Nachoneko

高中数学概率知识点留档

首先感谢我的数学老师

一、随机事件的概率

二、古典概型

1. 古典概型的特点：有限性、等可能性
2. 计算公式： $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
3. 常用求解方法：列举法、排列组合法
4. 用古典概型求概率的步骤： 1° 设事件
   2° 列举事件$A$和样本空间$\Omega$
   3° 说明为古典概型
   4° 计算
   5° 作答

三、事件的相互独立性

1. $A$与$B$独立的定义：$A$是否发生对$B$的发生的概率没有影响，即 $P(AB) = P(A)P(B)$
2. 若$A,B$独立，则$A$与$\overline{B}$、$\overline{A}$与$B$、$\overline{A}$与$\overline{B}$均独立

Note

$\because A = AB \cup A\overline{B}$，且$AB$与$A\overline{B}$互斥 $\therefore P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$ $\because A,B$独立，$\therefore P(AB)=P(A)P(B)$ $\therefore P(A) = P(A)P(B) + P(A\overline{B})$ $\Rightarrow P(A\overline{B}) = P(A)(1-P(B))$ $\Rightarrow P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B})$ $\therefore A$与$\overline{B}$独立

3. 判断$A,B$独立的常用方法：①常识 ②公式
4. 典型例题：分别抛掷两枚均匀的硬币，设 $A=$“第1枚正面向上”，$B=$“第2枚正面向上”，$C=$“2枚向上的面相同”
   则：
   $P(A)=\frac{1}{2},\ P(B)=\frac{1}{2},\ P(C)=\frac{1}{2}$
   $P(AB)=\frac{1}{4},\ P(AC)=\frac{1}{4},\ P(BC)=\frac{1}{4}$
   $P(ABC)=\frac{1}{4}$
5. $P(B|A)=P(B)$是$A,B$独立的充要条件

四、条件概率

1. 定义：设$A,B$为两个随机事件，$P(A)>0$，称
   $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$
   为$A$发生条件下，$B$发生的条件概率
2. 求条件概率的方法：公式法、缩小样本空间法
3. 条件概率的性质：
   • 若$B,C$互斥，则$P(B \cup C|A) = P(B|A) + P(C|A)$
   • 若$B$与$\overline{B}$对立，则$P(\overline{B}|A) = 1-P(B|A)$
4. 概率的乘法公式： $P(AB) = P(A)P(B|A)$
5. 全概率公式： $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)$
6. 贝叶斯公式： $P(A_i|B) = \frac{P(A_iB)}{P(B)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B|A_j)}$
7. 三门问题：核心结论：换门中奖概率更高（换门中奖概率为$\frac{2}{3}$，不换为$\frac{1}{3}$）