高中数学_立体几何知识点留档

高中数学立体几何知识点留档

首先感谢我的数学老师

原则：
① (∠x’O’y’=45^\circ) 或 (135^\circ)
② 平行性不变
③ 与 (x) 轴平行的线段长度不变，与 (y) 轴平行的线段长度减半
④ $z'$ 轴垂直 $x'$ 轴，且与 $z'$ 轴平行的线段长度也不变
结论：
若 (S_{\text{直观图}}) 为直观图面积，(S_{\text{原图形}}) 为原图形面积，
则有 (S_{\text{直观图}} = \frac{\sqrt{2}}{4}S_{\text{原图形}})，(S_{\text{原图形}} = 2\sqrt{2}S_{\text{直观图}})
注：圆→椭圆，不满足这个规律

柱：
直棱柱：(S_{\text{侧}} = Ch)（(C) 为底面周长，(h) 为高）
斜棱柱侧面积展开分别算
$V=Sh$
圆柱：(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh)；(V = \pi r^2h)
锥：
正棱锥：(S = \frac{1}{2}Ch’)（(C) 为底面周长，(h’) 为斜高）
非正棱锥分开算
(V = \frac{1}{3}Sh)
圆锥：(S = \pi r^2 + \pi rl)（(l) 为母线长）（类比三角形）；(V = \frac{1}{3}\pi r^2h)
台：
正棱台：(S_{\text{侧}} = \frac{1}{2}(C + C’)h’)（(C,C’) 为上下底面周长，(h’) 为斜高）
非正棱台分开算
(V = \frac{1}{3}h(S + S’ + \sqrt{SS’}))
圆台：(S = \pi(r^2 + R^2 + rl + Rl))（(r,R) 为上下底面半径，(l) 为母线长）（类比梯形）；(V = \frac{1}{3}\pi h(r^2 + R^2 + rR))
球：
(S = 4\pi R^2)；(V = \frac{4}{3}\pi R^3)

②③： $(2R)^2=x^2+y^2+z^2$

④ 正四面体： (R = \frac{\sqrt{6}}{4}a)（(a) 为棱长）

内切球：
① 正四面体： (R = \frac{\sqrt{6}}{12}a)（(a) 为棱长） ② 正三棱锥：根据相似求解
结论：
① 正方体：外接球 (R = \frac{\sqrt{3}}{2}a)；内切球 (r = \frac{a}{2})；棱切球 (r = \frac{\sqrt{2}}{2}a)；外接球、内切球、棱切球半径比为 (\sqrt{3}:1:\sqrt{2})；
② 正四面体：外接球 (R = \frac{\sqrt{6}}{4}a)；内切球 (r = \frac{\sqrt{6}}{12}a)；正四面体的外接球、内切球半径比为 (3<1>)，(P-ABC)，外接球心 (O) 到顶点距离为 (R)，到面距离为 (r)，(R + r = h) → 同球心
③ (r = \frac{3V}{S})（(V) 为体积，(S) 为表面积）

平行、垂直关系网络图（线线平行→线面平行→面面平行；线线垂直→线面垂直→面面垂直，含逆推关系）
空间角：线线角：范围 ([0, \frac{\pi}{2}])；求法：平移法、向量法线面角：范围 ([0, \frac{\pi}{2}])；求法：找射影→找角、向量法（(\sin\theta = |\cos<\vec{a}, \vec{n}>|)）面面角（二面角）：范围 ([0, \pi])；求法：定义法、垂面法、三垂线法、向量法（(|\cos\theta| = |\cos<\vec{n_1}, \vec{n_2}>|)）
点到面的距离：(d = \frac{|\vec{PA} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|})（(\vec{PA}) 为点 (P) 到面内一点 (A) 的向量，(\vec{n}) 为平面法向量）
空间向量定理：共线向量定理：(\vec{b} = \lambda\vec{a})（(\vec{a} \neq 0)）共面向量定理：(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b})（(\vec{a}, \vec{b}) 不共线）空间向量基本定理：(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c})（(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) 不共面）

① 定义法：棱上取点，两面内作棱垂线求夹角 ② 垂面法：作棱垂面，交线形成角 ③ 三垂线法：面内一点作另一面垂线，再作棱垂线，连垂足形成角 ④ 向量法：求两平面法向量夹角或其补角