Nachoneko

1. 两大核心原理

共同点：完成这件事

2. 经典题型与技巧

1. A选B问题：A选B，则有 $\boldsymbol{B^A}$ 种（谁占主动权，谁高高在上，上到指数）。
2. 染色问题：方法为 分类中有分步、分步中有分类。
3. 多面手问题：核心是 不重不漏地选一个标准分类/选不选多面手。
   • 例题：7名学生（3人只会象棋，2人只会围棋，2人都会）。选1人参象棋，1人参围棋。
   • 解：$C_3^1C_2^1 + C_2^1C_3^1 = 18$ 种。
4. 错位排列问题：
   • $n=2$，有 $\boldsymbol{1}$ 种；
   • $n=3$，有 $\boldsymbol{2}$ 种；
   • $n=4$，有 $\boldsymbol{9}$ 种。

Note

$n$个元素完全错放，种数$D_n$

$$\begin{align*} D_n &= (n-1)\cdot(D_{n-1} + D_{n-2}) \\ &= nD_{n-1} + (-1)^n \\ &= n!\,\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}\right) \end{align*}$$

1. 数字问题：注意 含不含0、重不重复。

1. 核心定义与区别

• 排列：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个，按一定顺序排成一列。
• 组合：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个，合成一组。
• 关键词：不同元素、$m \le n$。
• 区别：排列有序，组合无序。

2. 公式与性质

3. 常用推导公式

Note

$$\begin{align*} \frac{n-1}{n!} = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \\ n\cdot n! = (n+1)! - n! \end{align*}$$

1. 排队问题策略

1. 特殊元素/位置：优先法
2. 多排问题：单排法
3. 相邻问题：捆绑法
4. 不相邻问题：插空法
5. 定序问题：除法 或 空位法
6. 至多/至少问题：间接法
7. 受限排列：如“甲不在排头，乙不在排尾”，用 分类法 或 容斥法
8. 圆排列：$n$ 个人围成一圈，有 $\boldsymbol{(n-1)!}$ 种
9. 插空法应用：3男已排好，女插入其中，用 逐一插空法

2. 分组分配问题

1. 平均分组 : 先分再除以 $n!$
2. 部分平均 : 先分再除以 $m!n!$
3. 非平均分组 : 直接分
4. 分配问题 : 先分组，再分配
5. 分配到人 : 分步分

3. 相同元素分配

• 隔板法：将 $n$ 个相同的小球放入 $m$ 个盒子里（$n>m$），每个盒子都有，有 $\boldsymbol{C_{n-1}^{m-1}}$ 种方法。

4. 三项展开式项数

• $(a+b+c)^n$ 展开式有 $\boldsymbol{C_{n+2}^2}$ 项。
• 项是由 $a,b,c$ 组成的 $n$ 次项，即 $a^ib^jc^k$（$i+j+k=n$）。
• 求解时变为 $a^{i+1}b^{j+1}c^{k+1}$ ，类比小球结合隔板法求解。

1. 定理与通项

通项公式（第 $k+1$ 项）：

2. 常数项与项数

• 展开式中常数项：指数为0。
• 展开式中有理项：指数为整数。
• 三项展开求某项：若能配成完全平方则转化为二项问题；不能再考虑因式分解；否则看成两项用排列组合取。

3. 二项式系数与系数

1. 区分概念：
   • 二项式系数：$C_n^k$
   • 系数：除了字母都是系数
2. 最大值求法：
   • 若 $n$ 为偶数，中间项 $C_n^{\frac{n}{2}}$ 最大；
   • 若 $n$ 为奇数，中间两项 $C_n^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}}$ 最大。
   • 技巧：设第 $k+1$ 项系数最大，则 $\begin{cases} \text{第} k+1 \text{项系数} \ge \text{第} k+ \text{项系数} \\ \text{第} k+1 \text{项系数} \ge \text{第} k+2 \text{项系数} \end{cases}$（作差法）；还有一种作商，公式略。
3. 系数和求法：
   • 二项式系数和：$2^n$（赋值令 $a=b=1$）
   • 各项系数和：令变量为1
   • 奇数项/偶数项系数和：赋值 $x=1$ 和 $x=-1$ 相加减。

4. 应用

1. 求近似值：底数分解（整数+小数） $\to$ 二项式展开 $\to$ 计算到某项对近似值精度无影响为止。
2. 求余：底数分解为和除数有关式子 $\to$ 二项式展开（注意系数不为负）。
3. 证明不等式：底数分解 $\to$ 二项式展开，放缩保留至少前几项（一般是最小值+1项，留项前后平分，优先给前面）。

列方程

根据组合数性质：$\boldsymbol{C_n^m = C_n^{n-m}}$，方程等价于两种情况：

1. 情况1：下标相等 $$x = 2x - 8$$ 解得：$x=8$
2. 情况2：下标和等于上标 $$x + (2x - 8) = 28$$ 解得：$3x=36 \implies x=12$

定义域验证

组合数要求 $0 \le m \le n$，因此需满足：

$x=8$ 和 $x=12$ 均满足定义域。

最终答案
$\boldsymbol{x=8}$ 或 $\boldsymbol{x=12}$

步骤1：确定定义域

排列数 $A_n^m$ 要求 $0 \le m \le n$，因此：

步骤2：代入排列数公式化简求解

排列数公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$，代入不等式：

代公式化简得

解得：$x < 8$ 或 $x > 13$

步骤3：结合定义域取交集

定义域为 $2 < x \le 9$ 且 $x \in \mathbb{N}_+$，因此：

$x < 8$ 且 $2 < x \le 9$，得 $x=3,4,5,6,7$ $x > 13$ 与 $x \le 9$ 无交集，舍去

最终答案
不等式的解集为 $\boldsymbol{\{3,4,5,6,7\}}$（或写作 $x=3,4,5,6,7$）