まだまだ先(さき)は長(なが)いさ

ma da ma da sa ki wa na ga i sa

ただ正(ただ)しい人(ひと)でいたいだけ

ta da ta da shii hi to de i ta i da ke

きっと誰(だれ)もがそう願(ねが)っているけど

ki tto da re mo ga sou ne ga tte i ru ke do

八百万(やおよろず)の心(こころ)の醜(みにく)さに

ya o yo ro zu no ko ko ro no mi ni ku sa ni

苦(くる)しめられる毎日(まいにち)さ

ku ru shi me ra re ru ma i ni chi sa

僕(ぼく)が生(う)まれてきたこと

bo ku ga u ma re te ki ta ko to

奇跡(きせき)と言(い)えば聞(き)こえはいいけど

ki se ki to i e ba ki ko e wa i i ke do

それはきっと偶然(ぐうぜん)にすぎなくて

so re wa ki tto guu zen ni su gi na ku te

やっぱり意味(いみ)なんてないさ

ya ppa ri i mi nan te nai sa

でも例(たと)えば君(きみ)にいじわるをするやつが

de mo ta to e ba ki mi ni i ji wa ru o su ru ya tsu ga

いるならそれは君(きみ)がとっても

i ru na ra so re wa ki mi ga to tte mo

素敵(すてき)な人(ひと)だって教(おし)えてるんだよ

su te ki na hi to da tte o shi e te run da yo

そうさ

so u sa

神(かみ)のまにまに

ka mi no ma ni ma ni

仰(おお)せのままに

o o se no ma ma ni

誰(だれ)だって地球(ちきゅう)を愛(あい)してる

da re da tte ti kyuu o a i shi te ru

僕(ぼく)が笑(わら)って

bo ku ga wa ra tte

君(きみ)も笑(わら)えば

ki mi mo wa ra e ba

許(ゆる)せないことなんてないよ

yu ru se nai ko to nan te nai yo

そうさ男(おとこ)も女(おんな)も

sou sa o to ko mo o n na mo

恋(こい)しかるべき

ko i shi ka ru be ki

そんなふうに地球(ちきゅう)は回(まわ)ってる

son na fuu ni chi kyuu wa ma wa tte ru

どろんこだけど歩(ある)いていこう

do ro n ko da ke do a ru i te i kou

まだまだ先(さき)は長(なが)いさ

ma da ma da sa ki wa na ga i sa

本当(ほんとう)に大事(だいじ)なものなんて

ho n tou ni da i ji na mo no na n te

案外(あんがい) くだらないことの中(なか)にあるよ

an ga i ku da ra na i ko to no na ka ni a ru yo

ときにはみんなで馬鹿(ばか)騒(さわ)ぎ

to ki ni wa min na de ba ka sa wa gi

裸踊(はだかおど)りで大笑(おおわら)い

ha da ka o do ri de o o wa ra i

そうさ

so u sa

神(かみ)のまにまに仰(おお)せのままに

ka mi no ma ni ma ni o o se no ma ma ni

もっともっと自分(じぶん)を愛(あい)せるよ

mo tto mo tto ji bu n wo a i se ru yo

鏡(かがみ)を見(み)てご覧(らん)よもう分(わ)かるでしょ

ka ga mi wo mi te go ra n yo mou wa ka ru de syo

みんなを照(て)らす光(ひかり)さ

min na o te ra su hi ka ri sa

そうさ

so u sa

神(かみ)のまにまに

ka mi no ma ni ma ni

みんなありがとう

min na a ri ga to u

やっぱり地球(ちきゅう)を愛(あい)してる

ya ppa ri ti kyuu o a i shi te ru

花(はな)を咲(さ)かそう

ha na wo sa ka so u

大(おお)きな花(はな)を

o o ki na ha na wo

天(てん)まで届(とど)くくらいの!

ten ma de to do ku ku ra i no

ららら.......

ra ra ra

跳楼机日语版+跳楼基

Sun, 01 Feb 2026 00:00:00 GMT

东京跳楼机+跳楼基

すれ違(ちが)いは結局(けっきょく)運命(うんめい)で

su re chi ga i wa ke kkyo ku un mei de

全(すべ)て筋書(すじが)き通(とお)りかも

su be te su ji ga ki to ri ka mo

眠(ねむ)れない夜(よる)に

ne mu re nai yo ru ni

君(きみ)のこと思(おも)い出(だ)すよ

ki mi no ko to o moi da su yo

僕(ぼく)は北極星(ほっきょくせい)

bo ku wa ho kkyo ku sei

世界(せかい)の果(は)てで待(ま)つ

se kai no ha te de ma tsu

君(きみ)を見(み)つけた

ki mi wo mi tsu ke ta

寂(さび)しくはなくなった

sa mi shi ku wa na ku na tta

可笑(おか)しいね　共(とも)に過(す)ごしているんだけど

o ka shii ne to mo ni su go shi tei ru da ke do

君(きみ)の態度(たいど)軽(かる)く受(う)け流(なが)すだけ

ki mi no tai do ka ru kuu ke na ga su da ke

胸(むね)が痛(いた)い、夜明(よあ)けるまで

mu ne gai tai yo ke ru ma de

耐(た)える。どうせ君(きみ)はもう心配(しんぱい)しないんだ

ta e ru dou sei ki mi wa mou shin pai shi na in da

僕(ぼく)たちはきっと向(む)いてない

bo ku ta chi wa ki tto mui te na i

ただの　都合(つごう)よく映(うつ)され

ta da no tsu go yo kuu tsu su sa re

てた錯覚(さっかく)

te ta sa kka (ku)

愛(あい)されないのに

ai sa re nai no ni

離(はな)れては難(がた)いのに

ha na re te wa ga tai no ni

もう一度(いちど)君(きみ)と

moui chi do ki mi to

過(す)ごした　楽(たの)しい頃(ころ)に戻(もど)りたいかな？

su go shi ta ta no shii ko ro ni mo do ri tai ka na?

ベイビーこの恋(こい)はフリーフォール(Free Fall)

Baby ko no ko i wa Free Fall

哈基米南北绿多阿西嘎阿西

突然(とつぜん)に上(あ)がりすぐに落(お)ち

to tsu zen ni a ga ri su gu ni o chi

阿西哈雅库南噜哈基米哈基

君(きみ)がくれたもの

ki mi ga ku re ta mo no

哈基米波南北绿多

冷(つめ)たい雨(あめ)のように

tsu me tai a me no you ni

阿西噶哈雅库南噜

あの日(ひ)は晴(は)れなのに

a no hi wa ha re na no ni

哈基咪曼波扎布扎布~

雨(あめ)の中(なか)で僕(ぼく)を置(お)き去(ざ)り

a me no na ka de bo ku wo ki za ri

悠达悠达哦~马基尼曼波

実(じつ)は僕(ぼく)のせいでしょう

ji tsu wa bo ku no sei de shou

哈基米莫娜美撸多

君(きみ)が怒(おこ)るの？

ki mi ga o ko ru no?

阿西噶哈呀咕奈撸

なぜ答(こた)えない？

na ze ko ta e na i?

哦马基尼哇塞曼波

こんな自分(じぶん)はけっこ嫌(きら)い

kon na ji bu n wa ke kko ki ra i

哈基咪哈基咪莫娜~美撸多

ねえ、好(す)きって言(い)ってよ

nee, su ki tte i tte yo

扎布扎布悠达悠~达~

嘘(うそ)だとしても

u so da to shi te mo

哦曼波哦马基尼
哈基咪莫娜美撸多
哈基咪莫马基尼曼波

可笑(おか)しいね

o ka shii ne

君(きみ)は避(さ)けられない傷(きず)

ki mi wa sa ke ra re na i ki zu

なんてことすんだ？

nan te ko to su n da？

受(う)け取(と)れないよ

u ke to re nai yo

愛(あい)されたいのに

ai sa re tai no ni

離(はな)れては難(がた)いのに

ha na re te wa ga tai no ni

もう一度(いちど)君(きみ)と

moui chi do ki mi to

過(す)ごした楽(たの)しい頃(ころ)に戻(もど)りたいかな？

su go shi ta ta no shii ko ro ni mo do ri tai ka na?

ベイビーこの恋(こい)はフリーフォール(Free Fall)

Baby ko no ko i wa Free Fall

突然(とつぜん)に上(あ)がりすぐに落(お)ち

to tsu zen ni a ga ri su gu ni o chi

君(きみ)がくれたもの

ki mi ga ku re ta mo no

冷(つめ)たい雨(あめ)のように

tsu me tai a me no you ni

あの日(ひ)は晴(は)れなのに

a no hi wa ha re na no ni

どしゃぶりの雨(あめ)僕(ぼく)を置(お)き去(ざ)り

do sha bu ri no a me bo kuo ki za ri

実(じつ)は僕(ぼく)のせいでしょう

ji tsu wa bo ku no sei de shou

君(きみ)が怒(おこ)るの？

ki mi ga o ko ru no?

なぜ答(こた)えない？

na ze ko ta e na i?

こんな自分(じぶん)は気持(きも)ち悪(わる)い

kon na ji bu n wa ki mo chi wa ru i

ねえ、好(す)きって言(い)ってよ

nee, su ki tte i tte yo

嘘(うそ)だとしても

u so da to shi te mo

BLACK SHOUT

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 GMT

BLACK SHOUT

暗(くら)い夜(よる)も (fighting)

ku ra i yo ru mo (fighting)

怯(おび)えずに今(いま) (smiling)

o bi e zu ni i ma (smiling)

信(しん)じた道(みち) (running)

shi n ji ta mi chi (running)

迷(まよ)わず進(すす)もう

ma yo wa zu su su mo

黒(くろ)でもいい (all right)

ku ro de mo ii (all right)

白(しろ)じゃなくても (ok)

shi ro ja na ku te mo (ok)

不条理(ふじょうり)を壊(こわ)し

fu jo u ri wo ko wa shi

私(わたし)は此処(ここ)に今(いま)

wa ta shi wa ko ko ni

生(い)きているから (shout！)

i ma i ki te i ru ka ra (shout!)

(black shout)

(black) 不安(ふあん)に溢(あふ)れた

(black) fu a n ni a fu re ta

(shout) 世(よ)の中(なか)のイロハ

(shout) yo no na ka no i ro ha

(black) 苛立(いらだ)ちと共(とも)に

(black) i ra da chi to to mo ni

自由(じゆう)を奪(うば)ってく

ji yu wo u ba tte ku

(black) モノクロの雨(あめ)が

(black) mo no ku ro no a me ga

(shout) 世界(せかい)を隠(かく)して

(shout) se ka i wo ka ku shi te

(black) 空(そら)は嘲笑(あざわら)い沈(しず)んだ

(black) so ra wa a za wa ra i shi zu n da

邪魔(じゃま)するもの (嫉妬(しっと))

ja ma su ru mo no (shi tto)

振(ふ)り落(お)として (衝動(しょうどう))

fu ri o to shi te (sho do)

私(わたし)の色(いろ) (本能(ほんのう))

wa ta shi no i ro (hon no)

取(と)り戻(もど)したいから...！

to ri mo do shi ta i ka ra...!

例(たと)え明日(あす)が (missing)

ta to e a su ga (missing)

行(い)き止(ど)まりでも (going)

i ki do ma ri de mo (going)

自分(じぶん)の手(て)で (breaking)

ji bu n no te de (breaking)

切(き)り開(ひら)くんだ

ki ri hi ra ku n da

すくむ身体(からだ) (get up)

su ku mu ka ra da (get up)

強(つよ)く抱(いだ)いて (stacking)

tsu yo ku i da i te (stacking)

覚悟(かくご)で踏(ふ)み出(だ)し

ka ku go de fu mi da shi

叶(かな)えたい夢(ゆめ)

ka na e ta i yu me

勝(か)ち取(と)れ今(いま)すぐに！(shout！)

ka chi to re i ma su gu ni! (shout!)

(black) ありきたりなんて

(black) a ri ki ta ri na n te

(shout) 嫌(いや)なの全(すべ)てが

(shout) i ya na no su be te ga

(black) いつもと同(おな)じに？

(black) i tsu mo to o na ji ni?

そんなのありえない

so n na no a ri e nai

(black) 声(こえ)を高(たか)らかに

(black) ko e wo ta ka ra ka ni

(shout) 本音(ほんね)に答(こた)える

(shout) ho n ne ni ko ta e ru

(black) 嘆(なげ)くよりずっと大事(だいじ)で

(black) na ge ku yo ri zu tto da i ji de

誘惑(ゆうわく)には (何度(なんど))

yu u wa ku ni wa (nando)

惑(まど)わされず (幻想(げんそう))

ma do wa sa re zu (genso)

震(ふる)えた胸(むね) (凛(りん)と)

fu ru e ta mu ne (rinto)

熱(あつ)く鳴(な)らしたんだ

a tsu ku na ra shi ta n da

しがらみから (hinder)

shi ga ra mi ka ra (hinder)

解(と)き放(はな)つ今(いま) (relight)

to ki ha na tsu i ma (relight)

ニセモノには (don't go)

ni se mo no ni wa (don't go)

なりたくないの

na ri ta ku na i no

甘(あま)え捨(す)てて (begin)

a ma e su te te (begin)

強(つよ)さに変(か)える (wake up)

tsu yo sa ni ka e ru (wake up)

輝(かがや)いて姿(すがた)

ka ga ya i te su ga ta

掴(つか)め未来(みらい)を

tsu ka me mi ra i wo

決意(けつい)の手(て)のひらで (shout!)

ke tsu i no te no hi ra de (shout!)

揺(ゆ)らぐ視線(しせん) (残像(ざんぞう))

yu ra gu shi se n (zanzo)

守(まも)るように (一層(いっそう))

ma mo ru yo u ni (isso)

固(かた)く結(むす)び (ギュッと)

ka ta ku mu su bi (gyutto)

勇気(ゆうき)で繋(つな)ぐから

yu u ki de tsu na gu ka ra

例(たと)え明日(あす)が (missing)

ta to e a su ga (missing)

行(い)き止(ど)まりでも (going)

i ki do ma ri de mo (going)

自分(じぶん)の手(て)で (breaking)

ji bu n no te de (breaking)

切(き)り開(ひら)くんだ

ki ri hi ra ku n da

すくむ身体(からだ) (get up)

su ku mu ka ra da (get up)

強(つよ)く抱(いだ)いて (stacking)

tsu yo ku i da i te (stacking)

覚悟(かくご)で踏(ふ)み出(だ)し

ka ku go de fu mi da shi

叶(かな)えたい夢(ゆめ)

ka na e ta i yu me

勝(か)ち取(と)れ今(いま)すぐに！(shout!)

ka chi to re i ma su gu ni!(shout!)

Haruhikage_春日影

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 GMT

春日影

悴(かじか)んだ心(こころ) ふるえる眼差(まなざ)し世界(せかい)で

ka ji kan da ko ko ro fu ru e ru ma na za shi se ka i de

僕(ぼく)はひとりぼっちだった

bo ku wa hi to ri bo cchi da tta

散(ち)ることしか知(し)らない春(はる)は

chi ru ko to shi ka shi ra na i ha ru wa

毎年(まいとし)冷(つめ)たくあしらう

ma i to shi tsu me ta ku a shi ra u

暗(くら)がりの中(なか) 一方通行(いっぽうつうこうに)ただただ

ku ra ga ri no na ka i ppou tsuu kou ni ta da ta da

言葉(ことば)を書(か)き殴(なぐ)って

ko to ba wo ka ki na gu tte

期待(きたい)するだけむなしいと分かっていても

ki ta i su ru da ke mu na shi i to wa ka tte i te mo

救(すく)いを求(もと)め続(つづ)けた

su ku i wo mo to me tsu zu ke ta

せつなくていとおしい

se tsu na ku te i too shii

今(いま)ならば分(わ)かる気(き)がする

i ma na ra ba wa ka ru ki ga su ru

しあわせでくるおしい

shi a wa se de ku ruu shi

あの日(ひ)泣(な)けなかった僕(ぼく)を

a no hi na ke na ka tta bo ku wo

光(ひかり)はやさしく連(つ)れ立(だ)つよ

hi ka ri wa ya sa shi ku tsu re da tsu yo

雲間(くもま)をぬってきらりきらり心満(こころみ)たしては溢(あふ)れ

ku mo ma wo nu tte ki ra ri ki ra ri ko ko ro mi ta shi te wa a fu re

いつしか頬(ほお)をきらりきらり

i tsu shi ka hoo wo ki ra ri ki ra ri

熱(あつ)く熱く濡(ぬ)らしてゆく

a tsu ku a tsu ku nu ra shi te yu ku

君(きみ)の手(て)はどうしてこんなにも温(あたた)かいの？

ki mi no te wa do u shi te kon na ni mo a ta ta ka i no ?

ねえお願(ねが)い　どうかこのまま

nee o ne gai do u ka ko no ma ma

離(はな)さないでいて

ha na sa na i dei te

縁(えん)を結(むす)んではほどきほどかれ誰(だれ)しもが

en wo mu su n de wa ho do ki ho do ka re da re shi mo ga

それを喜(よろこ)び　悲(かな)し

so re wo yo ro ko bi ka na shi

みながら愛(あい)を数(かぞ)えてゆく

mi na ga ra ai wo ka zo e te yu ku

鼓動(こどう)を確(たし)かめるように

ko dou wo ta shi ka me ru you ni

うれしくてさびしくて

u re shi ku te sa bi shi ku te

今(いま)だからわかる気(き)がした

i ma da ka ra wa ka ru ki ga shi ta

たいせつでこわくって

ta i se tsu de ko wa ku tte

あの日(ひ)泣(な)けなかった僕(ぼく)を

a no hi na ke na ka tta bo ku wo

光(ひかり)はやさしく抱(だ)きしめた

hi ka ri wa ya sa shi ku da ki shi me ta

照(て)らされた世界(せかい)

te ra sa re ta se ka i

咲(さ)き誇(ほこ)る大切(たいせつ)な人(ひと)

sa ki ho ko ru ta i se tsu na hi to

あたたかさを知(し)った

a ta ta ka sa wo shi tta

春(はる)は僕(ぼく)のため　君(きみ)のための

ha ru wa bo ku no ta me ki mi no ta me no

涙(なみだ)を流(なが)すよ

na mi da wo na ga su yo

あぁ　なんて眩(まぶ)しいんだろう

a a nan te ma bu shi in da rou u

あぁ　なんて美(うつく)しいんだろう

a a nan te u tsu ku shi in da rou u ...

雲間(くもま)をぬってきらりきらり心満(こころみ)たしては溢(あふ)れ

ku mo ma wo nu tte ki ra ri ki ra ri ko ko ro mi ta shi te wa a fu re

いつしか頬(ほお)をきらりきらり

i tsu shi ka hoo wo ki ra ri ki ra ri

熱(あつ)く熱く濡(ぬ)らしてゆく

a tsu ku a tsu ku nu ra shi te yu ku

君(きみ)の手(て)はどうしてこんなにも温(あたた)かいの？

ki mi no te wa do u shi te kon na ni mo a ta ta kai no ?

ねえお願(ねが)い　どうかこのまま

nee o ne gai do u ka ko no ma ma

離(はな)さないでいて

ha na sa nai dei te

ずっと　ずっと

zu tto zu tto

離(はな)さないでいて

ha na sa nai dei te

Hitoshizuku_壱雫空

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 GMT

壱雫空

もしこの雨(あめ)が上(あ)がっても

mo shi ko no a me ga a ga tte mo

忘(わす)れずに歩(ある)いてくよ

wa su re zu ni a rui te ku yo

最初(さいしょ)のひとしずくに顔(かお)上(あ)げた今日(きょう)の僕(ぼく)を

sa i syo no hi to shi zu ku ni kao a ge ta kyou no bo ku wo

透明(とうめい)な傘(かさ)で作(つく)る

tou mei na ka sa de tsu ku ru

ひとり分(ぶん)だけの世界(せかい)

hi to ri bun da ke no se ka i

(遮(さえぎ)って隠(かく)れた)

(sae gi tte ka ku re ta)

そっと逃(に)げ込(こ)んでいた

so tto ni ge kon de i ta

ビニール越(こ)しの空(そら)から

bi nii ru ko shi no so ra ka ra

こぼれ落(お)ちる音(おと)響(ひび)いて

ko bo re o chi ru | o to hi bi i te

(弾(はじ)けた合図(あいず))

ha ji ke ta a i zu

滲(にじ)む心(こころ)へと溶(と)けた

ni ji mu ko ko ro he to to ke ta

泣(な)きじゃくっているこの空(そら)といこう

na ki jya ku tte i ru ko no so ra to i ko u

(アスファルト染(そ)めていく溢(あふ)れ出(だ)したスコール)

a su fa ru to so me te i ku a fu re da shi ta su ko o ru

通(とお)り過(す)ぎる時(とき)を

too ri su (gi ru) ki to ki wo

待(ま)つだけじゃなくて

ma tsu da ke jya na ku te

僕(ぼく)は見(み)つめていたいんだよ

bo ku wa mi tsu me te i tain da yo

無色(むしょく)でもそこにあるもの

mu syo ku de mo so ko ni a ru mo no

この雨(あめ)が上(あ)がってく時(とき)

ko no a me ga a ga tte ku to ki

なにもなかったように

na ni mo na ka tta yo u ni

消(き)えてく傘花(かさばな)みたいに心(こころ)は

ki e te ku ka sa ba na mi tai ni ko ko ro wa

上手(じょうず)に折(お)り畳(たた)めないから

jyou zu ni o ri ta ta me nai ka ra

過(す)ぎ去(さ)ってしまう瞬間(しゅんかん)を

su gi sa tte shi ma u syu n kan wo

僕(ぼく)はあつめたいよああひとしずくを

bo ku wa a tsu me ta i yo aa hi to shi zu ku wo

とめどなく傘(かさ)にすべり落(お)ちる

to me do na ku ka sa ni su be ri o chi ru

雫(しずく)が揺(ゆ)れて描(えが)いてく模様(もよう)

shi zu ku ga yu re te e gai te ku mo you

風(かぜ)に震(ふる)えては

ka ze ni fuu ru e te wa

ぐずついてる僕(ぼく)みたいな

gu zu tsu i te ru bo ku mi ta i na

くすんでる今日(ぼく)を映(うつ)した

ku su n de ru kyou wou tsu shi ta

迷(まよ)い続(つづ)けるこの空(そら)といこう

ma yo i tsu zu ke ru ko no so ra to i ko u

(曖昧(あいまい)に透(と)ける色(いろ) 眺(なが)めていたい)

a i ma i ni to ke ru i ro na ga me te i ta i

漂(ただよ)う雲(くも)だって一秒(いちびょう)先(さき)なんて

ta da you ku mo da tte i chi byou sa ki nan te

わからないままいくんだろう

wa ka ra na i ma ma i kun da rou

不安(ふあん)で鈍(にぶ)く霞(かす)んでく

fu an de ni bu ku ka su n de ku

明日(あした)も

a shi ta mo

もしこの雨(あめ)が上(あ)がっても

mo shi ko no a me ga a ga tte mo

忘(わす)れたくないから

wa su re ta ku na i ka ra

たった今(いま)を書(か)きとめておきたいんだ

ta tta i ma wo ka ki to me te o ki ta in da

この手(て)じゃ届(とど)かない

ko no te jya to do ka na i

あの空(そら)から点線(てんせん)の糸(いと)で

a no so ra ka ra te n sen no i to de

つなぐように届(とど)いたひとしずく

tsu na gu yo u ni to do i ta hi to shi zu (ku)

いまこの雨(あめ)が上(あ)がってく

i ma ko no a me ga a ga tte ku

最後(さいご)のひと粒(つぶ)が

sa i go no hi to tsu bu ga

小(ちい)さく光(ひか)って僕(ぼく)を映(うつ)した

chi i sa ku hi ka tte bo ku wo u tsu shi ta

まだ道(みち)は乾(かわ)かないだろう

ma da mi chi wa ka wa ka nai da rou

潤(うる)んだ風(かぜ)を吸(す)い込(こ)んだ

u ru n da ka ze wo su i ko n da

僕(ぼく)は連(つ)れていこうああひとしずくを

bo ku wa tsu re te i ko u a a hi ro shi zu ku wo

KiLLKiSS

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 GMT

KiLLKiSS

弄(まさ)られて垂(た)れ流(なが)す

ma sa gu ra re te ta re na ga su

音(おと)のない音(おと) 遍(あまね)く

o to no na i o toa ma ne ku

名前(なまえ)を捨(す)てた

na ma e wo su te ta

のねあなたのモザイク

no ne a na ta no mo za i ku

が泣(な)いてる

ga na i te ru

can not，can not，not, not，not deny

紛(まぎ)れもなく真実(しんじつ)

ma gi re mo na ku shi n ji tsu

さあ預(あず)けて回帰(かいき)するように

su ai zu ke te ka i ki su ru yo u ni

エネルギーはサイクル

e ne ru gii wa sa i ku ru

そういまは無重力(むじゅうりょく)

sou i ma wa mu juu ryo ku

象徴的(しょうちょうてき)なパレード

shou cho u te ki na pa ree (do)

この月夜(つきよ)に

ko no tsu ki yo ni

仰(あお)げよ仰(あお)げ

a o ge yo a o ge

「completeness」

嗚呼(ああ) 命(いのち)の灯(ひ)を掲(かか)げ

aa i no chi no hi wo ka ka ge

KiLLKiSS judy，KiLLKiSS jude，KiLLKiSS juda

欺(あざむ)いて

a za mui te

KiLLKiSS judy，KiLLKiSS jude，KiLLKiSS juda

抱(だ)きしめて

da ki shi me te

ねぇ無防備(むぼうび)だね

nee mu bou bi da ne

美(うつく)しい戯(たわむ)れに

u tsu ku shi i ta wa mu re ni

人(ひと)は壊(こわ)れてゆく

hi to wa ko wa re te yu ku

可笑(おか)しいわね

o ka shii wa ne

‘cuz we’re all alone

噛(か)み締(し)めてもまだ痛(いた)むなら

ka mi shi me te mo ma da i ta mu na ra

手(て)を挙(あ)げ希(こねが)え

te wo a ge ko ne ga e

Oh，when you bleed

惑星(わくせい)にそうその影(かげ)を伸(の)ばせ

wa ku sei ni sou so no ka ge wo no ba se

ねぇ私(わたし)の世界(せかい)が知(し)りたがっているわさあ

nee wa ta shi no ho shi ga shi ri ta ga tte i ru wa sa a

you bleed，yes，bleed

その血(ち)で天(そら)の五線譜(ごせんふ)を書(か)き換(か)えれば

so no chi de so ra no go se n fu wo ka ki ka e re ba

code ‘KiLLKiSS’ uh...

KiLLKiSS judy，KiLLKiSS jude，KiLLKiSS juda

欺(あざむ)いて

a za mu i te

KiLLKiSS judy，KiLLKiSS jude，KiLLKiSS juda

抱(だ)きしめて

da ki shi me te

ねぇあからさまね

nee a ka ra sa ma ne

醜(みにく)い終局(しゅうきょく)に

mi ni ku i shu u kyo ku ni

すべてが変(か)わってゆく

su be te ga ka wa tte yu ku

儚(はかな)いのね

ha ka na i no ne

そうこのまま壊(こわ)れて

sou ko no ma ma ko wa re te

Mayoiuta_迷星叫

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 GMT

迷星叫

交差点(こうさてん)の真(ま)ん中(なか)

kou sa ten no ma n na ka

急(いそ)ぐ人(ひと)に紛(まぎ)れて

i so gu hi to ni ma gi re te

僕(ぼく)だけがあてもなく

bo ku da ke ga a te mo na ku

漂(ただよ)うみたいだ

ta da yo u mi ta i da

流行(はやり)の歌(うた)はいつも

ha ya ri no u ta wa i tsu mo

僕(ぼく)のことは歌(うた)ってない

bo ku no ko to wa u ta tte nai

ねえビジョンの中(なか)から

nee bi jyon no na ka ka ra

笑(わら)いかけないで

wa ra i ka ke na i de

また今日(きょう)も声(こえ)にならずに

ma ta kyou mo ko e ni na ra zu ni

飲(の)み込(こ)んだ感情(かんじょう)

no mi kon da ka n jyo u

下書(したが)き埋(う)め尽(つ)くして

shi ta ga ki u me tsu ku shi te

ああそうやって何千回(なんぜんかい)夜(よる)を越(こ)える

aa sou ya tte nan zen kai yo ru wo ko e ru

僕(ぼく)のためそれだけ

bo ku no ta me so re da ke

それだけだったんだよ

so re da ke da ttan da yo

出口(でぐち)探(さが)し

de gu chi sa ga shi

溢(こぼれ)ただけの言葉(ことば)

ko bo re ta da ke no ko to ba

君(きみ)の心(こころ)へ届(とど)いて

ki mi no ko ko ro he to doi te

隙間(すきま)をちょっと埋(う)めるなら

su ki ma wo chyo tto u me ru na ra

こんな僕(ぼく)でもここにいる叫(さ)けぶよ

ko n na bo ku de mo ko ko nii ru sa ke bu yo

迷(まよ)い星(ぼし)のうた

ma yo i bo shi no u ta

問(と)われることは何故(なぜ)か

to wa re ru ko to wa na ze ka

将来(しょうらい)のことばかり

shyou ra i no ko to ba ka ri

目(め)の前(まえ)にいる僕(ぼく)の

me no ma e ni i ru bo ku no

今(いま)はおざなりで

i ma wa o za na ri de

華(はな)やぎに馴染(なじ)めない

ha na ya gi ni na ji me na i

この心(こころ)を無視(むし)して

ko no ko ko ro wo mu shi shi te

輝(かがや)かしい明日(あした)を

ka ga ya shi i a shi ta wo

推奨(すいしょう)しないでくれ

sui shyou shi nai de ku re

夜空(よぞら)にチカチカ光(ひか)る

yo zo ra ni chi ka chi ka hi ka ru

頼(たよ)りない星屑(ほしくず)

ta yo ri nai ho shi ku zu

躊躇(ためら)いながらはぐれて

ta me rai na ga ra ha gu re te

ああ彷徨(さまよ)っているそれが僕(ぼく)

aa sa ma yo tte i ru so re ga bo ku

僕(ぼく)になるそれしか

bo ku ni na ru so re shi ka

それしかできないだろう

so re shi ka de ki nai da rou

誰(だれ)の真似(まね)も

da re no ma ne mo

上手(うま)くやれないんだ

u ma ku ya re na i n da

こんな痛(いた)い日々(ひび)をなんで

kon na i tai hi bi wo nan te

退屈(たいくつ)だって片付(かたづ)ける？

ta i ku tsu da tte ka ta zu ke ru?

よろめきながらでももがいているんだよ

yo ro me ki na ga ra de mo mo gai tei run da yo

迷(まよ)い星(ぼし)のうた

ma yo i bo shi no u ta

僕(ぼく)のためそれだけ

bo ku no ta me so re da ke

それだけだったんだよ

so re da ke da ttan da yo

涙(なみだ)流(なが)し

na mi da na ga shi

やっと生(う)まれた言葉(ことば)

ya tto u ma re ta ko to ba

どこかで同(おな)じように

do ko ka de o na ji yo u ni

ヒリヒリする胸(むね)抱(かか)えて

hi ri hi ri su ru mu ne ga ka ka e te

震(ふる)える君(きみ)に僕(ぼく)もいる叫(さ)けぶよ

fu ru e ru ki mi ni bo ku mo i ru sa ke bu yo

迷(まよ)い星(ぼし)のうた

ma yo i bo shi no u ta

Minecraft客户端服务器地图迁移指南

Fri, 16 Jan 2026 00:00:00 GMT

Minecraft客户端服务器地图迁移指南

由于隧道带宽上限、连接不稳定、处于本部校内或校外等原因，可能存在需要切换隧道以正常连接服务器的情况。其中，2026寒假周目 CTNH 服务器就是典型例子，因隧道带宽上限，需通过其他路线进入服务器。若客户端安装了如 xaero 地图等地图 mod，可能会出现数据不同步等问题，以下提供详细解决指导。

操作步骤总览

找到游戏根目录
找到客户端地图文件存放根目录
复制并替换对应文件

详细操作指南

1. 如何找到游戏根目录

以下以 PCL 和 HMCL 启动器为例，其他启动器操作逻辑类似，找到对应功能按钮即可，也可直接通过资源管理器查找。

PCL 启动器

点击对应按钮即可打开游戏根目录。

HMCL 启动器

点击对应按钮即可打开根目录。

2. 找到地图根目录

以下以 xaero 地图为例，其他地图 mod 可查询对应百科找到存放目录。

打开后，若同时安装了 xaero 的小地图与世界地图，会出现两个文件夹：minimap（小地图）和 world-map（世界地图），两者操作原理一致，均需进行复制替换。

以 world-map 文件夹为例：

带有 multiplayer 前缀的文件夹为多人服务器的地图数据
不带 multiplayer 前缀的文件夹为单人游戏数据
文件夹名称后附的地址对应具体服务器，需明确自身所需切换的服务器地址（如图中均为 HITMC 周目 mod 服地址）

3. 复制并替换

此步骤操作简单，具体流程如下：

确定需要保留的服务器地图数据（如 bj.mod.hitmc.cc 地址对应的文件夹）
删除需要替换的服务器地图文件夹下的所有内容（如 bj.tun.hitmc.cc 文件夹）
将保留的服务器地图文件夹（bj.mod.hitmc.cc）下的所有内容复制到已清空的目标文件夹（bj.tun.hitmc.cc）中，完成替换。

2024创新作文大赛作品留档

Wed, 10 Jan 2024 00:00:00 GMT

诗歌里的秋季

“烟花易逝，人情长存”，你就是我青春的韵律与诗歌，热而不燥，爽而不寒，如秋般意境悠远。——题记

仲夏夜的海风吹散白日里的闷热，海面上的明月照耀着稻妻城的祥和。迷人的星空下，喧嚣的海岸边，夏日祭的烟花迎风绽放，光彩夺目；轻柔的草坪上，阑珊的灯火间，青涩心的萌动，悄无声息，怦然沉醉。有你依偎的一分一秒，与你相伴的一点一滴，都是我青春最动人的诗意。

“烟花虽然转瞬即逝，绚烂的光彩却能永远留存于人们心中。”你盘腿而坐，轻托脑袋，望着烟花出神，任凭微风拂过发丝，橘黄的微波；金鱼发饰迎风舞动，闪耀着微光，眼眸映照光彩的艳丽夺目，迷人而深邃。你轻轻地靠在我的肩头，静静地享受着时光的恩赐，任由回忆拉开闸门，诗意过往静静流淌过你我心田……

“你好呀，旅行者，我叫宵宫，是长野原烟花店的店主，有什么事可以随时来找我呀……”我穿越海中雷暴，随着南十字船队踏上了永恒的国度。不知是火系神之眼让你拥有了烟火般的温暖和热情，还是你的体贴与温度让雷神为你投下视线。旅行的风尘尚未完全退去，你便热情邀请我来到了你的住处。你微笑地望着风尘仆仆的我，轻轻为我擦去旅行的风尘，拂去奔波的疲惫，注入鲜活的力量。你再三打量干净整洁的我，用梳子理顺我的头发，用毛巾拭去我额头的水珠，眼睛早已眯成了一条缝，“这样才像个好男孩嘛……”

我听说，鸣神岛的夏天一直是全稻妻人所向往的盛宴，一如蒙德的风花节，璃月的海灯节，而“鸣神岛夏天的象征”也成为了人们乐于谈论的话题。“鸣神岛的夏天……哎？！你也喜欢夏天吗？烟花祭你可千万不能错过哦！到时候会有好多好多好大好大的烟花呢……嘻嘻，都是我亲手做的哦……”你眉飞色舞，眼里闪烁着光芒，兴奋而激动，折射着烟花女孩的满意与自豪。

“咻，烟花来咯！”随着你点燃引信，一束束烟花喷涌而出，一道道火光划破夜空，一条条光焰绽放着夏天的热情，绽放着烟花女孩的点滴心意。我陪在你的身边，欣赏着烟花的慷慨光彩。享受着时光的馈赠。我们围着篝火起舞，任由火光温暖脸颊。你我双目对视，青春的萌动触动了心底的琴弦。你我看着对方，轻轻一笑，朦胧而美妙。

突然间，我的手感到一阵暖意。你牵起我的手，带我穿过热闹的人群，越过潺潺的流水，跨过清幽的树林。你用绷带蒙上我的双眼，双手扶着我的两肩，推着我慢慢的向前走去。你解开我眼前的绷带，将我拥入怀中，轻声耳语，“现在是独属于我们两个人的烟花季……”你的臂弯温暖舒适，我把头靠在你的怀中。你淡淡的体香萦绕在我的周围，牵着我的心扉。“咻！”熟悉的烟花再次升起，但是这次的烟花更大，更耀眼，更生动，不但流露着少女的点点心意，更隐含着少女青春情结的萌动，热烈而不炽热，温暖而舒适，就像秋日里的晚风，热而不燥，恰到好处。

“烟花易逝，人情长存。或许我不能陪你走完所有旅程，但你要记住，在遥远的鸣神岛上，总会有一场烟花为你而燃，总会有一双眼睛因你远眺，总会有一个愿望为你而许……

“向着梦想前行吧，旅行者！无论是幻想出来的恐惧，还是冷酷现实的阴翳，都会在宵宫姐姐星光般的魔法之下烟消云散！”你兴奋的向我许诺，我却只望着你出神，今夜的我遇见了了提瓦特最盛大的烟火。不是天空中的火花四射，而是眼前你的情意点点……你头上的金鱼迎着月光熠熠生辉，双眸折射出青涩少女最纯真的心意与祝福，扣动着少年的青春心门。

如果说烟花的意义就在于寄托强烈的情感，那么正是因为这种情感，才让瞬间燃放的烟花如日之升，如月之恒，一如少女眼中的星火之澄，亦可称之为“永恒”。那就说好了，你来写诗，我来作韵。天地为鉴，雷神作证。你我手牵手，共谱一首青春永恒……

幸福就在身边，世界不再遥远，海和蓝天交汇的终点，所有梦想为你而改变。一道光线照亮我心田。你的未来，请让我实现。

这正是：

今宵秋意爽，深宫兴味长。洛水之桥孤月夜半，怀抱灵眸期待新辰。

“即使是片刻的烟花，也能在仰望黑夜的人心中留下久久不灭的美丽光芒。”——后记

小诗一首

Sun, 24 Oct 2021 00:00:00 GMT

我梦见你

我梦见彼岸花开，
梦见你，乘风走来；
我梦见骄阳似火，
梦见你，热情满怀。

我梦见自己
在你的背后
紧紧追随；

我梦见你
在我的身旁
不离不弃。

我梦见你
悄悄地，
闯进我的梦里；
我梦见你
偷偷的，
给我带来甜蜜；
我梦见你
轻轻的，
抹除你的足迹；
我梦见你
慢慢的，
缩进我的怀里。

我笑了，醒了，
睡眼中才发现：
闯入梦中的只是思念，
带来甜蜜的只是臆想，
你的足迹不过是
点点月光
我的怀里不过是
星碎爱意。
我哭了，睡了，
我希望在下一场梦里
还可以遇见
痴情的我
动人的你。